Bourbaki

习题 7, § 2

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李群与李代数, II, 183

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假设K是域。令 l 为具有基本家庭 (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} 的自由李代数，并令 M 为L-模。 (a) 证明 H2(l,M)={0}H^2(l, M) = \{0\}、cf. 章 I, § 3、习题 12。（使用所讨论的习题的推论 2 至命题 1 和部分 (i)。） (b) 证明，对于 M 的元素的每个族 (mi)i∈I(m_i)_{i \in I}，都存在一个次数 1 的余循环 ϕ:l→M\phi : l \to M，使得 ϕ(xi)=mi\phi(x_i) = m_i 并且该余循环是唯一的。推导出正合序列：

0→H0(l,M)→M→Ml→H1(l,M)→0. 0 \to H^0(l, M) \to M \to M^l \to H^1(l, M) \to 0.
如果 I 是基数 n 的有限且 M 是 K 上的有限秩，则
rg⁡H1(l,M)−rg⁡H0(l,M)=(n−1)rg⁡M. \operatorname{rg} H^1(l, M) - \operatorname{rg} H^0(l, M) = (n - 1) \operatorname{rg} M.

解答

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