§ 2. 。扩张

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§ 2。扩张

1. 结构 / 扩张

定义 1 06GV

— 令 K 为域。通过 K 的扩张，我们了解K-代数，其基础环为域。通过扩张 E 的子扩展（或子 K 扩展），我们理解 E 的子 K 代数为域。令 E 为 K 的扩张。映射 u : A ↦ λ 。 K 转入 E 的 1 为环同态；由 K 的 I、p. 115、u 诱导同构到 E 的子域 u(K)。相反，如果 K、E 是域并且 u 是 K 的同态到 E 中，则 u 定义在 K 的扩张的 E 结构 (III，p. 433) 上。通过滥用语言，一个有时说（E，u）是K的扩张。如果 u(K) = E，即，如果 E 是维数 1 除以 K 的向量空间，则称扩张是平凡的。令L为K的扩张域。当我们将L视为K的扩张时，我们通过K的扩张（L，j）来理解，其中j是K的典范嵌入到L，或者也为L 相应的K-代数结构。那么L的子外延就是K和L之间的中间域，即L包含K的子域。如果L'是K的另一个扩张域，则L 到 L' 的 K 同态就是 L 的同态 f 到 L'，这样对于所有 x ∈ K，f(x) = x。我们注如果 f 是域的任意自同态 L，则L不变量的元素在f下的集合是L的子域K'，则f是L的K'-自同态。特别地，令 P 为域 L 的素数子域。我们可以将L视为P的扩张，并且L的每个自同态都是一个P-自同态。令 (E, u) 为 K 的扩张；由于 K 的 u 定义同构到 E 的子域 K_1，一般来说，通过 u 来识别 K 和 K_1 没有困难。我们不能允许这样的识别的一种情况是，其中K = E并且u因此是K的自同态；最常见的是，当域 K 的特征 ≠ 0 时，u 是 K 的自同构，或映射 u ↦ u''。显然，K 的每个扩张都同构于扩张 (L, j)，其中 L 是域包含 K 作为子域，j 是 K 的典范嵌入到 L。

引用了 2

引用了 I § 9. 。域, III § 1. 。代数

2. 次数 / 扩张

令 $A$ 为代数超过域 $K$ 。特别是向量空间超过 $K$ ；这个向量空间的维数在 $K$ 上称为 $A$ 的次数，写成 $[A : K]$ (II、p. 293)。因此，定义 $[A : K]$ 是 $A$ 超过 $K$ 的任何基的基数。该定义特别适用于扩张或 $K$ 的情况。

次数 1 的扩张是微不足道的。次数 2（或 3 等）的扩张称为二次（或三次等）。 An extension of finite degree is sometimes called, by abuse of language, a finite extension.

定理 1 06GW

令 $E$ 为 $K$ 和 $A$ 代数的扩张超过 $E$ 。那么我们就有 $[A : K] = [A : E] \cdot [E : K]$ 。特别是，如果 $F$ 是 $E$ 的扩张，我们有

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了命题 25, II § 1

被以下引用推出 3, V § 16, 命题 3, V § 3

[F : K] = [F : E] \cdot [E : K].

定理只是II、p. 222、25号提案的特例；更准确地说，如果 $A$ 的 $(a_i)$ 、、、、基超过 $E$ ，并且 $E$ 的 $(b_j)$ 、 $\in M$ 基超过 $K$ ，那么家庭 $(a_\lambda b_\mu)_{(\lambda,\mu) \in L \times J}$ 就是基 $A$ 超过 $K$ 。

推论 1 06GX

令 $K, E, F$ 为三个域，使得 $K \subset E \subset F$ 和 $[F : K]$ 是有限的。那么次数 $[E : K]$ 和 $[F : E]$ 就是 $[F : K]$ 的除子。

如果次数 $[F : K]$ 是素数，则除了 $K$ 和 $F$ 之外， $F$ 没有子扩张。但注，当 $[F : K]$ 不是素数时，除了 $K$ 和 $F$ 之外，不一定存在 $F$ 的子扩张（cf.V、p. 146、习题1）。

引用了 1

引用了习题 1, § 2

推论 2 06GY

令 $K, E$ 和 $F$ 为三个域，使得 $K \subset E \subset F$ 。假设 $[F : K]$ 是有限的，则关系 $[E : K] = [F : K]$ 等价于 $E = F$ ，关系 $[F : E] = [F : K]$ 等价于 $E = K$ 。

