我们有${L'}^p \subset K \subset K'$和$L' = K'(L)$，从而${L'}^p = {K'}^p({L'}^p) \subset K'$。在其他字中，L'是K'的高度$\leq 1$的p根延伸。推论的其他断言立即由命题 1 和V、p. 14、命题 5 得出。

首先假设 S 是无 p 的，并令 $T \neq S$ 为 S 的子集。用 A 集合表示整数的有限支撑 $a = (\alpha_s)_{s \in S}$ 在 0 和 $p-1$ 之间；令$A'$为$a = (\alpha_s)_{s \in S}$族的由……组成的子集，使得$a_s = 0$适用于$S - T$中的所有s。我们还将 $u_a = \prod_{s \in S} s^{\alpha_s}$ 替换为 $a \in A$。那么（V，p. 98，命题1）族$(u_a)_{a \in A'}$在K上是$K(S)$的基，亚族$(u_a)_{a \in A'}$在K上是$K(T)$的基。从$A' \neq A$开始，我们有$K(T) \neq K(S)$。

现在假设 S 不是无 p 的。那么 S 的元素 $x_1, ..., x_n$ 存在整数 $n \geq 1$ 和序列，使得 $(x_1, ..., x_{n-1})$ 是 p 自由的，但 $(x_1, ..., x_n)$ 不是。我们有$[K(x_1, ..., x_{n-1}):K] = p^{n-1}$和$[K(x_1, ..., x_n):K] < p^n$。由于$[K(x_1, ..., x_n):K]$是$[K(x_1, ..., x_{n-1}):K]$的倍数，因此我们有

从而$x_n \in K(x_1, ..., x_{n-1})$。这表明$K(S - \{x_n\}) = K(S)$。

令 K 为域。 A family $(x_i)_{i \in I}$, is said to be a (absolute) p-basis of K if it is a p-basis of K over $K^p$. 对于每个整数$n \geq 1$，我们用所有$a = (\alpha_i)_{i \in I}$的$N^{(I)}$由……组成中的$\Lambda(n)$子集表示，这样$\alpha_i < p^n$代表所有$i \in I$。

对于 $n = 1$ 断言约化到提案 1 (V、p. 98)。 集合$\Lambda(n)$由形式$a = \beta + p^{n-1}\gamma$$N^{(I)}$元素与$\beta \in \Lambda(n-1)$和$\gamma \in \Lambda(1)$组成。这样的分解是独一无二的，我们有$x^\alpha = x^\beta (x^\gamma)^{p^{n-1}}$。此外，族$(x_i^{p^{n-1}})_{i \in I}$显然是$K^{p^{n-1}}$超过$K^{p^n}$的p基，因此族$(x^\gamma)^{p^{n-1}}$是$K^{p^{n-1}}$的基超过$K^{p^n}$。因此，我们利用II、p. 222、命题25得出归纳的结论。

根据$V$、p. 24、第 1 条，$\{1,\ x,\ \ldots,\ x^{p-1}\}$ 是 $L$ 中的基，超过$K$。对于$L$的每个元素$u = a_0 + a_1x + \ldots + a_{p-1}x^{p-1}$（$a_0,\ \ldots,\ a_{p-1}$在$K$中），我们放入$D(u) = A(a_0) + x\Delta(a_1) + \ldots + x^{p-1}\Delta(a_{p-1})$。显然$D$扩展$A$且满足(1)；所以建立关系就足够了

当$u$为形式$ax^i$且$v$为形式$bx^j$且$a,\ b$为$K,\ 0 \leq i < p$及$0 \leq j < p$时。

当$i + j < p$时，我们有$uv = x^{i+j}ab$，从而$D(uv) = x^{i+j}\Delta(ab)$。否则我们有$0 \leq i + j - p < p$，所以$uv = x^{i+j-p}(abx^p)$，还有$abx^p \in K$，但是从$A(x^p) = 0$开始，我们有$A(abx^p) = x^pA(ab)$，从而，还有$D(uv) = x^{i+j}\Delta(ab)$。所以我们在所有情况下都有

根据 Zorn 的引理 (E, III, p. 20)，存在最大扩张为 $A$ 到推导 $D_0 : L_0 \to V$，其中 $L_0$ 为子域为 $L$ 包含 $K$。设 $x \in L$；我们有$x^p \in L_0$和$A(x^p) = 0$，从而$D_0(x^p) = 0$。根据提案 5，

D_0 扩展到推导定义在 L_0(x) 上；通过 D_0 的最大值特征标，我们有 L_0(x) = L，从而 x ∈ L_0。由于 x 是任意的，我们结论 L_0 = L。

