§ 3. 。评分代数

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§ 3。评分代数

本段中考虑的毕业将具有作为次数的集合的*可交换幺半群，其单位元素由 0* 表示。

1. 评分代数

定义 1 0603

令 $\Delta$ 为可交换幺半群， $A$ 型 $\Delta$ * (II, § 11, no. 2) 的分级环， $(A_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ *其分级和 E A-代数。加法群 E 上的型 $\Delta$ 的毕业 * $(E_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ * 据说与 E 上的 A-代数结构兼容，如果它与 E 上的 A-模和环结构兼容，则在其他字中，如果对于所有 $\Delta$ 中的 $\lambda, \mu$ ，

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 II § 11. 。分级为模和环, 习题 1, § 3

被以下引用注

(1)

A_\lambda E_\mu \subset E_{\lambda + \mu}

(2)

E_\lambda E_\mu \subset E_{\lambda + \mu}.

A-代数 E，有了这个分级，就被称为分级代数，分级为型 $\Delta$ ，分级为环 A。

当 A 上的毕业*微不足道*（即 $\lambda \neq 0$ 的 (II, § 11, no. 1) $A_0 = A, A_\lambda = \{0\}$ ）时，条件 (1) 意味着 $E_\lambda$ 是 E 的 子 A 模块。这导致定义的概念的分级代数型 $\Delta$ 超过*非分级* 交换环 $A$ ： $A$ 被赋予型 $\Delta$ 的简单分级，并应用上述定义。

当我们考虑带有 单位元 $e$ 的分级 $A$ -代数 $E$ 时，总会理解 $e$ 是次数* 0 (cf. 习题 1)。

由此可见，如果可逆元 $x \in E$ 是*齐次*且为次数 $p$ ，则其逆 $x^{-1}$ 为*齐次*且为次数 $-p$ ：足以将 $x^{-1}$ 分解为关系 $x^{-1}x = xx^{-1} = e$ 中同质元素的和。

令 $E$ 和 $E'$ 为型 $\Delta$ 的两个分级代数，超过型 $\Delta$ 的分级环 $A$ 。如果 $u(E_\lambda) \subset E'_\lambda$ 对于所有 $\lambda \in \Delta$ 而言， $A$ -代数同态 $u : E \to E'$ 被称为*分级代数同态*（其中 $(E_\lambda)$ 和 $(E'_\lambda)$ 分别表示 $E$ 和 $E'$ 的分级）；其中 $E$ 和 $E'$ 是结合且单位的， $u$ 是单位的，这个条件意味着 $u$ 是分级的环同态 (II, § 11, no. 2)。

令 $E$ 为型 $N$ 的分级 $A$ 代数。 $E$ 与型 $\mathbf{Z}$ 的分级 $A$ 代数一致，通过将 $n < 0$ 写为 $E_n = \{0\}$ 来识别。

注 0604

定义 1 也可以被说解释为 $E$ 是分级的 $A$ -模块并且 $A$ -线性映射

m : E \otimes_A E \to E

在 $E$ (§ 1, no. 3) 上定义乘法，当 $E \otimes_A E$ 的分级为型 $\Delta$ (II, § 11, no. 5) 时，次数* 0 是 *齐次的。

对于定义分级环 $A$ 上的型 $\Delta$ 的分级 $A$ -代数结构，以 $E$ 作为基础分级 $A$ -模块，因此相当于为每个有序对进行定义 $\Delta$ 元素 $(\lambda, \mu)$ $\mathbf{Z}$ -双线性映射

m_{\lambda \mu} : E_\lambda \times E_\mu \to E_{\lambda + \mu}

这样对于指标 $(\lambda, \mu, \nu)$ 和 $\alpha \in A_\lambda,\ x \in E_\mu,\ y \in E_\nu$ 的每个三倍，

\alpha . m_{\mu \nu}(x, y) = m_{\lambda + \mu, \nu}(\alpha x, y) = m_{\mu, \lambda + \nu}(x, \alpha y).

