条件显然是必要的，对于V 的免费子 A 模块，其秩与V 生成 V 相同。相反，如果 KM = V，M 包含基 $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ V 超过 K，因此它包含是由 $a_i$ 生成的免费子 A 模块 L；另一方面，如果$M \subset M_1$（其中M）是由元素 b 的有限数生成的V的子A模，并且$(e_i)_{1 \leq i \leq n}$是K上V的基，则存在元素 s A 的 $\neq 0$，使得每个 b 是 $s^{-1}e_i$ 的线性组合，系数 in A；如果L是$s^{-1}e_i$生成的V的免费子A模块，则$M \subset L_2$。

如果$L_1, L_2$是V的两个自由格，那么$L, \subset M \subset L,$、关系$xM \subset M_1 \subset yM$意味着$xL_1 \subset M, \subset yL_2$、$xL_1$和$yL_2$是自由格；相反，如果 M, 是一个格，并且 L 的 $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ 基，在 A 上，关系 KM, = V 意味着存在 $x = a/s \in K^*$（其中 a 和 s 是 A 的非零元素），使得 $xe_i \in M,$ 对于所有$i$、从而 $xM \subset xL_2 \subset M_1$ 和 更不必说 $aM \subset M,$；交换M和M的角色，类似地可以证明A中存在$b \neq 0$使得$bM_1 \subset M$。

(ii) 如果W是V的向量子空间并且M是V的格子，则$M \cap W$是W的格子。

(iii) 令 $V, V_1, \ldots, V_k$ 为有限秩中的向量空间超过$K$，并让

是一个多线性映射，其像生成 $V$。 如果$M_i$是$1 \leq i \leq k$的$V_i$的格，则$f$（$(M, x \ldots x M_k)$）生成的$V$的子A模是$V$的格。

(iv) 设$V$和$W$是有限秩的两个向量空间超过$K$，$M$是$V$的格子，$N$是$W$的格子。 子A模$N$：$\mathrm{Hom}_K(V, W)$的$M$，K-线性映射$f$的由……组成，使得$f(M) \subset N$是$\mathrm{Hom}_K(V, W)$的格子。

(i) 由于命题 2，$A$中存在非零$a$和$b$，使得$aM_1 \subset M_2 \subset b^{-1}M_1$；我们结论，$M_1 \cap M_2$和$M_1 + M_2$位于$aM_1$和$b^{-1}M_1$之间，因此根据命题2是格子。

(ii) 设$S$是$V$中$W$的补集，$L_w$是$W$的自由格，$L_s$是$S$的自由格，因此$L = L_w \oplus L_s$是$V$的自由格。那么$K^*$中存在$x, y$使得$xL \subset M \subset yL$。我们推导出$xL_w \subset M \cap W \subset yL_w$，这表明$M \cap W$是$W$（命题2）的格子。

(iii) 作为 $KM_i = V$，显然由线性 $f$ ($M_1 x \ldots x M_n$) 生成向量 K 空间$V$；另一方面，对于所有$i$，存在一个有限生成的$V$的子A模块$N_i$，使得$M_i \subset N_i$；由$f(N_1 x \ldots x N_n)$生成的$V$的子A模$N$是有限生成的，并且包含$M$，因此$M$是$V$（命题1）的格子。

(iv) 令 $P$ ($Q$) 为 $V$ ($W$) 包含于 $M$ ($N$) 的自由格；显然$N : M \supset Q : P$。现在$Q : P$与$\mathrm{Hom}_A(P, Q)$同构的是直接的，因此秩$(\mathrm{rg}_A P)(\mathrm{rg}_A Q)$是自由A-模（*代数*，章II, § 1, no. 6，推论1到命题6）因此格子为 $\mathrm{Hom}_K(V, W)$。类似地，如果 $P'$（分别为 $Q'$）是包含在 $M$（分别为包含 $N$）中的 $V$（分别为 $W$）的自由格子，则 $Q' : P' \supset N : M$ 和 $Q' : P'$ 为$\mathrm{Hom}_K(V, W)$； 从而结论。

注 (2) 命题 3 (i) 表明 $V$ 晶格的集合 $R(V)$ 就包含而言是*晶格有序*；此外，如果$M$是$V$的固定格子，则$xM$，其中$x$贯穿$K^*$、形式子集，$R(V)$既是*初始*又*并尾*（*集合理论*， 章III, § 1, no. 7）。