令 x 为 L 的元素而不是属于到 E。则 {1, x, ..., x^{p^{l-1}}} 为 E(x) 在 E 上的基。令 A 为 E(x) 到 L 的 E 线性映射，使得 Δ(x^i) = ix'（0 ≤ i < p）。我们立即验证 A 是 E(x) 到 L 的 E 导数，特别是 K 导数。由科.从命题1到命题5，存在L到L延伸A的K-导数D。通过Ω_K(L)的泛性质，在向量L空间上存在线性形式u，使得D = u∘ d_{L/K}。我们有 D(x) = x 且 D|E = 0；因此，我们有 u(d_{L/K}x) ≠ 0 且 u|U = 0，从而 d_{L/K}x ∉ U。

最后一个断言是特殊情况 E = K；那么我们有 U = 0。

a) 对于 (x_i)_{i ∈ I} 在 K 上是 p-free 的，族 (dx_i)_{i ∈ I} 在向量 L-空间 Ω_K(L) 中是自由的是必要且充分的。

b) 对于 K 上的 (x_i)_{i I} 到生成 L，族 (dx_i)_{i I} 应该生成向量 L-空间 Ω_K(L) 是充分必要的。

c) 为了使 (x_i)_{i I} 成为 K 上 L 的 p 基，族 (dx_i)_{i I} 应该是向量 L 空间 Ω_K(L) 的基是充分必要的。

首先让我们注，域 K((x_i)_{i ∈ I}) 的元素的微分dx为线性组合，系数在微分dx_i、i I的L中。对于族 (x_i)_{i ∈ I} 是 p-free 的，对于所有 i ∈ I，x_i ∉ K(x_j)_{j ∈ I - {i}} 是必要且充分的（V，p. 99，命题 2）。由科.根据 Prop. 5 的 2，这意味着 dx_i 不是 dx_j 的线性组合，因为 I 中 j ≠ i。 断言 a) 由此得出。现在 b) 立即从 Cor. 开始。提案 2 至提案 5 和 c) 由 a) 和 b) 得出。

以下推论使得 Cor.提案 5 中的第 1 条更具体：

由科.根据命题 5 的 1，存在 L 的推导 D_0 延伸至 V 延伸 A。V 延伸 A 中的L 推导恰好是形式 D 的映射 = D_0 + u ∘ d_{L/K}其中 u 是 Ω_K(L) 到 V 的 L 线性映射。我们有 D(x_i) = u_i 当且仅当线性映射 u 满足条件 u(dx_i) = u_i − D_0(x_i)。由于族 dx_i 是 Ω_K(L) 的基，因此确定 u 是唯一的，推论如下。

设 L 为 K 的高度 $\leq 1$ 的 p 根延伸，$(x_i)_{i \in I}$ 为 L 在 K 上的 p 基。至 Th。 1 对于每个$i \in I$，存在L到L的K-导数$D_i$，其特征为$D_i(x_j) = \delta_{ij}$（克罗内克符号）； $D_i$ 是有时，称为*推导相对于*$x_i$的部分。当$I$是*有限*时，$(D_i)_{i \in I}$族是向量空间的基超过L由……组成的L到L的K-导数。

Th。 1 允许对 p 碱基的研究简化为对基或向量空间的研究。对于例，我们有以下结果：

断言 a) 和 b) 为直接的 (II, p. 292)。 如果 $[L : K]$ 是有限的，则 a) 存在 $K$ 上 $L$ 的有限 p 基 $(x_1, ..., x_n)$；那么$L$的单项式$x_1^{\alpha_1} ... x_n^{\alpha_n}$和$0 \leq \alpha_i < p$超过$K$的$1 \leq i \leq n$形式基以及$\Omega_K(L)$的微分$dx_1, ..., dx_n$形式基超过$L$。 因此我们有$[L : K] = p^n$和$[\Omega_K(L) : L] = n$。 相反，如果 $\Omega_K(L)$ 是 $L$ 上的有限维，则存在 K 上 L 的有限 p 基（V、p. 102、Th.1），且 $[L : K]$ 是有限的。

因为$\{x\}$是$L$超过$K$的无p子集，因此应用Th就足够了。 2、*a)*。

令 K 为 K 的域和 $L$ 扩张。如果 $D$ 是 L 的 K 导数，值在向量 L 空间中，那么对于所有 $x \in L$，我们有 $D(x^p) = 0$，依此类推$D$是$K(L^p)$的导数；由此可见$\Omega_K(L) = \Omega_{K(L^p)}(L)$。由于$L$是$\leq 1$高度$K(L^p)$的p根延伸，我们可以应用上面的结果。对于例，从 Th 开始。 1, c) 我们推论如下：设$(x_i)_{i \in I}$是$L$的元素的族；为了使$(dx_i)_{i \in I}$成为向量L-空间$\Omega_K(L)$的基，$(x_i)_{i \in I}$应该是L在$K(L^p)$上的p基是充分必要的。同样，科。提案 5 的第 2 条意味着：