引用了 3

引用了定义 1, II § 11. 。分级为模和环, III § 1. 。代数

例 0605

(1) 令 $B$ 为型 $\Delta$ 的*分级环*；如果 $B$ 被赋予其规范的 $\mathbf{Z}$ -代数结构 (§ 1, no. 1, 例 2)， $B$ 是分级的 $A$ -代数（ $\mathbf{Z}$ 被赋予简单的毕业）。

(2) 设 $A$ 为型 $\Delta$ 的分级交换环， $M$ 为型 $\Delta$ 的分级 $A$ 模块。假设幺半群 $\Delta$ 的所有元素都是*可消去*，这允许（II, § 11, no. 6）我们在 $\mathrm{Homgr}_A(M, M) = \mathrm{Endgr}_A(M)$ 上定义一个型 $\Delta$ 的分级 $A$ 模块结构；由于此毕业与 $\mathrm{Endgr}_A(M)$ （II, § 11, no. 6）上的环结构兼容，因此定义是 $A$ -代数*结构在 $A$ -代数 $\mathrm{Endgr}_A(M)$ 上的*统一分级。

(3) 代数岩浆。 令 $S$ 为岩浆， $\phi : S \to \Delta$ 同态。对于所有 $\lambda \in \Delta$ ，我们写为 $S_\lambda = \phi^{-1}(\lambda)$ ；然后 $S_\lambda S_\mu \subset S_{\lambda + \mu}$ 。设 $A$ 为型 $\Delta$ 的分级交换环， $(A_\lambda)_{\lambda \in \Delta}$ 为其毕业；我们将对岩浆 $S$ （§ 2, no. 6）的代数 $E = A^{(S)}$ 进行定义分级 $A$ 代数结构。为此，令 $E_{\lambda}$ 表示由形式 $\alpha.s$ 的元素生成的 $E$ 的加法子群，使得 $\alpha \in A_{\mu}, s \in S_{\nu}$ 和 $\mu + \nu = \lambda$ 。由于 $S_{\lambda}$ 是成对的不相交的， $E$ 是 $A_{\mu}S_{\nu}$ 的直和，因此也是 $E_{\lambda}$ 的直和， $E_{\lambda}$ 满足是直接的条件 (1) 和 (2)，因此定义在 $E$ 上得到所需分级的 $A$ -代数结构。如果 $S$ 承认单位元素 $e$ ，也可以假设 $\phi(e) = 0$ 。一种特殊情况是环 $A$ 的毕业是微不足道的；那么 $E_{\lambda}$ 就是 $S_{\lambda}$ 生成的 $E$ 的子 $A$ 模块。更具体地，如果我们采用 $S = \mathbf{N}^{(I)}, \Delta = \mathbf{N}$ 和 $\phi$ 映射使得 $\phi((n_i)) = \sum_{i \in I} n_i$ ，环 $A$ 具有平凡的分级，则因此在多项式代数 $A[X_i]_{i \in I}$ 上获得分级，其中次数是齐次多项式 $\neq 0$ 是§ 2, no. 9 (cf. § 6, no. 6) 中定义的总次数。

现在，我们将 $S$ 作为集合 $B$ （I, § 7, no. 2）和 $\phi$ 同态 $Mo(B) \to \mathbf{N}$ 的自由幺半群 $Mo(B)$ ，它与每个字及其长度相关联。因此，在集合 $B$ (§ 2, no. 7; cf. § 5, no. 5) 的自由结合代数上获得分级 $A$ -代数结构。

引用了 6

引用了 III § 1. 。代数, II § 11. 。分级为模和环, III § 2. 。例 / 代数, III § 6. 。对称代数, I § 7. 。免费幺半群，免费群, III § 5. 。张量代数、张量

2. 分级子代数，分级代数的分级理想

令 $E$ 为型 $\Delta$ 的分级代数，超过型 $\Delta$ 的分级环 $A$ 。 If $F$ is a sub- $A$ -algebra of $E$ which is a graded sub- $A$ -module, then the graduation $(F_{\lambda})$ on $F$ is compatible with its $A$ -algebra structure, since $F_{\lambda} = F \cap E_{\lambda}$ ; in this case $F$ is called a graded subalgebra of $E$ and the canonical injection $F \to E$ is a graded algebra homomorphism.

