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§ 1。多项式

1. 定义多项式

设$I$为集合。我们记得（III，p. 452），$I$超过$\mathbf{A}$的免费交换代数由$\mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$或$\mathbf{A}[X_i]_{i \in I}$表示。这个代数的元素被称为关于不定式$X_i$（或不定式$X_i$）的*多项式*，系数在$\mathbf{A}$中。让我们回想一下，不确定的$X_i$是$i$的典范像，在$I$上的自由交换代数超过$\mathbf{A}$； 有时用另一个符号（例如 $X'_i, Y_i, T_i$ 等）来表示这个像是很方便的。这个约定通常由诸如以下的短语引入：“让 $Y = (Y_i)_{i \in I}$ 成为一个不定族”；在这种情况下，相关多项式的代数由$\mathbf{A}[Y]$表示。当$I = \{1, 2, \ldots, n\}$时，写$\mathbf{A}[X_1, X_2, \ldots, X_n]$代替$\mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$。

对于$\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$，我们把

那么$(X^\nu)_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}}$就是$\mathbf{A}$模块$\mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$的基。 $X^\nu$ 在不定式$X_i$ 中称为*单项式*。对于$\nu = 0$，我们获得$\mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$的单位元。每个多项式 $u \in \mathbf{A}[(X_i)_{i \in I}]$ 都可以用一种方式写成形式

其中$a_\nu \in \mathbf{A}$和$\alpha_\nu$是零，除了有限的数； $a_\nu$ 称为 $u$ 的*系数*； $\alpha_\nu X^\nu$ 称为 $u$ 的 项（通常元素 $\alpha_\nu X^\nu$ 在 $X^\nu$ 中称为项），特别是 $\alpha_0 X^0$ 的项，以 $a_0$ 标识，称为*常数项* 或 $u$。当$\alpha_\nu = 0$时，我们滥用语言说$u$*包含在$X^\nu$中没有元素*；特别是当$\alpha_0 = 0$时，我们说$u$是一个多项式*没有常数项*（III，p. 453）。任何 1 的标量倍数称为*常数多项式*。

设 B 为交换环和 $\rho : A \to B$ 环同态。我们通过$\rho$将$B[(X_i)_{i \in I}]$视为A-代数。因此，$A[(X_i)_{i \in I}]$的映射$\sigma$转换为$B[(X_i)_{i \in I}]$，其中变换$\sum \alpha_\nu X^\nu$转换为$\sum \rho(\alpha_\nu) X^\nu$是A-代数的同态；如果$u \in A[(X_i)_{i \in I}]$，我们有时用$u$的$^\rho u$像表示，这个同态。将$B \otimes_A A[(X_i)_{i \in I}]$的同态转换为由$\sigma$变换规范定义的$B[(X_i)_{i \in I}]$，对于每个$i \in I$，将$1 \otimes X_i$转换为$X_i$；这是 B 代数的同构 (III, p. 449)。

令 M 为自由A-模且基 $(e_i)_{i \in I}$。 代数 $A[(X_i)_{i \in I}]$ 的对称代数 $S(M)$ 恰好存在一个单位同态 $\varphi$，使得每个$i \in I$有$\varphi(e_i) = X_i$，而这个同态是同构（III， p. 506）。这个同构据说是规范的。它允许我们将对称代数的某些属性应用于多项式代数。对于例，令$(I_1), \ldots, L$为I的划分。让$\varphi_\lambda$是$P_\lambda = A[(X_i)_{i \in I_\lambda}]$的同态到$P = A[(X_i)_{i \in I}]$，其中变换$X_i$（$P_\lambda$的元素）到$X_i$（P的元素）。然后将代数$\bigotimes_{h \in L} P_\lambda$的$\varphi_\lambda$定义同态转化为代数P， 这个同态是同构（III，p. 503，第9条）。

设E为A-模，并放入$E \otimes_A A[(X_i)_{i \in I}] = E[(X_i)_{i \in I}]$。 A-模 $E[(X_i)_{i \in I}]$ 的元素被称为不定式 $X_i$ 中的多项式，其系数在 E 中。 这样的多项式只能以一种方式写为 $\sum_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}} e_\nu \otimes X^\nu$，其中 $e_\nu \in E$ 和 $e_\nu$ 对于除了有限数之外的所有情况都是零后缀；我们经常写$e_\nu X^\nu$而不是$e_\nu \otimes X^\nu$。

2. Degrees

令$P = A[(X_i)_{i \in I}]$为多项式代数。 对于每个整数$n \in \mathbf{N}$，令$P_n$为由单项式$X^\nu$生成的P的子模，使得$|\nu| = \sum_{i \in I} \nu_i$等于n。 那么$(P_n), \ldots$是一个分级，它将$A[(X_i)_{i \in I}]$变成型$\mathbf{N}$（III，p. 459）的分级代数。 The homogeneous elements of degree $n$ in $A[(X_i)_{i \in I}]$ are sometimes called forms of degree $n$ with respect to the indeterminates $X_i$.