因为如果 $L$ 是 $L'$ 的扩张域，则 $[L : L'] = 1$ 相当于 $L' = L$ 。

命题 1 06GZ

设 $A$ 为有限次数中的代数超过域 $K$ 。如果元素 $a \in A$ 不是 $A$ 中零的左（或右）除子，则它在 $A$ 中是可逆的。

对于 $K$ 上的向量空间 $A$ 来说，有限维是有限维，通过假设，以及 $A$ 的线性映射 $x \mapsto ax$ （分别是 $x \mapsto xa$ ）到 $A$ 单射的；因此它是双射 (II, p. 298, Cor.) 并且因此 (I, p. 16, 注) $a$ 在 $A$ 中是可逆的。

引用了 2 · 被以下引用 3

引用了 I § 2. 。单位元素；可取消元素；可逆元, II § 7. 。向量空间

被以下引用命题 19, AC V § 1, 引理 2, AC V § 2, 推论 2, VIII § 14

推论 06H0

令 $A$ 为有限次数中的交换代数除以域 $K$ 。如果 $A$ 是整环，那么它就是域。

被以下引用 1

被以下引用命题 5

3. 伴随

设 $E$ 为域 $K$ 中的扩张。给定 $E$ 的元素的族 $x = (x_i)_{i \in I}$ ，我们用 $K(x_i)_{i \in I}$ （或 $K(x)$ 或 $K(x_1, \ldots, x_r)$ ，当 $I$ 是N的区间（1，n）时）表示E包含的最小子扩张 $(x_i)_i$ ；我们说 $K(x_i)_i \in I$ 是由 $(x_i)_i, I$ 族的元素的伴随到K获得的，并且 $(x_i)_i, I$ 族（或其元素的集合）是关于K（或超过K）的 $K(x_i)_i \in I$ 族生成的族。域 $K(x_i)_i \in I$ 仅取决于家庭 $(x_i)_i \in I$ 的元素集合A；我们也用 $K(A)$ 来表示它。特别是我们有 $K(E) = E$ 和 $K(\emptyset) = K . 1$ 。所有上述内容尤其适用于 E 为域包含 K 为子域时。

应该注意的是，A一般不是代数 $K(A)$ 的生成的集合，其他字 $K(A) \neq K[A]$ 。 “尽管如此，当 $K(A)$ 是K的代数扩张时，我们将看到 $K(A) = K[A]$ （V，p. 18，Cor.1）。 \*

命题 2 06H1

— 如果 M 和 N 是域 K 的扩张中的任意两个子集，则 $K(M \cup N) = K(M)(N) = K(N)(M)$ 。

对于 $K(M \cup N)$ 包含 $K(M)$ 和 N，因此 $K(M)(N)$ ；因为 $K(M)(N)$ 是域包含 $K \cup M \cup N$ ，所以包含 $K(M \cup N)$ ，从而命题。

我们将有时写成 $K(M, N)$ 而不是 $K(M \cup N)$ 。

注 06H2

— 令 P 为域 E 的素数子域 (V, p. 2)；对于 E 的每个子集 A， $P(A)$ 是 E 包含 A 的最小子域。特别是，如果 K 是 E 的子域，则我们有 $P(K \cup A) = K(A)$ 。如果 K 和 K' 是 E 的两个子域，则我们有 $P(K \cup K') = K(K') = K'(K)$ ；该域是E 包含 K或K'中最小的子域，或者也是E的子域的集合中K和K'的上界，按包含排序；我们有时说这个域是由E中的K和K'生成的域。

命题 3 06H3

— *令 $\mathscr{F}$ 为域E的子域集合，相对于关系 $\subset$ 。 $\mathscr{F}$ 域并L为域。

被以下引用 2

被以下引用命题 9, V § 17, 命题 2, V § 5

因为如果x和y是L的两个元素，则存在 $\mathscr{F}$ 的两个域R，S使得 $x \in R,\ y \in S$ ；令 T 为 $\mathscr{F}$ 包含 R 和 S 中的域；然后 $x \in T,\ y \in T$ ，因此 $x + y,\ xy$ 和 $x^{-1}$ （如果 $x \neq 0$ ）属于到T，因此到L。

推论 06H4

— *令 E 为域 K 和 $A \subset E$ 中的扩张。域 $K(A)$ 是域 $K(F)$ 的并，其中F的范围超过A的所有有限子集的集合。

被以下引用 1

被以下引用定义 2

对于域 $K(F)$ 的集合来说，关系 $\subset$ 有向，因为 $F \subset F'$ 蕴含 $K(F) \subset K(F')$ 。因此，这些域中的并L是域包含 $K \cup A$ 并包含在 $K(A)$ 中，因此与 $K(A)$ 相同。