证明需要几个初步的引理。

对于每个$i \in \mathbf{F}_p$，用$P_i(X)$表示多项式$- \prod_{j \neq i} (X - j)$。我们有

由公式 (2) ($V$, p. 94)。在推导引用的公式 (2) 时，我们发现

公式 (8) 和 (9) 表明$V$ 映射 $V$ 的自同态 $P_i(u)$ 进入$V_i$ 以及$\sum_{i \in \mathbf{F}_p} P_i(u) = 1$、从而 $V = \sum_{i \in \mathbf{F}_p} V_i$。 仍有待证明和是直接的。 对于每个 $i \in \mathbf{F}_p$ 让 $v_i \in V_i$；很明显，对于所有 $j \neq i$，$P_i(u)$ 会消灭 $v_j$，并且我们有 $P(u)v_i = av_i$ 和 $a = -\prod_{n \in \mathbf{F}_p^*} n \neq 0$。 因此，关系$\sum_{i \in \mathbf{F}_p} v_i = 0$意味着$v_i = 0$对于所有$i \in \mathbf{F}_p$，因此和是直接的。

显然，K 是 E 包含 $E^p$ 的子域。用$D - i$的$K_i$核表示$i \in \mathbf{F}_p$。我们有 $K_0 = K$ 和引理 1 表明$E = \bigoplus_{i \in \mathbf{F}_p} K_i$。令$i \in \mathbf{F}_p$且$u$在$K_i$中；我们有

从而$xu \in K_{i+1}$。由于x非零，所以x的乘法是向量K空间E的自同构，其中对于所有$i \in \mathbf{F}_p$，映射$K_i$到$K_{i+1}$。从 $[K_0 : K] = 1$ 开始，我们为所有 $i \in \mathbf{F}_p$ 从而 $[E : K] = p$ 提供了 $[K_i : K] = 1$。

显然，$I(\mathfrak{h})$是$E$包含$E^p$中的子域。对于每个$x \in E$，令$f_x$为I上的E线性形式$D \mapsto D(x)$）。由于这些线性形式的 kcrncl 的交等于 0，因此它们生成向量空间对偶于 $\mathfrak{h}$ (II, p. 301, Th. 7)；因此，$E$中存在$x_1, \ldots, x_s$，使得这个对偶的线性形式$f_{x_1}, \ldots, f_{x_s}$形式基。令 $(\Delta_1, \ldots, \Delta_s)$ 为由 $\Delta_i(x_j) = f_{x_j}(\Delta_i) = \delta_{ij}$ 表征的 $\mathfrak{h}$ 的基。把$D_i = x_i \Delta_i$，然后$(D_1, \ldots, D_s)$是基/I)在E上，我们有$D_i(x_j) = x_i \delta_{ij}$。 推导$D_i^p - D_i$和$[D_i, D_j]$（$i, j = 1, \ldots, s$属于至I）并消灭$x_1, \ldots, x_s$；因此我们有

对于 0 到 s 范围内的 i，我们用 $K_i$ 交或核或推导 $D_j$ 来表示 $1 \leq j \leq i$。那么$K_i$是E的子域，我们有 令i在0和$s-1$之间；那么$K_i$在$D_{i+1}$下是稳定的，因为$D_{i+1}$与$D_1, \ldots, D_i$通勤。此外，我们还有$D_{i+1}^p = D_{i+1}$、$D_{i+1}(x_{i+1}) = x_{i+1} \neq 0$和$x_{i+1} \in K_i$。因此引理 1 意味着$[K_i : K_{i+1}] = p$，从而最后$[E : K] = [K_0 : K_s] = p^s$。

现在我们来到证明/定理。设 I) $\in \mathscr{L}$ 为 E 上的维数 s，并放入 $K = I(\mathfrak{h})$；然后$[E : K] = p^s$乘引理3，从而$[\Omega_K(E) : E] = s$乘

Th。 2、c) (V、p. 103)。通过微分映射$u \mapsto u \circ d_{E/K}$的模的泛性质是$\Omega_K(E)$对偶$g(K)$的同构，因此$[g(K):E] = s$。现在我们有$[\mathfrak{h}:E] = s$和$\mathfrak{h} \subset g(K)$，从而$\mathfrak{h} = g(K)$，即$\mathfrak{h} = g(I(\mathfrak{h}))$。

相反，对于每个域$K \in \mathscr{C}$，很明显$g(K)$属于到$\mathscr{L}$（V，p. 103，Th.2，c））。 如果$x$属于到$I(g(K))$，我们在$\Omega_K(E)$、从而$d_{E/K}x = 0$上为每个线性形式$u$有$u(d_{E/K}x) = 0$，所以最后$x \in K$由Cor.提案 5 中的第 2 条（V、p. 102）。因此我们有$K = I(g(K))$。