(3) 命题 3(iv)中的记号、典范映射

其中映射从$M$到$N$的每个K-线性映射$f \in N : M$到A-线性映射，与$f|_M$具有相同的图，是*双射的*，对于每个A-线性映射$g : M \to N$都可以嵌入K-线性映射

可以看出，$M \otimes_A K$和$N \otimes_A K$分别与$V$和$W$进行标识。

特别是，如果我们取 $W = K$、$N = A$、$\operatorname{Hom}_K(V, W)$ 只是 $V$ 和 $A$ 的*对偶向量 K 空间* $V^*$：$M$ 与*对偶 A-模* 进行标识$M^*$共$M$；今后我们将进行这种识别，我们将说$M^*$是$M$的*对偶格子*：因此它是*$x^* \in V^*$的*集合*使得*$\langle x, x^* \rangle \in A$*对于所有*$x \in M$。

(4) 令$S$为有限秩与单位元的（不一定结合）K-代数；那么$S \times S$到$S$的双线性映射$(x, y) \mapsto xy$（左和右）是非退化的。 If $M$ and $N$ are lattices of $S$ with respect to $A$, so are $M.N$ (命题 3 (iii)) and 集合 of $x \in S$ such that $xM \subset N$ (Corollary to 命题 3). 注存在$S$包含单位元的$S$的*子A代数*，它是$S$的*格子*； for consider 基 $(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ of $S$ such that $e_1$ is 单位元 of $S$ and let $e_i e_j = \sum_k c_{ijk} e_k$ be 乘法表 of $S$ ($1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq n$), so that $c_{1jk} = \delta_{jk}, c_{i1k} = \delta_{ik}$（克罗内克符号）。令 $s \in A$ 为非零，且$c'_{ijk} = s \cdot c_{ijk} \in A$ 对于指标 $(i, j, k)$ 的所有三元组；如果我们将 $i \geq 2$ 写为 $e'_i = s^{-1} e_i$，那么

对于 $i \geq 2$ 和 $j \geq 2$； $S$ 与基 $e_1$ 和 $e'_i$ ($2 \leq i \leq n$) 的格子是 $S$ 与单位元 $e_1$ 的亚 A 代数。

(5) 令$V$是$K$上的有限维向量空间，并且$f$是$V$上的非简并双线性形式。 If $M$ is a lattice of $V$, it follows from the Corollary to 命题 3 that 集合 $M^*_f$ of $x \in V$ such that $f(x, y) \in A$ for ally $\in M$ is also a lattice of $V$;如果 $s_f: V \to V^*$ 是线性映射与 $f$（双射的）相关联，则 $s_f(M^*_f)$ 只是 $M$ 的对偶晶格 $M^*$。

(i) For every lattice $M$ of $V$ with respect to $A$, 像 $BM$ of $M_{(B)} = M \otimes_A B$ in $V_{(L)} = V \otimes_K L$ is a lattice of $V_{(L)}$ with respect to $B$.

(ii) 进一步假设 $B$ 是一个平面 $A$ 模。那么典范映射 $M_{(B)} \to BM$ 是双射的。如果进一步$B$是忠实平坦的，则映射其中映射$V$相对于$A$的每个格子$M$到$V_{(L)}$相对于$B$的格子$BM$都是单射的。

(i) As $KM = V$, clearly $L . (BM) = V_{(L)}$; on the other hand $M$ is contained in a finitely generated sub-$A$-module $M_1$ of $V$ and hence $BM$ is contained in $BM_1$ which is a finitely generated $B$-module; whence assertion (i) (Proposition 1).

