准确地说，对于每一个 A-模 F，序列 是充分必要的*

（其中$\bar{u} = \mathrm{Hom}(u, 1_F)$，$\bar{v} = \mathrm{Hom}(v, 1_F)$）*准确*。

假设序列 (1) 是精确的。如果 $w \in \mathrm{Hom}(E'', F)$ 和 $\bar{v}(w) = w \circ v = 0$，则 $w = 0$ 因为 $v$ 是满射。因此，序列 (2) 精确为 $\mathrm{Hom}(E'', F)$。我们证明它在 $\mathrm{Hom}(E, F)$ 处是精确的。 $\bar{u} \circ \bar{v} = \mathrm{Hom}(v \circ u, 1_F)$ (§ 1, no. 2, 公式 (10)) 和 $v \circ u = 0$，因为序列 (1) 在 E 处精确。因此 $\bar{u} \circ \bar{v} = 0$，即 $\mathrm{Im}(\bar{v}) \subset \mathrm{Ker}(\bar{u})$。另一方面，如果$w \in \mathrm{Ker}(\bar{u})$，则$w \circ u = 0$，因此$\mathrm{Ker}(w) \supset \mathrm{Im}(u)$。但由于序列 (1) 在 E 处精确，$\mathrm{Im}(u) = \mathrm{Ker}(v)$ 因此为 $\mathrm{Ker}(w) \supset \mathrm{Ker}(v)$；由于 $v$ 是满射，因此从 § 1, no. 3, 注 可以得出，存在一个 $w' \in \mathrm{Hom}(E'', F)$ 使得 w = w' \circ v = \bar{v}(w')。因此 Ker(\bar{u}) \子集 \operatorname{Im}(\bar{v}) 完成证明序列 (2) 是精确的。

相反，假设 (2) 对于每个 A-模 F 都是精确的。对于每个同态 $w : E'' \to F$，$\bar{u} \circ \bar{v} = \operatorname{Hom}(v \circ u, 1_F) = 0, w \circ v \circ u = 0$ 都是精确的。取$F = E''$和$w = 1_{E''}$，首先看到$v \circ u = 0$，因此$u(E') \subset \operatorname{Ker}(v)$。现在取$F = \operatorname{Coker}(u)$，令$\phi : E \to F = E/u(E')$为典范映射。然后$\bar{u}(\phi) = \phi \circ u = 0$乘以定义，因此存在$\psi \in \operatorname{Hom}(E'', F)$使得$\phi = \bar{v}(\psi) = \psi \circ v$；这显然隐含了$u(E') = \operatorname{Ker}(\phi) \supset \operatorname{Ker}(v)$，从而证明序列(1)在E处精确。最后，令$\theta$为$E''$的典范同态到$F = E''/v(E)$；那么$\bar{v}(\theta) = \theta \circ v = 0$，因此$\theta = 0$；因此，$F = \{0\}$和$v$是满射的。因此，序列 (1) 精确为 $E''$。

对于$E'' = \{0\}$（分别为$E' = \{0\}$、$E'' = E$ 和$v = 1_E$）的情况，应用定理 1 就足够了。

注正合序列起

相应的序列

不一定是精确的，在其他字，同态$\bar{u}$不一定是满射的。如果 $E'$ 与 E 的子模相同，这意味着 $E'$ 的线性映射到 F 不能总是扩展到 E 的线性映射到 F（习题 11 和 12）。然而：

(3)

分裂的（在其他字中，如果$u(E')$是E的*直因子*）*序列*

(4)

准确且分裂的。 相反，如果对于每个 A-模 F，序列 (4) 都是精确的，序列 (3) 分裂的。

如果正合序列 (3) 分裂的，则存在与 $u$ (§ 1, no. 9，命题 15) 相关的线性回缩$u' : E \to E'$；如果

$u' \circ u$ 是恒等式意味着 $\bar{u} \circ \bar{u}'$ 是恒等式 ($§ 1$, no. 2, 公式 (10))，因此第一个断言由 $§ 1$, no. 9, 命题 15 得出。相反，假设序列 (4) 与 $F = E'$ 完全相同。则存在元素$f \in \mathrm{Hom}(E, E')$使得$f \circ u = 1_{E'}$，由$§ 1$、no. 9、命题15得出结论。