定义 2 06H5

— 如果有限生成族有有限生成族，则域K的扩张E被认为是有限生成的。如果 E 中存在 x 且满足 * $E = K(x)$ ，则称其为单生的。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了推论

被以下引用命题 17, V § 14

科。命题 3 表明，域 K 的每个扩张 E 都是 E 中包含的有限生成的扩张的有向并。很明显，有限次数 K 的每个扩张 E 也是有限生成的，因为 E 的基（视为 K 上的向量空间）也是有限生成的。生成的 E 超过 K 的家族；稍后我们会看到逆命题不成立。

4. 复合扩张

设E和F是域K的两个扩张。通过 $E$ 和F的复合扩张，我们可以理解任何三元组 $(L, u, v)$ ，其中L是K的扩张， $u$ 是E到L的K同态， $v$ 是F到L的K同态，其中域L由 $u(E) \cup v(F)$ 生成（cf.图1）。

!图表显示扩张 E、F、K、L、同态 u、v、r

图 1.

与 E 和 F 的复合扩张 $(L, u, v)$ 到 E 和 F 的复合扩张 $(L', u', v')$ 的一般定义 (E, IV, p. 6) 同构一致，是 L 的 K-同构 $\varphi$ 到 $L'$ 使得 $u' = \varphi \circ u$ 和 $v' = \varphi \circ v$ 。

令 $(L, u, v)$ 为E和F的复合扩张。 $E \otimes_K F$ 的K-线性映射 $w$ 进入L，将 $x \otimes y$ 发送到 $u(x)v(y)$ 为K-代数同态；在这个编号中我们用 $u * v$ 来表示。它的像是 $u(E) \cup v(F)$ 生成的L的子环。

命题 4 06H6

— 令 E、F 为 K 的两个扩张。

引用了 1

引用了 I § 9. 。域

a) 设 $(L, u, v)$ 为E和F的复合扩张；那么同态 $u * v$ 的核p到 $E \otimes_K F$ 到L就是一个素理想。

b) 令p为 $E \otimes_K F$ 的素理想；则存在 E 和 F 的复合扩张 $(L, u, v)$ ，使得 p 是 $u * v$ 的核，并且任意两个这样的复合扩张是同构的。

断言 a) 从环到域的同态到核是素理想（I，p. 116-117）这一事实得出。

令 p 为 A 的 $E \otimes_K F$ 、A 商环 $(E \otimes_K F)/p$ 和分数的 L 域。对于 $x \in E$ （或 $y \in F$ ），我们用 $u(x)$ （或 $v(y)$ ）表示剩余类类 mod p $x \otimes 1$ （或 $1 \otimes y$ ）。那么 $u$ （分别 $v$ ）是E（分别F）到L和 $u(E) \cup v(F)$ 生成A的K同态为环，因此L为域。因此 $(L, u, v)$ 是E和F的复合扩张；我们立即看到 $u * v$ 是 $E \otimes_K F$ 到L的典范同态，因此它的核等于p。

令 $(L', u', v')$ 为E和F的复合扩张，使得 $u' * v'$ 的核等于p。由于 $u * v$ 和 $u' * v'$ 具有相同的核，因此在 $u' * v'$ 的像 $A'$ 上存在A的同构 $\psi$ ，其特征为 $u' * v' = \psi \circ (u * v)$ 。但 $A'$ 是 $u'(E) \cup v'(F)$ 生成的 $L'$ 的子环，因此L'是A'的分数的域。因此，L的 $\psi$ 扩展到同态 $\varphi$ 到L'，并且显然 $\varphi$ 是 $(L, u, v)$ 到 $(L', u', v')$ 的同构。

注 06H7

— 如果 $p$ 和 $p'$ 是 $E \otimes_K F$ 的两个不同的素理想，相应的* $E$ 和 $F$ 的复合扩张*（通过上述证明的过程构造）不是同构的。然而，它们仍然可以同构为 K 的扩张（*V*，p. 146，例 2）。

推论 06H8

There exist composite 扩张 of E and F*.

