必须证明每个向量空间都承认基；这可以从以下更精确的定理得出：

定理 1 从叙述得出L = ∅。

为了证明定理 2，我们注，根据§ 1, no. 11，S中包含的E的自由子集的集合Λ，按包含排序，是归纳集合（集合理论，III, § 2, no. 4）；自由子集包含 L 的集合 M 也包含在 S 中。根据 Zorn 的引理，M 承认极大元素 B，并且足以证明由 B 生成的 E 的向量子空间等于 E。这可以立即得出B 的定义以及以下引理：

假设所有$i \in I$有关系$\mu b + \sum_i \lambda_i a_i = 0$，其中$\mu \in K$和$\lambda_i \in K$，家庭$(\lambda_i)$有有限支撑；如果$\mu \neq 0$，则$b = -\sum_i (\mu^{-1} \lambda_i) a_i$，因此$b \in F$与假设相反；因此$\mu = 0$和关系变成$\sum_i \lambda_i a_i = 0$，这意味着$\lambda_i = 0$对于所有$i \in I$乘以假设； 从而引理。

我们首先注，如果$E$承认一个*无限*基$B$，则从§ 1, no. 12，推论2到命题23，$E$的所有其他基等价于$B$。因此，我们可以将注意力集中在$E$具有有限基为$n$元素的情况。我们注超过 $K$ 的每个*单生* 向量空间，不减少到 0，都是一个*简单* $K$-模块（I, § 4, no. 4，定义 7），因为它是由每个元素 $\neq 0$ 生成的，凭借关系$\mu a = (\mu \lambda)(\lambda^{-1}a)$适用于$\mu \in K$、$\lambda \in K$和$\lambda \neq 0$。因此，如果 $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ 是 $E$ 的基，则 $E = \bigoplus_{i=1}^n Ka_i$ 最大为同构，子空间 $E_k = \bigoplus_{i=1}^\kappa Ka_i$ 为 $0 \leq k \leq n$ 形式 a Jordan-Hölder 级数 $E$、$E_k/E_{k-1}$与$Ka_k$同构的。在这种情况下，定理 3 紧随 Jordan-Hölder 定理（I, § 4, no. 7，定理 6）。

证明可以独立于Jordan-Hölder 定理给出，通过$n$上的归纳表明，如果$E$承认$n$元素的基，则每隔一个基$B'$有*至多* $n$元素。 命题对于$n = 0$来说是明显的。如果$n \geq 1$、$B'$非空；然后让$a \in B'$。到定理 2 (no. 1) 时，存在 $B$ 的子集 $C$，使得 $\{a\} \cup C$ 是 $E$ 和 $a \notin C$ 的基，因为 $\{a\} \cup B$ 显然是生成的系统 / $E$。由于$B$是$E$的基，$C = B$是不可能的（no. 1，定理2的推论），因此$C$至多有$n - 1$元素。令$V$为由$C$生成的子空间，并由$B' - \{a\}$生成$V'$子空间； $V$和$V'$都是$E$的子空间$Ka$的补充，因此是同构的（§ 1, no. 10，命题13）。由于$V$承认基最多有$n - 1$元素，$B' - \{a\}$最多有$n - 1$元素乘以归纳假设，因此$B'$最多有$n$元素。

如果 V 是 M 生成的 E 的向量子空间，则 M V (no. 1, 定理 2) 的 M 包含基 B'，并且由于 B' 是 E 的自由子集，因此它包含在 E 的基 B 中（no. 1，定理2）；那么 Card(B') $\leq$ Card(B), 从而是推论。

定理 2 和 3 立即暗示以下命题：

(ii) 对于两个向量空间 Ks^m 和 K_s^n 同构（m 和 n 整数 $\geq 0$），m = n 是充分必要的。*

(iii) 在有限维 n 的向量空间 E 中，每个生成的系统至少有n 个元素； E 的生成的系统与 n 元素是 E 的基。

(iv) 在有限维 n 的向量空间 E 中，每个空闲子集至多有n 个元素；一个自由子集与 n 元素是 E 的基。

如果 E_t 被规范地标识为 $E = \bigoplus_{t \in I} E_t$ 的子空间，并且 B_t 是 E_t ($t \in I$) 的基，则 $B = \bigcup_{t \in I} B_t$ 是 E ($§ 1$、no. 11、命题 19) 的基； 从而关系 (1) 因为 B_t 是成对的不相交的。