注命题 1 的第一个断言也可以被认为是 $§ 1$、no. 6 的特例，推论 1 到命题 6，通过 $\mathbf{Z}$ 线性映射将 $\mathrm{Hom}(E', F) \oplus \mathrm{Hom}(E'', F)$ 与 $\mathrm{Hom}(E' \oplus E'', F)$ 规范地识别$\mathrm{Hom}(p', 1_F) + \mathrm{Hom}(p'', 1_F)$，其中$p': E' \oplus E'' \to E'$和$p'': E' \oplus E'' \to E''$是规范的投影。

准确地说，对于每个$A$-模块$E$，序列是必要且充分的

（其中 $\bar{u} = \mathrm{Hom}(1_E, u), \bar{v} = \mathrm{Hom}(1_E, v)$）准确地说。

假设序列 (5) 是精确的。 注首先

(II、$§ 1$、no. 2、公式 (10)) 自 $v \circ u = 0$ 起。因此，$\bar{u}$下的$\mathrm{Hom}(E, F')$的像包含在$\bar{v}$的核$N$中；令$f$为$\mathbf{Z}$-模块$\mathrm{Hom}(E, F')$的同态进入$N$，其图等于$\bar{u}$的图；有必要证明$f$是*双射的*，因此定义映射$g: N \to \mathrm{Hom}(E, F')$使得$f \circ g$和$g \circ f$是恒等映射。为此，令$w$为$N$的元素，即线性映射$w: E \to F$使得$v \circ w = 0$。后者关系通过假设等价于$w(E) \subset \mathrm{Ker}(v) = u(F')$，因此，由于$u$是单射的，因此存在且仅有一个线性映射$w': E \to F'$，使得$w = u \circ w'$和我们取$g(w) = w'$；立即验证$g$满足所需的条件。

相反，假设序列 (6) 对于每个 $A$-模块 $E$ 都是精确的。作为 $\mathrm{Hom}(1_E, v \circ u) = \bar{v} \circ \bar{u} = 0$，则每同态 $w: E \to F'$ 都有 $v \circ u \circ w = 0$。取$E = F'$和$w = 1_{F'}$，首先看到$v \circ u = 0$，因此$u(F') \subset \mathrm{Ker}(v)$。现在我们取 $E = \mathrm{Ker}(v)$ 并令 $\phi: E \to F$ 为典范嵌入。那么$\bar{v}(\phi) = v \circ \phi = 0$乘以定义，因此存在$\psi \in \mathrm{Hom}(E, F')$使得$\phi = \bar{u}(\psi) = u \circ \psi$，这显然意味着$\mathrm{Ker}(v) \subset u(F')$并且在$F$处完成了(5)的精确性的证明。最后，如果$\theta$是$\mathrm{Ker}\, u$的恒等映射，则$\bar{u}(\theta) = 0$，因此$\theta = 0$和$\mathrm{Ker}\, u = \{0\}$，这证明了（5）在$F'$处的正确性。

对于$F' = \{0\}$的情况，应用定理2就足够了。

从正合序列开始

相应的序列

不一定是精确的，在其他字$\bar{v}$不一定是满射的。如果$F'$与$F$的子模识别，$F''$与商模$F/F'$识别，这意味着$E$的线性映射进入$F''$不一定是形式$v \circ w$，其中$w$是$E$到$F$的线性映射。然而：

(7)

分裂的（在其他字中，如果$u(F')$是$F$的*直因子*），*序列*

(8)

准确且分裂的。 相反，如果序列 (8) 对于每个 A-模 E 都是精确的，正合序列 (7) 分裂的。

第一个断言源自以下事实：

通过$\mathbf{Z}$线性映射$\operatorname{Hom}(1_E, j') + \operatorname{Hom}(1_E, j''), j' : F' \to F' \oplus F''$和$j'' : F'' \to F' \oplus F''$为典范嵌入（§ 1, no. 6，推论1到命题6），被规范地识别为$\operatorname{Hom}(E, F' \oplus F'')$。相反，如果序列 (8) 对于 $E = F''$ 是精确的，则存在元素 $g \in \operatorname{Hom}(F'', F)$，使得 $v \circ g = 1_{F''}$ 且结论由 § 1, no. 9、命题 15 得出。

