(AC) K 的每个代数扩张都是次数 1（在其他字中，K 在 K 的每个扩张域中是相对代数封闭的）。

让我们首先证明属性 (AC)、(AC') 和 (AC'') 的等价。显然（AC）意味着（AC）。由于 K[X] 的每个非常数多项式都可以被不可约多项式（IV、p. 13，命题 13）整除，并且 K[X] 中的每个次数 1 多项式明确承认 K 中存在根，因此我们看到 (AC) 蕴涵 (AC')。 条件 (AC') 通过 n 上的归纳暗示，K[X] 中次数 n 的每个多项式都是次数 1 (IV, p. 14，命题 1) 的 n 个多项式中的乘积，因此 (AC') 暗示 (AC)。

仍有待观察的是 (AC) 和 (AC) 是等价的。如果(AC'')成立，则K上的代数K的扩张域L的每个元素都是次数1(V，p. 16，Th.1)，因此属于为K，成立(AC)。反之，令f为K[X]中次数$n \geq 1$的不可约多项式；商代数 K[X]/(f) 是 K 上的次数 n 并且是域，因此 K 的次数 n 的代数扩张（V，p. 18，命题 2）。现在很清楚，(AC) 意味着(AC'')。

令 f 为 $\bar{K}[X] \subset \Omega[X]$ 中的非常数多项式。由于$\Omega$是代数闭的，所以多项式f在$\Omega$中至少有一个根，并且由于这个根是$\bar{K}$上的代数，所以它属于到$\bar{K}$（V，p. 19，命题4）。因此$\bar{K}$满足(AC')。

\* 例 2. — 根据命题 2，所有在 Q 上代数的复数（通常称为简单代数数）的集合是代数闭域。 \*

令 K 为有限域并放入 $f(X) = 1 + \prod_{a \in K} (X - a)$。首一多项式 $f \in K[X]$ 是非常数，而 $f(a) = 1$ 对于每个 $a \in K$ 都是非常数。所以域 K 不满足 (AC')，因此不是代数封闭的。

由V，p. 13，Scholium，存在$\Omega$的扩张域$\Omega'$以及E到$\Omega'$的K同态u。设 $x \in E$；因为 x 是 K 上的代数，所以 u(x) 是 u(K) 上的代数，并且 更不必说 是 $\Omega$ 上的代数（V，p. 17，Cor. 2）；由于 $\Omega$ 是代数封闭的，因此我们有 $u(x) \in O$。由此可见，$u$映射$E$变为$O$。

我们可以将多项式 $f_i$ 视为多项式 (注 1)。设$i \in I$，并令$f_i$的次数为$d_i$。根据IV，p. 73，命题5，存在交换代数$A$，超过$K$，不减少到0，以及$A_i$的元素$\xi_{i,1}, \ldots, \xi_{i,d_i}$，这样：

a) 代数 $A_i$ 由$(\xi_{i,1}, \ldots, \xi_{i,d_i})$生成；

(1) 取例$K = \mathbf{Q}$和$f = X^3 - 2$。

b) 我们在$A_i[X]$中有$f_i(X) = \prod_{k=1}^{d_i} (X - \xi_{i,k})$。

设$A$为代数$(A_i)_{i \in I}$家族的张量积，并令$\varphi_i$为$A_i$的典范同态进入$A$（III，p. 470）。 代数 $A$ 则可交换且不减至 0；根据克鲁尔的定理（I，p. 104），因此在$A$中存在最大理想$a$，而$E = A/a$是域$K$的扩张。

将$A$的$\psi$典范同态代入$E$，并将$x_{i,k} = \psi(\varphi_i(\xi_{i,k}))$代入$i \in I$和$l \leq k \leq d_i$。由于代数$A$是由$\bigcup \varphi_i(A_i)$生成的，扩张$E$是由$(x_{i,k})$家族生成的。此外，我们还有$i \in I$

因此$E$是家庭$(f_i)_{i \in I}$的分裂扩张。

令$R_i$为E中$f_i$的根和$R = \bigcup_{i \in I} R_i$的集合。由于 $f_i$ 是位于 $F[X]$ 中的第一个次数多项式的乘积，因此我们有 $R_i \subset F$。由Def。 2、我们有$F = K(R)$；同理我们发现$F = K(R)$。

这是根据第 5 号提案和 V、p. 13、Cor. 得出的。提案 4。

(AC) 需要条件。相反，假设$\Omega$是$K$上的代数，并且$K[X]$上的每个非常数多项式是次数1的因子的$\Omega[X]$中的乘积。令$\Omega'$是一个代数扩张的 $\Omega$ 并令 $x \in \Omega'$。由于$x$是$\Omega$上的代数，$\Omega$是$K$上的代数，$x$是$K$上的代数（V，p. 19，命题3）。令 $f$ 为 $x$ 在 $K$ 上的最小多项式。将假设将$\Omega[X]$中的多项式$f \in K[X]$分裂的代入次数1、从而$x \in \Omega$的因子乘积。因此我们有 $\Omega' = \Omega$ 并且 $\Omega$ 是代数封闭的，因为它满足 (AC)。

断言 a) 由 Th 得出。 1（V，p. 20）。现在假设 b) 的假设并考虑一个非常数多项式 $f \in K[X]$。设E为$f$的分裂域（V，p. 21，命题4）；由于E是有限次数在$K$上的代数（V，p. 18，Th.2），我们可以假设E是$\Omega$的子扩展。那么多项式$f$就是$\Omega[X]$中次数1的多项式的乘积，并且第6命题表明$\Omega$是代数封闭的。

现在我们可以证明代数闭包和域的存在性和唯一性（直到同构）。

根据第 6 条，$K$ 的代数闭包只不过是 $K[X]$ 中所有非常数多项式的集合的分裂扩张。 Th。因此，2 是从第 4 号提案V、p. 21 和 Cor. V、p. 22 得出的。

应用Th就足够了。 2至代数闭包$\Omega$和$(\Omega', u)$$K$。