考虑通过将标量的环扩展到D（$§ 5$，no. 1）而获得D上的向量空间$\rho^*(E) = D \otimes_A E$，并令$\phi : x \mapsto 1 \otimes x$为E的典范映射到$\rho^*(E)$；如果$(a_\lambda)$是E的基，$(\phi(a_\lambda))$是$\rho^*(E)$的基（$§ 5$，no. 1，命题4）；然后从定理 3 得出命题。

A 中存在至少一个最大理想 m (I、$§ 8$、no. 6、定理 1)，且当 A/m 为域时，满足命题 3 个条件。

由于向量空间$E/F$的商为自由模，我们知道（§ 1, no. 11，命题21）$F$是$E$的直因子； 关系 (3) 是公式 (1) (no. 2) 的特例。

这是另一个命题 4 (§ 1, no. 9) 的表达方式。

成立，或者，如果所有空间都是有限维的，

令 $I_k = \operatorname{Im}\ u_k = \operatorname{Ker}\ u_{k+1}$ 为 $0 \leq k \leq n-1$；因此，$I_{k+1}$与$E_{k+1}/I_k$同构的，因此 (公式 (3)) $\dim I_k + \dim I_{k+1} = \dim E_{k+1}$对应于$0 \leq k \leq n-2$，此外还有$\dim I_0 = \dim E_0$和$I_{n-1} = E_n$，因此$\dim I_{n-1} = \dim E_n$。 替换$\dim E_i$将其表达式为式(5)两侧$\dim I_k$的函数，我们在每一侧都得到$\sum_{k=0}^{n-1} \dim I_k$，从而的推论。

(7)

将推论2应用到正合序列就足够了

(§ 1, no. 8, 命题10) 考虑到这一事实

（no. 2，命题2）。

第一个断言由 (3) 可知；此外，如果 $\dim E$ 是有限的，关系 $\dim F = \dim E$ 通过 (3) 隐含$\dim(E/F) = 0$，并且维数 0 约化到 0 的向量空间。

(8)

如果进一步$\dim E$是有限的，则(8)的两侧相等当且仅当E是族$(F_i)$的直和。

不等式 (8) 由 (3) 得出，并且 E 与 $\bigoplus_i F_i$ (§ 1, no. 7, 公式 (28)) 的商同构。第二个断言是§ 1, no. 10的特例，推论5到命题16，对于(8)两侧的等式意味着$\dim F_i = 0$，除了指标的有限数。

不等式 $\operatorname{codim}_E F \leq \dim E$ 从 (9) 中显而易见，并且如果 $\dim E$ 是有限的关系 $\operatorname{codim}_E F = \dim E$ 意味着$\dim F = 0$，因此$F = \{0\}$。由此得出命题的余数，对于

注如果E是有限维的，则(10)是(7)和(9)的推论。

维数 1（或维数 2）或向量空间 E 的向量子空间通常称为*线经过到0*（或*平面经过到0*）（或简称为*线*（或经过到0*））。 平面）如果不产生混淆（cf.§ 9, no. 3）），与经典几何语言类比；如果 E 的子空间的余维为 1，则称为 超平面经过到 0（或简称为 超平面）。超平面也可以定义为集合 $\mathscr{S}$ 的*极大* 元素 E 的向量子空间 *与 E 不同，按包含排序。 E 包含子空间 H 的子空间与 $E/H$ 的子空间之间存在一一对应的对应 (I, § 4, no. 7, 定理 4)；如果 E 为维数 $\geq 1$，$\mathscr{S}$ 非空，并且说 H 在 $\mathscr{S}$ 中最大意味着 $E/H$ 包含没有子空间与 $\{0\}$ 和 $E/H$ 不同，这意味着$E/H$由其任何元素$\neq 0$生成，在其他字中它是维数1。

在有限维 $n \geq 1$ 中的向量空间中，超平面是维数* $n - 1$ 中的子空间 * 公式 (3)。

只要证明对于所有 $x \notin F$ 都存在超平面 H 包含 F 而不是包含 x。通过假设 $F \cap Kx = \{0\}$，因此 F 和 $Kx$ 的和 M 是直接的。设N是E中M的补充；那么E是$H = F + N$和$Kx$的直和，因此H是超平面和所需性质。