Similarly, if $a$ is a left (resp. right) ideal of $E$ which is a graded sub- $A$ -module, then $E_{\lambda}a_{\mu} \subset a_{\lambda+\mu}$ (resp. $a_{\lambda}E_{\mu} \subset a_{\lambda+\mu}$ ), since $a_{\lambda} = a \cap E_{\lambda}$ ; then $a$ is called a graded ideal of the algebra $E$ . 如果 $b$ 是 $E$ 的分级双面理想，则模 $E/b$ 上的商分级与 $E/b$ 上的代数结构兼容，并且典范同态 $E \to E/b$ 是分级代数同态。

如果 $u : E \to E'$ 是分级代数同态， $\operatorname{Im}(u)$ 是 $E'$ 的分级子代数， $\operatorname{Ker}(u)$ 是 $E$ 的分级双边理想，而双射规范地与 $u$ 相关联的 $E/\operatorname{Ker}(u) \to \operatorname{Im}(u)$ 是分级的代数同构。

命题 1 0606

Let $A$ be a graded 交换环 of 型 $\Delta$ , $E$ a graded $A$ -algebra of 型 $\Delta$ and $S$ 集合 of homogeneous 元素 of $E$ 。那么 $S$ 生成的子 $A$ 代数（分别为左理想、右理想、两侧理想）就是分级的子代数（分别为分级理想）。*。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 2, II § 11

被以下引用引理 1, LIE II § 2

$S$ 生成的 $E$ 的子代数是 $S$ 的元素的有限乘积生成的子 $A$ 模，它们是齐次的；类似地， $S$ 生成的左（或右）理想是形式 $u_1(u_2(\ldots(u_n s))\ldots)$ （或 $(\ldots((s u_n) u_{n-1})\ldots) u_2$ ） $u_1$ ）的元素生成的子 $A$ 模块，其中s ∈ S和u_j ∈ E是齐次的（n任意）并且这些乘积是齐次的，从而在这种情况下是根据II, § 11, no. 3、命题 2)得出的结论；最终 S 生成的两侧理想为并或序列 (\mathfrak{I}_n)_{n \geq 1}，其中 \mathfrak{I}_1 是 S 生成的左理想，而 \mathfrak{I}_{2n} （分别为\mathfrak{I}_{2n+1}）由 \mathfrak{I}_{2n-1} （或 \mathfrak{I}_{2n}）生成的右（或左）理想，完成证明。

3. 直极限已评分代数

设 (A_\alpha, \phi_{\beta \alpha}) 为型 \Delta (II, § 11, no. 3, 注 3) 的分级交换环的有向直接系统，对于每个 \alpha，令 E_\alpha 为型 \Delta 的分级 A_\alpha 代数；对于 \alpha \leq \beta 设 f_{\beta \alpha}：E_\alpha \to E_\beta 是分级代数的 A_\alpha 同态，并假设 f_{\gamma \alpha} = f_{\gamma \beta} \circ f_{\beta \alpha} 对于 \alpha \leq \beta \leq \gamma；那么我们将在型 \Delta 的分级交换环的有向直接系统 (A_\alpha, \phi_{\beta \alpha}) 上调用 (E_\alpha, f_{\beta \alpha}) 型 \Delta 的分级代数的有向直接系统。然后我们知道 (II, § 11, no. 3) E = \lim \to E_\alpha 在分级环 A = \lim \to A_\alpha 和乘法上具有规范的模结构型 \Delta 分级，使得 E^\lambda E^\mu \子集 E^{\lambda + \mu} （其中(E^\lambda)表示E)上的刻度；那么这个乘法和 E 定义上的分级 A-模结构在 E 上分级的 A-代数结构型 \Delta； E，这个结构，被称为分级代数的直接系统(E_\alpha, f_{\beta \alpha})的直极限。典范同态 E_\alpha \ 到 E 取分级代数的 A_\alpha 同态。此外，如果 F 是型 \Delta 的分级 A-代数和 A_\alpha 同态 u_\alpha 的 (u_\alpha) 直接系统：E_\alpha \to F，则 u = \lim \to u_\alpha 是分级代数的 A-同态。

习题

参见习题为 § 3。