对于M中的$x, y$，通过定义$\phi'(x)\phi'(y) = \phi'(y)\phi'(x)$，如元素$\phi'(x)$，其中x穿过M，生成S(M)，从§ 1, no. 7得出结论。

在其他字中，$(S(M), \phi')$是*普遍映射问题*的解（*集合理论*，IV, § 3, no. 1），其中$\Sigma$是A-代数的类结构，$\alpha$-映射为A-模M到A-代数满足的线性映射 (1)。

g 的唯一性由$\phi'(M) = M$ 生成 S(M) 得出。证明 g, 注的存在性，根据 § 5, No. 1, 命题 1 存在 A-代数同态 $g_1 : T(M) \to E$ 使得 $f = g_1 \circ \phi;$

需要证明的是，在理想的$\mathfrak{J}'$上$g_1$是零，那么，如果$p : T(M) \to S(M) = T(M)/\mathfrak{J}'$是典范同态，我们可以写成$g_1 = g \circ p$，其中$g : S(M) \to E$是代数同态，结论如下： $p \circ \phi = \phi'$。现在$g_1$的核是一个双面理想，根据(1)和关系$g_1 \circ \phi = f$，包含元素$x \otimes y - y \otimes x$对于$M$中的$x, y$。这样就完成了证明。

* 是可交换的。此外，$u'$是分级的代数同态。*

$u'$的存在性和唯一性源自no. 1、命题2应用于交换代数、$S(N)$和$f = \phi'_N \circ u : M \to S(N)$；作为

事实上，$u'$ 是分级的代数同态，源自 no. 1，*注* 1。

命题 3 中的同态 $u'$ 此后将用$S(u)$ 表示。如果 $P$ 是$A$-模且 $v : N \to P$ $A$-线性映射，则

对于 $S(v) \circ S(u)$ 是代数同态渲染可交换图表

由于$S(M)$包含$M = S^1(M)$，$S(u)$是有时，称为$u$到$S(M)$的*规范扩张*。 限制 $S^n(u): S^n(M) \to S^n(N)$ 是这样的

其中$x_i \in M$，因为$S(u)$是代数同态和$S^1(u) = u$； 限制$S^0(u)$到$A$是恒等映射。 注 $S^n(u)$ 可以由 $T^n(u): T^n(M) \to T^n(N)$ 通过经过得到商。

我们写$v = T(u): T(M) \to T(N)$；我们知道 (§ 5, no. 2, 命题 3) $v$ 是满射的，因此从定义得出 $v(\mathfrak{J}'_M) = \mathfrak{J}'_N$；如果$\mathfrak{R}$是$v$的核，则$v^{-1}(\mathfrak{J}'_N) = \mathfrak{R} + \mathfrak{J}'_M$。由于$S(u): T(M)/\mathfrak{J}'_M \to T(N)/\mathfrak{J}'_N$是由$v$乘以经过的商得出的，所以它是满同态，其核是$\mathfrak{R}' = (\mathfrak{R} + \mathfrak{J}'_M)/\mathfrak{J}'_M$。由于$\mathfrak{R}$是由$u$（§ 5, no. 2）的核$P$生成，$\mathfrak{R}'$也是如此。

如果 $u: M \to N$ 是*单射* 线性映射，则 $S(u)$ 并不总是真单射映射 (习题 1)。然而，当$u$是单射时，$u(M)$是$N$中的*直因子*，然后$S(u)$的像（与$S(M)$同构的）是$S(N)$的*直因子*； 证明与 $T(u)$ (§ 5, no. 2) 替换 $T$ by $S$ 的类似断言相同。

证明约化到 § 5, no. 2、命题 4 替换 $T$ $S$。当$A$为域时，命题5的假设对于$M$的*任意*子模$N, P$始终成立。

证明源自§ 5, no. 2，由S推论命题4替换T。

N 称为 M 与 z 关联的向量子空间。

（在右侧，乘积取自代数$S(M)$），双射A-线性映射是从A-模$\operatorname{Hom}_A(S^n(M), N)$到A-模的$M^n$到N的对称n线性映射获得的。

回想一下 (II, § 3, no. 9)，A-模 $\operatorname{Hom}_A(T^n(M), N)$ 的规范双射到 A-模 $\mathscr{L}_n(M, \ldots, M; N)$ 的*所有* n 线性映射$M^n$ 到 N 的映射是通过与每个 A-线性映射 $f : T^n(M) \to N$ 关联获得的 n 线性映射