(ii) $V_{(L)} = V \otimes_K L = V \otimes_A L$ (章 II, § 2, no. 7, 命题 18) 并且，由于 $L$ 是扁平 $B$ 模，因此它也是扁平 $A$ 模 (章 I, § 2, no. 7，推论 3 至命题 8).由于$B$是平$A$模，典范映射$M \otimes_A B \to V \otimes_A B$是单射的；另一方面，由于 $V$ 是一个自由的 $K$ 模块，$K$ 是一个平面 $A$ 模块，$V$ 是一个平面 $A$ 模块（章 I, § 2, no. 7，推论 3 到命题 8），因此典范映射 $V \otimes_A B \to V \otimes_A L$ 是单射，它建立了第一个断言。还要看到，当$B$是忠实平坦的$A$模时，关系$BM_1 = BM_2$对于$V$的两个格子$M_1, M_2$相对于$A$意味着$M_1 = M_2$，注首先是$BM_1 \cap BM_2 = B(M_1 \cap M_2)$ （章I, § 2, no. 6，命题6）；因此，我们可以将注意力集中在$M_1 \subset M$的情况，然后我们的断言从章I, § 3, no. 1，命题3应用到典范嵌入$M_1 \to M_2$。

如果$L$是$V$的自由格，则$aL$（对于$a \in A, a \neq 0$）形式是邻域的基本系统为0，对于$V$上的拓扑$\mathscr{T}$（与其兼容） $A$-模块结构），（当取$L$超过$A$的基时）被识别为$K^n$上的乘积拓扑）；凭借命题 2，对于$\mathscr{T}$，邻域的基本系统为0，也由$V$相对于$A$的所有格组成；显然$\hat{V}$是$V$相对于$\mathscr{T}$的补全。此外，如果$m$是$A$的最大理想，拓扑$\mathscr{T}$诱导在$V$的每个格子$M$上关于$A$的$m$进数拓扑，因为$M$是有限生成的$A$模块（章III, § 3, no. 2，定理2），$\hat{A}M$是$M$相对于此拓扑的补全（章III, § 2, no. 12， 命题16);此外，由于$M$在$V$、$\hat{A}M \cap V = M$中是开（因此闭）的，这再次证明$\dagger$是单射的（这直接从命题4，（ii）得出，因为$A$是一个忠实的平面$A$模）。最后，如果$M'$是$\hat{V}$相对于$\hat{A}$的格子，$M = M' \cap V$是$V$相对于$A$的格子，对于$\hat{A}$的每个元素是元素的乘积 $\hat{A}$的$A$和可逆元，因此从命题2得出，$A - \{0\}$中存在$a, b$，使得$a \hat{A}L \subset M' \subset b \hat{A}L$，从而$aL \subset M' \cap V \subset bL$。此外，$M'$在$V$中开放，并且由于$V$在$\hat{V}$中密集，所以$M'$是$M' \cap V = M$的完成；这证明$\phi$是满射，从而是推论。

例 (6) 设$S$是$A$的乘法子集，而不是包含 0；我们应用命题 4 到$B = S^{-1}A$；然后$L = K$，$BM = S^{-1}M$；因此$S^{-1}M$是$V$相对于$S^{-1}A$的格子。此外：

(1)

在$\operatorname{Hom}_K(V, W)$。

显然，(1) 的左侧包含在右侧。相反，令$f \in S^{-1}N : S^{-1}M$且令$(x_i)_{1 \leq i \leq n}$为$M$的生成元系统。存在$s \in S$，使得$f(x_i) \in s^{-1}N$对于所有$i$，因此存在$sf \in N : M$，这证明了命题。

显然$M^*$包含在每个$M_p^*$中。相反，假设$x^* \in \bigcap M_p^*$；如果$x \in M$，则$\langle x, x^* \rangle \in \bigcap_{p \in P} A_p$，并且如$A = \bigcap_{p \in P} A_p$（§ 1, no. 6，定理 4），$x^* \in M^*$。

定理 1 应用于 $M^*$ 显示$M^{**} = \bigcap_{p \in P} M_p^{**}$。但由于 $A$ 是主理想整环（$§ 1$，编号 6，定理 4），$M$ 是有限生成的免费 $A$ 模块，因此 $M_p^{**}$ 被规范地标识为 $M$， （*代数*、章II、$§ 2$、第 7、命题 14）、从而推论。

对于任何格$M$相对于$A$，典范映射$c_M : M \to M^{**}$（*代数*，章11，$§ 2$，号7）将元素$x \in M$与其自身等同，因为$x$是唯一元素 $y$ / $V = V^{**}$，使得 $\langle x, x^* \rangle = \langle y, x^* \rangle$ 对于所有 $x^* \in M^*$，从 $M^*$ 生成 $V^*$ 开始。如果$M^{**} = M$（*loc.cit.*），我们可以说$M$是*自反*。正如我们上面的$M^* = (M^*)^{**}$，可以看出任何格子$M$的*对偶*总是*自反*。

