(a) F 的存在性：令 h 为 Lib(X) 的同态延伸至 $g$ 延伸 f (no. 1)。对于 Lib(X) 中的所有$a$，$h(Q(a)) = h(a.a) = [h(a), h(a)] = 0$；类似地，$g$满足的雅可比恒等式意味着$h(J(a, b, c)) = 0$对应于Lib(X)中的$a, b, c$。由此可见，$h(a) = 0$，从而，$L(X)$有同态 F进入$g$，使得$h = F \circ \psi$。通过限制X，我们得到$f = F \circ \phi$。

(b) F*的*唯一性：令$F': L(X) \to g$为同态，使得$f = F' \circ \phi$。 Lib(X) 的同态 $F \circ \psi$ 和 $F' \circ \psi$ 转换为 X 上的 $g$ 重合，因此相等；因为 $\psi$ 是满射，$F = F'$。

令 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ 不同于 X 的元素，且 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 不同于 K 的元素，使得

令 $g$ 为可交换的李代数，其中 K 作为底层模。对于$i = 1, 2, \ldots, n$，$L(X)$存在同态$F_i$到$g$，使得$F_i(\phi(x_i)) = 1$和$F_i(\phi(x)) = 0$对于$x \neq x_i$（命题1）； 应用$F_i$到关系（3），我们得到$\lambda_i = 0$。

令$a \xrightarrow{\lambda} g \xrightarrow{\mu} L(X)$为扩张（章I, § 1, no. 7）。由于$\mu$是满射，因此存在X到$g$的映射 f，使得$\phi = \mu \circ f$。令 F 为 $L(X)$ 到 $g$ 的同态，使得 $f = F \circ \phi$ (命题 1)。那么$(\mu \circ F) \circ \phi = \mu \circ f = \phi$和命题1表明$\mu \circ F$是$L(X)$的恒等式自同构。因此，给定的扩张是无关紧要的（章 I, § 1, no. 7、命题 6 和定义 6）。

由于环 K 不为零，推论 1 到命题 1 表明 $\phi$ 是单射的。 因此集合X可以通过$\phi$与$L(X)$中的像来识别；按照此约定，X 生成 $L(X)$ 以及 X 的每一个映射进入李代数 $g$ 可以扩展至 $L(X)$ 的李代数同态进入$g$。

$L(u)$的存在性和唯一性是从no. 2的命题1得出的。 同态 $L(v \circ u)$ 和 $L(v) \circ L(u)$ 具有相同的限制至 X，因此相等 (命题 1)。

由于断言对于$X = \varnothing$来说是微不足道的，我们假设$X \neq \varnothing$。如果 u 是单射的，则存在 Y 的映射 v 进入 X，使得 $v \circ u$ 是 X 的恒等映射；通过命题 2，$L(v) \circ L(u)$ 是自同构与 $L(X)$ 的恒等式，因此 $L(u)$ 是单射的。当u是满射时，在X中存在Y的映射w，使得$u \circ w$是Y的恒等映射；那么$L(u) \circ L(w)$是$L(Y)$的恒等映射，这就证明了$L(u)$是满射。

† 回忆自由模 M 的多项式映射的 (代数, 章 IV, § 5, no. 10) 定义到模 N：如果 q 为整数 $\geq 0$, 映射如果存在 $M^q$ 的多重线性映射 u 到 N 中，$f : M \to N$ 被称为 次数 q 的齐次多项式，使得

令 X 为集合，且 S 子集为 X。上述推论表明，S 的典范嵌入到 X 可以扩展到 $L(S)$ 的同构 $\alpha$ 到 S 生成的 $L(X)$ 的谎言子代数 $L'(S)$ 上； 我们将认同 $L(S)$ 和 $L'(S)$ 通过 $\alpha$。

令$(S_\alpha)_{\alpha \in I}$是X的子集与并 S的*右有向族*。关系$S_\alpha \subset S_\beta$蕴涵$L(S_\alpha) \subset L(S_\beta)$，因此$L(X)$的李子代数$L(S_\alpha)$族是正确的方向。因此$g = \bigcup_{\alpha \in I} L(S_\alpha)$是$L(X)$的谎言子代数；然后 $S \subset g$、从而 $L(S) \subset g$，以及对于所有 $\alpha \in I$、$g \subset L(S)$ 为 $L(S_\alpha) \subset L(S)$。因此

对于每个*正确定向*家庭$(S_\alpha)_{\alpha \in I}$子集X。

应用以上对于X的有限子集族，我们看到$L(X)$的每个元素都是形式$P(x_1, \ldots, x_n)$，其中P是n个不定数的李多项式，$x_1, \ldots, x_n$是元素 X。

这样$v(x \otimes 1) = x$*对于*$x \in X$。 此外，v是同构。

将应用命题 1 到$g = L_{K'}(X)$视为谎言K-代数和X的映射$x \mapsto x$代入g，我们得到K-同态$L_K(X) \to L_{K'}(X)$，从而有一个$K'$-同态$v : L_K(X) \otimes K' \to L_{K'}(X)$。 v 是唯一且为同构的事实源自以下事实：有序对 $(L_K(X) \otimes K', x \mapsto x \otimes 1)$ 是与有序对 $(L_{K'}(X), x \mapsto x)$ 相同的普遍映射问题的解。

让李代数 $L(X) = \mathrm{Lib}(X)/a$ 得到商分级。 次数 $\delta$ 的$L(X)$的齐次分量用$L^\delta(X)$表示；它是由元素$w \in M(X)$的像生成$L(X)$的子模，使得$\phi(w) = \delta$。