这紧接着关系 (12) 和 (13)。

如果 E 是无限维向量空间，则 E 的单射（或满射）自同态不是双射 (习题 9)。

设 K、K' 是两个域、$\sigma : K \to K'$ K 到 K'、E 向量 K 空间、E' 向量 K' 空间的 同构的 和 $u : K \to K'$ 相对于 $\sigma$ 的 半线性 映射 （§ 1, no. 13）； E'的子空间$u(E)$的维数又称为$u$的*秩*。它也被视为 $u$ 的秩被视为 E 到 $\sigma_*(E')$ 的线性映射，因为 $u(E)$ 的每个基也是 $\sigma_*(u(E))$ 的基。

如果 K 是 E 标量的域，则 E 同构于空间 $K_s^{(I)}$，因此 $E^*$ 同构于 $K_d^I$ (§ 2, no. 6，命题 10)。由于$K_s^{(I)}$是$K_d^I$、$\dim E = \mathrm{Card}(I) \leq \dim E^*$的子空间（no. 3，推论4至命题4）；此外，如果 I 是有限的，则 $K_d^I = K_d^{(I)}$ (cf. 习题 3(d))。

这是因为每个向量子空间都是直因子（no. 3，命题4）并且来自§ 2, no. 1，命题1和2。

特别是对于 E 典范同态 $E^*/M' \to M^*$ 的每个向量子空间 M，其中 $M'$ 是与 M (§ 2, no. 4) 正交的 $E^*$ 的子空间，是*双射*。

第一个断言以及如果E是有限维的$c_E$是双射的事实是§ 2, no. 7、命题14的特殊情况。假设E是无限维的，这样我们就可以假设$E = K_s^{(L)}$，其中L是无限集合，因此是$E^* = K_d^L$。令$(e_\lambda)_{\lambda \in L}$为E的典范基，并令$(e_\lambda^*)_{\lambda \in L}$为$E^*$（§ 2, no. 6）中形式坐标族的相应的； $e_\lambda^*$生成的$E^*$的向量子空间正好是直和$F' = K_d^{(L)}$，假设L无限意味着$F' \neq E^*$。那么存在 $E^*$ 包含于 $F'$ (no. 3, 命题 8) 的超平面 $H'$，且由于 $E^*/H'$ 非零，其对偶也非零（定理 4 的推论），可标识为$E^{**}$ 中$H'$ 的正交$H''$（§ 2, no. 6，命题 9 的推论）。但$H'' \cap c_E(E)$包含在E中$F'$正交的$c_E$下的像中，即定义 0；因此$c_E(E) = E^{**}$是不可能的。

E 通常会被*识别*为 $E^{**}$ 像子空间 $c_E$。

令 E、F 为域 K 和 $u : E \to F$ 线性映射上的两个向量空间。我们将定义 典范同构：

(1) Im(u) = u(E) 的对偶到 Im($^t u$) = $^t u(F^*)$.

(2) Ker(u) = $^{-1}u(0)$ 的对偶到 Coker($^t u$) = $E^*/^t u(F^*)$.

(3) Coker(u) = F/u(E) 的对偶到 Ker($^t u$) = $^t u^{-1}(0)$.

我们写 I = Im(u), N = Ker(u), C = Cok​​er(u);从正合序列

(14) $0 \to N \to E \xrightarrow{p} I \to 0,\quad 0 \to I \xrightarrow{j} F \to C \to 0$

我们通过转置（定理 5 的推论）得出正合序列

(15)

此外，如 $u = j \circ p,\ ^t u = ^t p \circ ^t j$； 正合序列 (15) 因此 $C^*$ 的定义典范同构到 Ker($^t u$)，$I^*$ 到 Im($^t u$) 以及 $N^*$ 到 Coker($^t u$)，因为 $^t p$ 是单射的，$^t j$主观的。 准确地说，令$y \in \mathrm{Im}(u)$，$z \in \mathrm{Ker}(u)$，$t \in \mathrm{Coker}(u)$，$y' \subset \mathrm{Im}(^t u)$，$z' \in \mathrm{Coker}(^t u)$，$t' \in \mathrm{Ker}(^t u)$；当$y'$、$z'$、$t'$分别在$\mathrm{Im}(u)$、$\mathrm{Ker}(u)$和$\mathrm{Coker}(u)$上被规范地标识为线性形式时，则

(16) $\langle y, y' \rangle = \langle x, y' \rangle$ 对于所有 $x \in E$ 使得 $u(x) = y$；

(17) $\langle z, z' \rangle = \langle z, x^* \rangle$ 对于所有 $x^* \in E^*$ 其类 mod。 $^t u(F)$等于$z'$；