当我们处理非齐次多项式次数时，我们同意将自然数的集合$\mathbf{N}$、元素写成$-\infty$以及扩展序关系和$\mathbf{N}$的加法 $\mathbf{N} \cup \{-\infty\}$ 按照以下约定，其中 $n \in \mathbf{N}$，

令 $u = \sum_{\nu \in \mathbf{N}^{(I)}} \alpha_\nu X^\nu$ 为多项式。 $u$（对于上面定义的型 N 的分级）的次数 n 的齐次分量$u_n$等于$\sum_{|\nu|=n} \alpha_\nu X^\nu$，并且我们显然有$u = \sum_{n \in \mathbf{N}} u_n$。如果$u \neq 0$，$u_n$不都是零，我们将定义$u$的*次数*（或*总计次数*），写成$\deg u$，如数的最大的 $n$使得$u_n \neq 0$；在其他字（III，p. 453）中，对于多索引$\nu$，$u$的次数是整数$|\nu|$的最大的，使得$a_\nu \neq 0$。当$u = 0$时，$u$的次数按照约定为$-\infty$。对于每个整数 $p \in \mathbf{N}$，关系 $\deg u \leq p$ 因此相当于 « $a_\nu = 0$ 对于每个多索引 $\nu$ 和 $|\nu| > p$ »；首一多项式 $u$ 的集合使得 $\deg u \leq p$ 是 $A[(X_i)_{i \in I}]$ 的 A-子模，等于 $P_0 + P_1 + \ldots + P_p$ 与上述记号。

令 E 为 A-模。族 $(E \otimes P_n)_{n \in \mathbf{N}}$ 是系数为 E 的多项式的模 $E[(X_i)_{i \in I}] = E \otimes_A A[(X_i)_{i \in I}]$ 的型 N 的毕业。对于这种情况，我们将上面针对非齐次多项式次数采用的扩展约定。

3. Substitutions

设 E 是在 $\mathscr{A}$ 和 $x = (x_i)_{i \in I}$ 上的单位结合律代数，是 E 的成对可置换元素族。 设 $X = (X_i)_{i \in I}$ 为不定族。 根据III，第7条，p. 449，$\mathscr{A}[X]$到$E$存在唯一的单位同态$f$，使得每个$i \in I$有$f(X_i) = x_i$。 The image of an element $u$ of $\mathscr{A}[X]$ under $f$ is written $u(x)$ and is called the element of E obtained by substituting $x_i$ for $X_i$ in $u$, or also the value of $u$ for $X_i = x_i$. 特别是$u = u((X_i)_{i \in I})$。 如果$I = \{1, \ldots, n\}$我们写$u(x_1, \ldots, x_n)$代替$u((x_i)_{i \in I})$。 更一般地，如果 M 是 A-模并且 o 是元素

我们用$v(x)$表示映射$1_M \otimes f$下$M \otimes_A E = M_{(E)}$中$v$的像。

如果 $\mathscr{A}[X]$ 的同态 $u \mapsto u(x)$ 进入 E 是单射的，我们说族 $x$ 在 $\mathscr{A}$ 上“代数上自由”，或者说 $x_i$ 在 $\mathscr{A}$ 上“代数上独立”。这也意味着单项式 $x^{\nu}$ ($\nu \in \mathbf{N}^{(I)}$) 在 $\mathscr{A}$ 上线性无关。

如果 $\lambda$ 是 E 的单位同态到单位结合词 A-代数 E'，我们有

因为$\lambda \circ f$是$\mathscr{A}[X]$的同态到E'，其中映射$X_i$到$\lambda(x_i)$。

让$u \in \mathscr{A}[X]$。如果$E$是可交换的，$E^1$到E的映射$x \mapsto u(x)$称为$u$（和代数$E$）定义的*多项式函数*；我们将有时表示为$\tilde{u}$（甚至只是$u$）。

令$Y = (Y_j)_{j \in J}$为另一个不定族，并让我们将多项式代数$\mathscr{A}[Y]$视为E。给定$u \in \mathscr{A}[X]$，将$g_i \in \mathscr{A}[Y]$换成$i \in I$，然后放入$g = (g_i)_{i \in I}$；设$u(g) \in \mathscr{A}/[Y]$为将$u$中的多项式$g_i$代入$X_i$得到的多项式。令 $y = (y_j)_{j \in J}$ 为单位结合词 A-代数 E' 的成对可置换元素族； 应用 (1) 将$E$中的$\mathscr{A}$同态$g \mapsto g(y)$代入$E'$，我们得到

如果$f = (f_i)_{i \in I} \in (\mathscr{A}[(X_j)_{j \in J}])^I$和$g = (g_j)_{j \in J} \in (\mathscr{A}[(Y_k)_{k \in K}])^J$，我们用$f \circ g$或$f(g)$表示多项式族$(f_i(g))_{i \in I} \in (\mathscr{A}[(Y_k)_{k \in K}])^I$。如果我们将 ${E'}^J$ 的 $\tilde{f}$ 映射 $x \mapsto (f_i(x))_{i \in I}$ 表示为 ${E'}^I$（其中 $E'$ 是单位结合律和可交换的 $A$-代数），则关系 (2) 意味着

如果 $h = (h_k)_{k \in K} \in (A[(Z_l)_l \bullet_L])^K$，则由 (2) 得出：

4. 差速器和推导

设$B = A[(X_i)_{i \in I}]$，则通过III，p. 569，对于每个$i \in I$，存在且仅有一个B的A导数$D_i$，使得

再次令$B = A[(X_i)_{i \in I}]$；由$B$、$\Omega_A(B)$的A微分的III、p. 569 B-模，有$X_i$的微分族$(dX_i)_{i \in I}$为基。令$\partial_i$为指标$i$相对于基在$\Omega_A(B)$上的坐标形式。那么 B 的映射 $u \mapsto (\partial_i, du)$ 到自身就是 B 的推导，对于 $j \neq i$，映射 $X_i$ 为 1，$X_j$ 为 0，因此是 $D_i$；在其他字中，我们有

5. 多项式环中的除子 / 零