另一方面，A-线性映射$g : S^n(M) \to N$与A-线性映射$f : T^n(M) \to N$是一对一的对应，这样通过与$g$映射关联，$f$是零*on*$\mathfrak{J}'_n$ $f = g \circ p_n$，哪里

是典范同态 (II, § 2, no. 1, 定理 1)。但由于$\mathfrak{J}'_n$是形式元素线性组合

n 个对称幂

(x, y, u_i, v_j in M)，说函数 f 是形式 g \circ p_n 意味着相应的 n-线性函数 $\bar{f}$ 满足关系

在其他字中，根据上面的内容，这意味着$\bar{f}$是*对称*； 从而命题，考虑到这一事实

与$x_i \in M$。

A-模 $S^n(M)$ 被称为 M 的第 n 个对称幂*。对于每个 A-模同态 $u : M \to N$、映射 $S^n(u) : S^n(M) \to S^n(N)$ 其中重合与 $S(u)$ $S^n(M)$ 称为 u* 的第 n 个对称幂。

$B$-线性映射$l_B \otimes \phi_M' : B \otimes_A M \to B \otimes_A S_A(M)$是分级的$B$-代数同构。

证明是由 § 5, no. 3、命题 5 替换 $T$ 衍生自 $S$ 以及 $\phi_M$ 衍生自 $\phi_M'$。

证明与 § 5, no. 5、命题 6 替换在整个 $T$ 和 $S$ 以及 $\phi$ 和 $\phi'$ 之间是相同的，并且考虑到交换代数的直极限是可交换的。

为了证明$g$是双射的，我们定义代数同态

这样$g \circ h$和$h \circ g$分别是$S(M)$和$\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$上的恒等映射。 对于每个 $\lambda \in L$，令 $u_\lambda$ 为复合线性映射

存在且仅有一个$A$-线性映射$u : M \to \bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$，使得$u \circ j_\lambda = u_\lambda$对于所有$\lambda \in L$。 As the $S(M_\lambda)$ are commutative, so is their tensor product (§ 4, no. 5) and hence (no. 1, Proposition 2) there exists a unique algebra homomorphism $h : S(M) \to \bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$ such that $h \circ \phi'_M = u$; on the other hand, it is immediate that $u(M)$ is contained in the submodule of elements of degree 1 of the graded algebra $\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$ and hence $h$ is a graded algebra homomorphism. 对于$x_\lambda \in M_\lambda$， 因为$u_\lambda(x_\lambda)$生成代数$\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$（§ 4, no. 5，命题8），$h \circ g$肯定是恒等映射。 同样， 并且，由于元素$\phi'_M(j_\lambda(x_\lambda))$生成代数$S(M)$，$g \circ h$肯定是恒等映射。

注 (1) 令$N = \bigoplus_{\lambda \in L} N_\lambda$为$A$模块另一个系列的直和，并以$L$作为索引集合，并且对于所有$\lambda \in L$，令$v_\lambda : M_\lambda \to N_\lambda$为$A$线性映射， 从而存在$A$线性映射$v = \bigoplus_\lambda v_\lambda : M \to N$（II, § 1, no. 6，命题 6）。然后图表

是可交换的，如下从定义（§ 4, no. 5，推论到命题 8）。

可以更精确地描述$\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda)$的子$A$模块，通过同构$g$来识别$S^n(M)$。对于$L$的每个有限子集$J$，我们写$E_J = \bigotimes_{\lambda \in J} S(M_\lambda)$，因此$\bigotimes_{\lambda \in L} S(M_\lambda) = \varprojlim E_J$相对于$L$的有限子集的有向集合$\mathscr{F}(L)$，乘以定义（§ 4, no. 5）。对于每个家庭$\nu = (n_\lambda) \in \mathbf{N}^{(L)}$（因此有*有限*支持），使得$\sum_{\lambda \in L} n_\lambda = n$和$L$包含中的每个有限子集$J$家庭$\nu$的支持，我们写