(18) $\langle t, t' \rangle = \langle s, t' \rangle$ 对于所有 $s \in F$ 其类 mod。 $u(E)$等于$t$。

我们特别从这些结果中得出：

(i) 为了使 u 是单射（或满射），$^t u$ 是满射（或单射）是必要且充分的。

(ii) $\operatorname{rg}(u) \leq \operatorname{rg}(^t u)$ 和$\operatorname{rg}(u) = \operatorname{rg}(^t u)$，如果 $\operatorname{rg}(u)$ 是有限的。

第二个断言由上式和定理 4 得出。

(i) $\dim F' \geq \operatorname{codim}_E F;$ $\dim F'$ 有限，$\operatorname{codim}_E F$ 有限，然后$\dim F' = \operatorname{codim}_E F$ 是充分必要的。

(ii) E 中 F' 的正交等于 F。

(iii) E 的每个有限维子空间 G' 都是 E 的某个子空间的正交，必然等于 E 中的 G' 与有限余维的正交。*

(i) 我们知道 F' 同构于对偶 (E/F)*（§ 2, no. 6，命题 9 的推论），因此断言由定理 4 得出，从 $\dim(E/F) = \operatorname{codim}_E F$ 到定义。

(ii) 令 $F_1$ 为 E 中 F' 的正交；显然$F \subset F_1$且$F_1$的正交$F'_1$等于F'（§ 2, no. 4）；因此，$E/F \to E/F_1$ 的规范线性映射 $(E/F_1)^* \to (E/F)^*$、转置是双射的（§ 2, no. 6，命题 10 的推论）；然后从命题 10 可以得出典范映射 $E/F \to E/F_1$ 是双射的，这意味着 $F_1 = F$。

(iii) 令G'为有限维$p$的E*的子空间，并令F为其在E中的正交；然后$\operatorname{codim}_E F \leq \dim G'$。例如，如果$(a_i^*)_{1 \leq i \leq p}$是G'的基，则F是从E到$K_s^p$的线性映射$x \mapsto (\langle x, a_i^* \rangle)$的核，其中秩至多$p$（no. 4，命题9）， 从而结论（no. 4）。然后令F'为F在E*中的正交；从 (i) 可以得出 $\dim F' \leq \dim G'$；但另一方面显然$G' \subset F'$，从而$F' = G'$（§ 2, no. 3，推论4到命题4）。

那么$\operatorname{codim}_E F$等于$x_i^*$的集合的秩，并且E上的每个线性形式（即F上的零）都是$x_i^*$的线性组合。那么$\operatorname{codim}_E F \leq p$和阶中的$\operatorname{codim}_E F = p$，$x_i^*$线性无关是充分必要的。

$x_i^*$的线性组合的集合$G'$是$E^*$的子空间，并且F是E中$G'$的正交，因此$\operatorname{codim}_E F = \dim G'$乘以定理7；进一步$\dim G' \leq p$和关系$\dim G' = p$意味着$(x_i^*)$是免费的系统（no. 2，命题1）；由此得出推论。

(ii) 设 $(x_i)_{1 \leq i \leq p}$ 为 E 的元素有限序列。 对于$(x_i)$*成为自由的系统，在*E*上存在序列*$(x_i^*)_{1 \leq i \leq p}$*的线性形式*使得*$\langle x_i, x_j^* \rangle = \delta_{ij}$是必要且充分的。

显然，(ii) 由 (i) 得出，通过将 E 视为通过 $c_E$ (定理 6) 与$E^{**}$ 的子空间来确定。设$G'$为由$x_i^*$生成的$E^*$的子空间，且F与E正交； E/F 和 $G'$ 都可以与另一个的对偶进行规范地识别；如果族$(x_i^*)$空闲，则E/F基$(\dot{x}_i)$存在$(x_i^*)$的对偶，并且类$\dot{x}_i$的每个代表系统$(x_i)$都具有所需的属性。相反，系统 $(x_i)$ 的存在使得 $\langle x_i, x_j^* \rangle = \delta_{ij}$ 意味着对于与 K 正交的 $E^*$ 的所有$i$ 子空间，$x_i$ 包含指标的$x_j^*$ $j \neq i$ 但不包括包含 $x_i^*$，因此系统 $(x_i^*)_{1 \leq i \leq p}$ 是免费的。