我们将特别利用以下两种情况： (a) 总毕业：我们对所有$x \in X$取$\Delta = \mathbf{N}$和$\phi_0(x) = 1$，右$M(X)$中的$w$取从而$\phi(w) = l(w)$。 K-模$L^n(X)$是由$M(X)$中长度$n$的元素的像生成，我们将其称为次数n的*替代品*。稍后我们将看到模 $L^n(X)$ 是自由的，并且承认次数 $n$ (no. 11, 定理 1) 的交替项基由……组成。那么$L(X) = \bigoplus_{n \geq 1} L^n(X)$和$L^1(X)$承认$X$为基（no. 2，推论1到命题1）。截至 $M(X)$ 构造，

(b) 多级化：我们将$\Delta$视为在$X$上构造的自由交换幺半群$\mathbf{N}^{(X)}$。 $X$到$\Delta$的映射$\phi_0$由$(\phi_0(x))(x') = \delta_{xx'}$定义，其中$\delta_{xx'}$是克罗内克符号。对于 $w \in M(X)$ 和 $x \in X$，整数 $(\phi(w))(x)$ 是“字母 $x$ 在 $w$ 中出现的第数”。对于$\mathbf{N}^{(X)}$中的$\alpha$，我们为$M(X)$中的所有$w$写为$|\alpha| = \sum_{x \in X} \alpha(x)$，从而$|\phi(w)| = l(w)$。由此可见

让$\alpha \in \mathbf{N}^{(S)}$。 模 $L^\alpha(S)$ 由 $M(S)$ 中的元素 $w$ 中的 $L(X)$ 中的像生成，使得 $\phi(w) = \alpha$，即 (代数, § 7, no. 9, 公式 (23) 和(24)) $M(X)$ 中$w$的集合使得$\phi(w) = \alpha$。因此$L^\alpha(S) = L^\alpha(X)$。

由此得出命题和关系$L(S) = \sum_{\alpha \in \mathbf{N}^{(S)}} L^\alpha(S)$。

当我们取$P = g$时，序列$(P_n)$是$g$（章I, § 1, no. 5）的下中央级数（$\mathscr{C}^n g$）。因此：

推广章 I, § 4, no. 1 的定义 1，我们可以说，如果 $\mathscr{C}^n g = \{0\}$ 对于 $n$ 足够大，李代数 $g$ 是“幂零的”。 幂零李代数$g$的*幂零性类*为最小的整数$n$，使得$\mathscr{C}^{n+1} g = \{0\}$。

(a) 我们应用命题 5 与 $g = L(X)$ 和 $P = L^1(X)$。通过$n$上的归纳，我们从(12)(no. 6)和(19)等式$P_n = L^n(X)$推出。那么所需的关系就等于定义 $[P, P_n] = P_{n+1}$。 (b) 这是从 (a) 到 $n$ 的归纳得出的。 (c) 设$g = L(X)$和$g_n = \sum_{p \geq n} L_p(X)$。那么no. 6的$g = g_1$和公式(13)意味着$[g_n, g_m] \subset g_{n+m}$，特别是$[g, g_n] \subset g_{n+1}$。 $n$、$\mathscr{C}^n g \subset g_n$ 归纳之前。另一方面，从(a)我们在$n$上通过归纳推出$L^n(X) \subset \mathscr{C}^n g$。由于$\mathscr{C}^n g$是$g$的理想，关系$L^p(X) \subset \mathscr{C}^n g$意味着

对于$L(X)$中的$a, a'$和$M$中的$m, m'$（章I, § 1, no. 8）。令$f$为$L(X)$到$g$的同态，使得$f(x) = (d(x), x)$对于$X$中的所有$x$；让$f(a) = (D(a), u(a))$代表$L(X)$中的所有$a$。通过公式 (21)，$u$ 是 $L(X)$ 的同态自身；如$X$中的$x$为$u(x) = x$，$u(a) = a$为$L(X)$中的所有$a$，从而

通过(21)和(22)，从$f([a, a']) = [f(a), f(a')]$得出关系(20)。

相反，令 $D'$ 为 $L(X)$ 的映射变成 $M$ 满足关系 (20') 类似于 (20) 并扩展 $d$。令 $f'(a) = (D'(a), a)$ 为 $a \in L(X)$；通过(20')和(21)，$f'$是$L(X)$到$g$的同态，与$X$、从而、$f' = f$和$D' = D$上的$f$重合。

当$M$等于$L(X)$且有伴随表示时，关系(20)意味着$D$是推导。

(a) *对于$i = 1, 2$，$\psi$至$S_i$的限制$\phi_i$可以扩展到$L(S_i)$的同构到$g$的子代数$a_i$。

(b) $g = a_1 + a_2, a_1 \cap a_2 = \{0\}$和$a_2$是$g$的理想。

对于$i = 1, 2$，让$\psi_i$表示$L(S_i)$的同态到$g$，其中扩展$\phi_i$和$a_i$其像。显然$\phi_i(S_i)$生成$a_i$。

设 $s_1 \in S_1$；我们写$D = \operatorname{ad} \phi_1(s_1)$。将 $g$ 映射 $\phi_2(S_2)$ 的推导 $D$ 转换为 $a_2$ by 关系

由于$g$的子代数$a_2$是由$\phi_2(S_2)$生成的，因此$D(a_2) \subset a_2$。 $x \in g$的集合，使得$\operatorname{ad} x$留下$a_2$不变，是$g$的谎言子代数，通过上面的包含$\phi_1(S_1)$，因此也是$a_1$。因此