因此，$E_J$中次数$n$的元素的子模$E_{J,n}$是$J$中包含的所有支持家庭$\nu$的$S^{J,\nu}(M)$的*直和*，并且使得$\sum_{\lambda \in L} n_\lambda = n$ （§ 4, no. 7、命题 10 和 § 4, no. 8）。按照惯例，我们为$J$中未包含赡养费的家庭$\nu$写$S^{J,\nu}(M) = \{0\}$；那么$E_{J,n}$也可以称为*所有*$S^{J,\nu}(M)$的*直和*，其中$\nu$贯穿*所有*家族$\nu = (n_\lambda)_{\lambda \in L}$的集合$H_n$，使得$\sum_{\lambda \in L} n_\lambda = n$。由于$S^0(M_\lambda)$与$A$相同，显然，对于$L$的两个有限子集$J \subset J'$和$J$中包含的$\nu$家庭的支持，典范映射$S^{J,\nu}(M) \to S^{J',\nu}(M)$（限制典范映射 $E_J \to E_J$ 到 $S^{J,\nu}(M)$) 是*双射的*。如果我们写，对于所有 $\nu \in H_n$，

可以看出，考虑II, § 6, no. 2、命题 5：

一般来说，$S^n(M)$中的$S^\nu(M)$、$\bigotimes_{\lambda \in J} S^{n_\lambda}(M_\lambda)$及其像都被识别。

（*乘积在交换代数* $S(M)$）。 然后，当$\alpha$*穿过*$L$*的映射*的集合*$\mathbf{N}^{(L)}$*进入*$\mathbf{N}$、*有限支撑时，*的*$e^\alpha$*形式基* $A$-*模*$S(M)$。

由于$M$是$M_\lambda = Ae_\lambda$的直和，当$L$减少为单个元素，然后应用命题9时，足以证明定理。但是当$M = Ae$（*e*一个免费的元素）时，则$x \otimes y - y \otimes x = 0$适用于$M$中的所有$x, y$；因此，理想的$\mathfrak{g}'$是零、从而、$T(Ae) = S(Ae)$和定理，然后从§ 5, no. 5、定理1得出。

基 (14) 的乘法表由下式给出

(15)

其中$\alpha + \beta$是$L$到$\mathbf{N}$的映射$\lambda \mapsto \alpha(\lambda) + \beta(\lambda)$。在其他字中，$S(M)$ 的基 $(e^\alpha)$ 与乘法律 (15) 规范同构于源自 $L$ 的自由交换幺半群 $N^{(L)}$； (§ 2, no. 9) 自由模$M$与基的对称代数$S(M)$其下标集合为$L$，与多项式代数规范同构$A[(X_\lambda)_{\lambda \in L}]$、典范同构由映射$e_\lambda$到$X_\lambda$获得。特别是（§ 2, no. 7，命题 7），对于$L$的每一个映射$f : L \to E$到可交换的$A$-代数$E$，存在且仅有一个$A$-代数同态$\tilde{f} : S(M) \to E$，使得$\tilde{f}(e_\lambda) = f(\lambda)$。

注 (2)。考虑到II, § 1, no. 11、推论3到命题17，上述结果同样可以作为多项式代数和对称代数的通用性质的推论得到。

证明与§ 5, no. 5相同，推论为定理1，替换$T$乘以$S$。

$S(M)$ 是 $S^{\alpha, n}(M)$ 中的直和，这一事实由命题 9 的推论得出； 证明的其余部分与§ 5, no. 5、命题7的证明的末尾相同。

更具体地假设 $\Delta = \mathbf{Z}$ 并让 $S(M)$ 被赋予总分级 (型 $\mathbf{Z}$) (II, § 11, no. 1) 相应的到型 $\mathbf{Z} \times \mathbf{N}$ 的分级（因此也定义型 $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$）上面；因此，在此分级下，次数 $n \in \mathbf{Z}$ 的齐次元素是$q + m = n$ 的$S^{q, m}(M)$ 的直和。令$f$为分级$A$-模$M$的*次数* 0的*齐次*线性映射转换为型$\mathbf{Z}$的*可交换*分级$A$-代数$F$；那么代数同态$g : S(M) \to F$使得$f = g \circ \phi_M'$是型*$\mathbf{Z}$的分级代数的*同态，如下从公式$g(x_1 x_2 \ldots x_n) = f(x_1) f(x_2) \ldots f(x_n)$对于$M$中的同质$x_i$，从$f$假设开始，以及$S(M)$型$\mathbf{Z}$毕业定义开始。