Exercice 4, § 7

Soient g une algèbre de Lie, a une sous-algèbre sous-invariante de g, r(a) le radical de a, et ρ une représentation de dimension finie de a. Pour que ρ admette un agrandissement de dimension finie à g, il faut et il suffit que $\mathscr{O}g \cap r(a)$ soit contenu dans le plus grand idéal de nilpotence de ρ. (Pour la suffisance, procéder comme suit ; soit $g = g_0 \supset g_1 \supset \cdots \supset g_k = a$ une suite de composition de g ayant les propriétés de l’exerc. 11 b) du . Montrer, par récurrence, l’existence d’un agrandissement $\rho_i$ de ρ à $g_i$, dont le plus grand idéal de nilpotence contient $\mathscr{O}g \cap r(g_i)$. Avec les notations de l’exerc. 11 b) du § 6, le passage de $\rho_{i+1}$ à $\rho_i$ résulte du th. 1 quand $h_i$ est simple, ou quand $h_i$ est de dimension 1 et que $\mathscr{O}g \cap r(g_{i+1}) = \mathscr{O}g \cap r(g_i)$. Quand $\mathscr{O}g \cap r(g_{i+1}) \neq \mathscr{O}g \cap r(g_i)$, on peut supposer $h_i \subset \mathscr{O}g \cap r(g_i)$. On a $r(g_i) = r(g) \cap g_i$ (§ 5, exerc. 10), et on peut encore appliquer le th. 1.)