注 (2)。这个结果没有。对于所有带有运算符的可交换群都是有效的，无需修改。

对于每个 A-模同态 u : E → F，

被识别为$\prod_i \operatorname{Hom}(1_{M_i}, u)$（§ 1, no. 6，推论1至命题6）；由此得出定义 1 和§ 1, no. 5、命题 5 (ii) 的结论。

只需命题 3 就足以证明 A_s 是射影的，它紧随交换律 of 图表 (50) of § 1, no. 14。

(a) P 是投影。 (b) 对于 A-线性映射、序列中的每个正合序列 0 → F' → F → F'' → 0

是准确的。

(c) 对于每个满射 A-模同态 u : E → E'' 和每个同态 f : P → E''，存在同态 g : P → E 使得 f = u ∘ g （据说 f 可以“提升”到 P 的同态到 E）。

(d) A-线性映射分裂的的每个正合序列 0 → E' → E → P → 0 （因此 P 与 E 的直因子同构）。

(e) P 同构于自由A-模的直因子。

(a) 暗示(b) 是微不足道的。要看出 (b) 蕴含 (c)，只需将 (b) 应用于正合序列 0 → E' → E → E'' → 0，其中 E' = Ker(u)，因为 (c) 表达了以下事实：

是主观的。要看出(c)蕴含(d)，只需将(c)应用于满同态$v : E \to P$和同态$l_P : P \to P$即可； 同态 $g : P \to E$ 的存在使得 $l_P = v \circ g$ 意味着序列

分裂的（§ 1, no. 9，命题15）。对于每一个A-模 M，都存在自由A-模 L 和正合序列 $0 \to R \to L \to M \to 0$ (§ 1, no. 11, 命题 20)，显然(d)蕴涵(e)。最后，(e) 凭借命题 3 及其推论意味着 (a)。

条件显然就足够了；反之，有限生成射影模 E 同构于自由模 F 与有限基 (§ 1, no. 11) 的商，并且 E 通过命题 4 (d) 同构于 F 的直因子。

可以假设有两个有限生成的免费C-模块M、N，使得$M = E \oplus E', N = F \oplus F'$；从 § 1, no. 6，推论 1 到命题 6，$\operatorname{Hom}_C(M, N)$ 是有限生成且自由的，另一方面，$\operatorname{Hom}_C(M, N)$ 同构于

从而推论。

这是§ 1, no. 14、注 2、相应的到$E = A_s$的典范同构$E \to \mathrm{Hom}_A(A_s, E)$的特例； § 1, no. 14的图表（50）交换律，表明我们这里有右A-模的同构。

如果通过命题 5的同构将$A_d$与$A_s$的对偶进行识别，则$A_s \times A_d$上的规范双线性形式可表示为

类似地，$A_d$ 的对偶被规范地等同于 $A_s$，$A_d \times A_s$ 上的规范双线性形式被表达为

这些结果是直接的推论或定义。

对于 E 的子模与 E* 的子集正交，有一个类似的命题（我们将留给读者说明）。

如果 M 是 E 的子模，M' 是与 M 正交的 E* 的子模，并且 E 的 M'' 子模与 M' 正交，则 M ⊂ M'' 但也可能是 M ≠ M'' (习题 9)。 注然而，如果 M'' 是 E* 中 M'' 的正交，则 M'' = M'；对于 M' ⊂ M'' 并且另一方面关系 M ⊂ M'' 意味着 M'' ⊂ M'。

这直接从 (15) 得出。

E 在 $E^*$ 中的正交为 0。

如果$u : E \to F$是同构，$^t u : F^* \to E^*$是同构，并且如果$v : F \to E$是$u$的逆同构，$^t v$是$^t u$的逆同构（公式（17）和（18））。