被以下引用 1

被以下引用推论, V § 4

因为由于交换环 $E \otimes_K F$ 没有减少到0，所以它有素理想：克鲁尔的定理（*I*，p. 104）证明了极大理想的存在，并且每个极大理想都是素数。

我们可以如下使这个推论更加精确。令 $(E, u)$ 和 $(F, v)$ 为K的两个扩张；选择交换环 $E \otimes_K F$ 的最大理想 m 并放入 $L = (E \otimes_K F)/m$ ；那么 L 是 K 的扩张。对于 $x \in E$ ，将 $x \otimes 1$ mod m 的剩余类类写为 $u'(x)$ ，同样将剩余类类写成 $v'(y)$ $1 \otimes y$ mod $m$ 适用于所有 $y \in F$ 。然后我们有一个可交换的图表域同态

\begin{array}{ccc} F & \xrightarrow{v'} & L \\ | & & | \\ K & \xrightarrow{u} & E . \end{array}

通过替换 $(L, u')$ 通过E的同构扩张，我们可以假设L包含E为子域并且 $u'$ 是L中E的典范嵌入。通过改变记号，我们得到以下 scholium ：

学院 06H9

设K和E为K到E的两个域和u同态。如果K'为域包含K为子域，则存在域E'包含E为子域且将 K' 的同态 u' 转化为 E'，延伸 u*'。

5. 线性不相交的扩张

在本文中，R 表示域 K 中的扩张。

设A和B是R的两个子K代数。存在代数同态 $\varphi : A \otimes_K B \to R$ ，其中映射 $x \otimes y$ 到 $xy$ 。 $\varphi$ 的像是由A U B生成的 $\Omega$ 的子环C。此外，由II，p. 256，如果 $(b_\mu)$ 是B在K上的基和 $(a_\lambda)$ A 的基超过 K，然后 C 重合与线性组合 $\sum_{\mu} \alpha_{\mu} b_{\mu}$ 的集合其中 $\alpha_{\mu} \in A$ ，所有 $\sum_{\lambda} \beta_{\lambda} a_{\lambda}$ 的集合其中 $\beta_{\lambda} \in B$ 以及所有 $\sum_{\lambda,\mu} \gamma_{\lambda\mu} a_{\lambda} b_{\mu}$ 中的集合，其中 $\gamma_{\lambda\mu} \in K$ 。

如果 $\varphi$ 是 $A \otimes_K B$ 到C的*同构*，我们可以说A和B在*K上*线性不相交的。然后我们有 $A \cap B = K$ ； B（分别A）相对于K的每个自由子集对于A（分别B）都是自由的；相反，对于 A 和 B 在 K 上线性不相交的，只要存在 B 在 K 上的一个基（对于例）就足够了，它相对于 A 是自由的（II，p. 256 和 III，p. 469）。

特别考虑 A 和 B 是 $\Omega$ 的*子扩展*的情况。

命题 5 06HA

设E和F是 $\Omega$ 中包含的K的两个扩张。

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了推论

被以下引用推论, AC V § 1, 推论, V § 13, 命题 16, V § 7

a) 如果F在K上有有限次数，则 $E \cup F$ 生成的 $\Omega$ 的子环是域，与 $E(F)$ 重合，并且 $E(F)$ 在E上的次数是有限的；我们有 $[E(F):E] \leq [F:K]$ ，*与等式当且仅当E和F在K上线性不相交的。在这种情况下， $E(F)$ 是E-*同构的*到 $E \otimes_K F$ 。*

b) 如果进一步 E 在 K 上为有限次数，则 $E(F) = K(E \cup F)$ 在 K 上为有限次数。我们有 $[K(E \cup F):K] \leq [E:K][F:K]$ 与等式当且仅当 E 和 F 在 K 上线性为不相交的。

令C为由 $E \cup F$ 生成的 $\Omega$ 的子环；如果 $(b_j)_{1 \leq j \leq n}$ 是F在K上的基，则C是由 $b_j$ 生成的 $\Omega$ 的向量子E空间，因此C是*有限*秩 $\leq n$ 的代数 E;因为环C包含在域中，所以它是整环，因此是*域*，由Cor。至提案 1 (V、p. 10)、从而 $C = E(F)$ 和 $[E(F):E] \leq [F:K]$ 。关系 $[E(F):E] = [F:K]$ 表示 $b_j$ 与 E 线性无关，因此 E 和 F 与 K 线性不相交的；这证明了命题的部分 a)。部分 b) 现在立即跟随，因为 $[E(F):K] = [E(F):E][E:K]$ 。