对于$s \in S$和$f \in K_s^S$，空间$K_d^S$被规范地识别为$E = K_d^{(S)}$和$f(s) = \langle e_s, f \rangle$的对偶，$(e_s)_{s \in S}$是E的典范基。 推论 2 表明条件是足够的。 反之，假设$\dim V \geq p$，则存在维数$p$的V的子空间$G'$；设F是E中$G'$的正交，因此$\dim(E/F) = p$。 It follows from no. 1, Theorem 2 that there exist $p$ elements $s_i \in S$ such that the $e_{s_i}$ $(1 \leq i \leq p)$ form a basis of a supplement F of E (applying Theorem 2 (no. 1) to a free subset consisting of a basis of E and the generating system the union of this free subset and the canonical basis of E); we then take the $f_i$ to be the elements of a basis of G' dual to the basis of E/F consisting of the classes of the $e_{s_i}$ mod. F。

由于 M（分别 N）是 E (定理 7) 中 M'（分别 N'）的正交，M ∩ N 是 E 中 M' + N' 的正交，因此 M' + N' 是 E* (定理 7 (iii)) 中 M ∩ N 的正交。

定理 7 给出 E 中 超平面 的另一个刻画：

这个叙述仅表示余维1的E的子空间和维数1的E*的子空间表示定理7。

如果 H 为超平面且 $x_0^*$ 线性形式，则 H = $x^{*-1}(0)$，关系

表征元素$x \in H$，称为*H*方程。

更一般地，如果$(x_i^*)$是E和F上线性形式的族，表示超平面$x_i^{*-1}(0)$的向量子空间交，关系“对于所有$i, \langle x, x_i^* \rangle = 0$”表征F的元素； 关系

子空间 F 的方程组* 形式 系统。 定理 7 (ii) 表示E 的每一个向量子空间都可以由方程组的系统定义*。

定理 7 (i) 和 (ii) 此外证明*有限*余维 $p$ 的子空间 F 可以由 $p$ 方程的系统定义

(19)

其中形式 $x_i^*$ 线性独立。相反，推论1至定理7表明，由$p$方程(19)的系统定义的子空间F具有余维$\leq p$，并且当且仅当$x_i^*$线性无关时，它具有余维$p$；等同于说F不能由方程(19)的至多$p - 1$中的系统由……组成定义。

为了具有至少一个解$x \in E$，$y_0$与转置映射${}^t u$中的核正交是必要且充分的。

$F^*$ 中$u(E)$ 的正交为 ${}^t u^{-1}(0)$（§ 2, no. 5，命题 8 的推论），因此 F 中${}^t u^{-1}(0)$ 的正交为 $u(E)$（no. 5，定理 7 (ii)）。

我们将得到一个更方便的标量线性方程系统判据

其中未知的$x$在向量空间E中在域K上取其值，$x_i^*$是E上的线性形式以及K的右侧$\eta_i$元素。

如果我们考虑 E 的基 $(a_\lambda)_{\lambda \in L}$，系统 (21) 等价于方程的系统

(22)的$x = \sum_{\lambda \in L} \xi_\lambda a_\lambda$、解是有限支撑的K的元素的必然族$(\xi_\lambda)$。

如果F'是$x_i^*$生成的$E^*$的子空间，则u的核就是E中F'的正交F；如果 F' 为维数 r，则 F 为余维 r，反之亦然 (no. 5, 定理 7) 和 $\mathrm{rg}(u) = \mathrm{codim}_E F$ (no. 4, 公式 (11))。

是向量空间 E 上域 K 上的标量线性方程的系统。为了使该系统至少有一个解，有必要对于有限支撑的标量的每个族 $(\rho_i)$ 使得 $\sum_i x_i^* \rho_i = 0,\ \sum_i \eta_i \rho_i = 0.$ 如果秩系统(21)是有限的，这个条件也足够了。

条件显然是必要的。它表示，如果$F'$是$(x_i^*)$族生成的$E^*$的子空间，则存在线性映射$f : F' \to K_d$，使得所有$i \in I$都有$f(x_i^*) = \eta_i$。如果$F'$是有限维$r$，则$F'$是余维$r$（no. 5，定理7）的$E$的子空间$F$与$F'$的正交被识别为$E/F$的对偶（§ 2, no. 6，命题9的推论）；因此，$f$ 是双数 $(E/F)**$ 的元素。由于$E/F$是有限维的，因此存在且仅一个元素$y \in E/F$，使得$f(x^*) = \langle y, x^* \rangle$对于所有$x^* \in F'$（no. 5，定理6）。 (21) 的解就是$x \in E$，其$E/F$ 中的典范像是$y$。