线性映射中的正合序列。 然后转置映射中的序列

准确。

如果$j : M \to E$是典范嵌入，则${}^t j$的核通过定义在$E^*$中与$M$正交。

此外，在推论的记号中，当经过为商时，从${}^t j$获得*内射*同态$E^*/M' \to M^*$。

是对偶 $E^*$ 的 $E$ 的同构到乘积 $\prod_{i \in I} E_i^*$。

这是 § 1, no. 6 的特殊情况，推论 1 到命题 6，适用于 $\prod_{\lambda} F_{\lambda} = A_s$ 的情况。

如果通过典范嵌入 $j_i$，$E_i$ 被其直和 $E$ 的子模识别，如果通过乘积映射 $x^* \mapsto (tj_i(x^*))$，$E^*$ 被$\prod_{i \in I} E_i^*$ 识别，则可以可以说 $\prod_{i \in I} E_i^*$ 是 $\bigoplus_{i \in I} E_i$ 的对偶，规范的双线性形式由下式给出

(22)

$p \circ i = 1_M, \quad q \circ j = 1_N, \quad p \circ j = q \circ i = 0, \quad i \circ p + j \circ q = 1_E$、从而，通过转置（no. 5、公式 (16)、(17) 和 (18)），$^ti \circ ^tp = 1_{M^*}, \ ^tj \circ ^tq = 1_{N^*}, \ ^tj \circ ^tp = ^ti \circ ^tq = 0. \ ^tp \circ ^ti + ^tq \circ ^tj = 1_{E^*}$ 和命题由§ 1, no. 6推出，推论 2 到命题 6。

在推论的假设下，$M^*$（或$N^*$）通常与$E^*$中$N$（或$M$）的正交$^tp(M^*)$（或$^tq(N^*)$）进行识别，从而识别每个线性形式$u$ $M$（或$N$），$E$上的线性形式延伸$u$，并且零在$N$（或$M$）上。

当A-模$E$承认*基*$(e_t)_{t \in T}$时，可以看出，给出这个基定义规范地同构$u : A_s^{(T)} \to E$。凭借命题 10 和no. 3、命题 5，$A_s^{(T)}$ 的对偶被规范地标识为乘积 $A_d^T$；考虑相反的同构 $\tilde{u} : A_d^T \to E^*$。如果，对于所有$t \in T, f_t$是$A_d^T$的元素，其投影都是零，除了指标$t$，它等于1，并且如果我们写出$e_t^* = \tilde{u}(f_t)$，元素$e_t^*$ $E^*$ 由 (19) 和 (22) 得出，其特征在于关系

(23)

对于所有 $x = \sum_{t \in T} \xi_t e_t \in E, \ e_t^*(x) = \xi_t$ 来说，这相当于说： $e_t^*$也称为指标$t$在$E$上的*坐标形式*。从(23)可知$(e_t^*)$是$E^*$中的*免费系统*。

特别是，如果$T$是*有限*，则$E^*$的$e_t^*$形式a 基，$f_t$则形成$A_d^T$的典范基。因此：

注自由模与无限基的对偶不一定是自由模（VII, § 3，习题 10）。

有限生成的射影左A-模可以用自由A-模$A_s^n$的直因子M和有限基（no. 2，推论1到命题4）来识别。那么（命题 11 和命题 10 的推论）M* 同构于$A_d^n$ 的直因子，推论从而。

存在满同态$u : L \to E$，其中$L = A_s^{(T)}$，因此如果$(e_t)_{t \in T}$是L的典范基，则$u(e_t) = a_t$（§ 1, no. 11，命题17）；要使 E 射影，存在线性映射 $v : E \to L$ 使得 $u \circ v = 1_E$ (no. 2, 命题 4 和 § 1, no. 9, 命题 15) 是充分必要的。如果这样的映射存在并且我们写${}^tv(e_t^*) = a_t^*$，那么$\langle x, a_t^* \rangle = \langle x, {}^tv(e_t^*) \rangle = \langle v(x), e_t^* \rangle$，因此$(\langle x, a_t^* \rangle)$族对于所有$x \in E$有有限支撑和$x = u \left( \sum_{t \in T} \langle (x), e_t^* \rangle e_t \right) = \sum_{t \in T} \langle x, a_t^* \rangle a_t$。相反，如果满足叙述的条件(b)，则为所有$x \in E$定义和$\sum_{t \in T} \langle x, a_t^* \rangle e_t$，且$x \to \sum_{t \in T} \langle x, a_t^* \rangle e_t$为线性映射$v : E \to L$，使得$u \circ v = 1_E$。