设E和F为 $\Omega$ 中包含的K的扩张；如果 E 和 F 在 K 上具有无限次，子环 $C = K[E \cup F]$ 不一定是域 $^1$ ；然而，C的分数*的*域然后是重合和 $K(E \cup F)$ 。更一般地，令A为E的子环，使得E为A的分数的域，并令B为F的子环，使得F为B的分数的域；那么如果C是 $A \cup B$ 生成的 $\Omega$ 的子环， $K(E \cup F)$ 重合和C的分数*的*域，因为后者域是最小的 $\Omega$ 包含于 C 的子域以及包含 E 和 F。此外：

命题 6 06HB

设E和F为 $\Omega$ 中包含的K的两个扩张，A和B为K上的 $\Omega$ 的两个子代数，使得E为A的分数的域和B的分数的域。则对于E和F要在 K 上线性不相交的，A 和 B 在 K 上线性不相交的是必要且充分的。

被以下引用 3

被以下引用命题 14, V § 14, 命题 4, V § 17, 命题 8

条件显然是必要的。相反，如果 A 和 B 在 K 上线性不相交的，A 和 F 也是如此，因为如果 $\Omega$ 的元素族对于 B 是自由的，那么它对于 B 的分数 F 的域也是自由的（II，p. 315，Cor. 1）和 p. 316，Cor.3)；现在，相同的论证表明 E 和 F 在 K 上呈线性不相交的。

$^1$ 对于例，只需考虑两个不定数X 以及Y 和 $E = K(X), F = K(Y)$ 中 $\Omega$ 是有理分式的域 $K(X, Y)$ 的情况就足够了。

命题 7 06HC

— 令 E 和 F 为 $\Omega$ 中包含的 K 的两个扩张；如果 E 和 F 在 K 上线性不相交的，则 E 的每个子扩展和 F 的每个子扩展在 K 上线性不相交的。相反，如果对于 E 和 F 的每个对有限生成的子扩展 E'、F' 分别，E' 和 F' 在 K 上线性不相交的，则 E 和 F 在 K 上线性不相交的不相交的超过 K。

被以下引用 1

被以下引用命题 8

对于 E 和 F 的条件在 K 上线性不相交的可以表示如下：如果 $(a_\alpha)$ 是 E 中的自由族并且 $(b_\beta)$ 是 F 中的自由族，则关系 $\sum_{\alpha,\beta} \lambda_{\alpha\beta} a_\alpha b_\beta = 0$ ，其中 $\lambda_{\alpha\beta} \in K$ 意味着每个 $\lambda_{\alpha\beta} = 0$ 对后缀。但是，如果对于每个对个有限自由族都成立，那么这个条件对于每个对个自由族都满足。

因此，直观地说，我们可以说线性析取是有限特征标的性质 «。

命题 8 06HD

— 令 E、F、G 为 $\Omega$ 中包含的域 K 中的三个扩张，使得 $F \subset G$ 。为了使 E 和 G 在 K 上线性不相交的，E 和 F 在 K 上线性不相交的且 E(F) 和 G 在 F 上线性不相交的是必要且充分的。

\begin{array}{ccccc} E & \longrightarrow & E(F) \\ K & \longrightarrow & F & \longrightarrow & G. \end{array}

引用了 2

引用了命题 6, 命题 7

图 2.

条件是必要的：假设 E 和 G 在 K 上线性不相交的。E 和 F 也同样成立（命题 7）；另一方面，如果 B 是 E 对 K 的基，这也是代数 F[E] 对 F 的基；因为 B 在假设上自由于 G，所以 F[E] 和 G 在 F 上线性不相交的，根据命题 6， $E(F) = F(E)$ 和 G 也是如此。

条件是足够的：与相同的记号意味着 B 在 F 上是自由的，因此它是 F[E] 在 F 上的基；由于 F[E] 和 G 在 F 上假设线性不相交的，B 在 G 上自由，这表明 E 和 G 在 K 上不相交的线性。

习题

参见习题为 § 2。

§ 2。 扩张

1. 结构 / 扩张

定义 1 06GV

2. 次数 / 扩张

定理 1 06GW

推论 1 06GX

推论 2 06GY

命题 1 06GZ

推论 06H0

3. 伴随

命题 2 06H1

注 06H2

命题 3 06H3

推论 06H4

定义 2 06H5

4. 复合扩张

命题 4 06H6

注 06H7

推论 06H8

学院 06H9

5. 线性不相交的扩张

命题 5 06HA

命题 6 06HB

命题 7 06HC

命题 8 06HD

习题

§ 2。扩张