(a) 和 (b) 的等价由推论得出定理 1。如​​果 (b) 成立，则 $V/M$ 被规范地识别为乘积 $\prod_{p \in P} (V/M_p)$ 的子$A$ 模块；但实际上，它包含在 直和 $\bigoplus_{p \in P} (V/M_p)$ 中：因为如果 $L \subset M$ 是自由格，$L$ 的$(e_i)_{1 \leq i \leq n}$ 基，点 $x \in V$ 的每个坐标$x_i$ 相对于 $(e_i)$ 属于至 $A$，除了值的有限数或 $p \in P$。 关系 $V/M \subset \bigoplus_{p \in P} (V/M_p)$ 那么意味着：

由于$V/M_p$是$A_p$模，$A - p$不能的元素消灭$V/M_p$的元素$\neq 0$，因为$A - p$的元素可逆$A$；因此，$\operatorname{Ass}(V/M_p)$中的元素包含在$p$中并且是$\neq 0$，因为$V/M_p$是挠元$A$模；因为$p$的高度为1，如果$V/M_p \neq (0)$则必然为$\operatorname{Ass}(V/M_p) = \{ p \}$，如果$V/M_p = (0)$则必然为$\operatorname{Ass}(V/M_p) = \varnothing$；因此$\operatorname{Ass}(V/M) \subset P$。

最后，如果条件 (c) 成立，则

另一方面，如果$p \in P$，则在定理1的推论的证明中可以看出，$M_p^{**} = M_p$，从而$p \notin \operatorname{Ass}(M^{**}/M)$（章IV，$§ 1$，no. 3，推论 1 至命题 7)。我们结论 Ass(M/M) = ∅，从而 M = M（章 IV, § 1, no. 1，推论 1 到命题 2）。

条件显然是必要的，如果满足的话，那么

由于 M ⊂ M** = \bigcap_p M_p，当然 M ⊂ N。

例 (1) 每个自由格都是自反的。 (2) 取V = K。对于K的分数理想a是自反格，根据定理2和§ 1, no. 4、命题5和7的判据(b)，它是除数理想是充分必要的。 (3) 令M为关于A的格；如果 S 是 A 的乘法子集而不是包含 0，则 no. 1 的命题 5 表明 S^{-1}(M*) = (S^{-1}M)*；如果 M 是自反的，则 S^{-1}M 是相对于 S^{-1}A 的自反格。

(i) (M, n M_2)_p = (M_1)_p n (M_2)_p 对于所有 p ∈ P (章 II, § 2, no. 4, 定理 1)。如果 M_1 = \bigcap_{p \in P} (M_1)_p 且 M_2 = \bigcap_{p \in P} (M_2)_p，则

从而根据定理 2 得出结论。 (ii) 类似地 (M n W)_p = M_p n W_p = M_p n W, 从而

这就证明了(ii)。 (iii) 由于 M 是有限生成的，由 no. 1, 命题 5 得出 (N: M)_p = N_p M_p；此外，关系 N = \bigcap_{p \in P} N_p 意味着：

对于如果$f \in \bigcap_{p \in P} (N_p : M_p)$和$x \in M$，则$f(x) \in \bigcap_{p \in P} N_p = N$，从而$f \in N : M$；这表明 $N : M$ 是自反的。

注 (2) 如果$M_1$和$M_2$是$V$的自反格，则格$M_1 + M_2$不一定是自反格（cf.§ 1，习题2）。 (3) 如果$M$是有限生成的$A$模，并且$T$是挠元子模，则$M$的对偶$M^*$与$M/T$的对偶相同，因为，对于每个线性形式$f$ $M$、像 $f(T)$ 是 $A$ 的挠元子模，因此是零。由于$M/T$同构于向量空间超过$K$的格，可以看出每个有限生成的$A$模的对偶是自反的。

由于$A$是诺特，$M$也是有限生成的；如果我们写 $V = M_{(K)}$、$W = N_{(K)}$、$M$（分别为 $N$），则可以用 $V$（分别为 $W$）（no. 1、命题 1）的格子来规范地识别。考虑两个正合序列：

(i) 我们推论 (章 IV, § 1, no. 1, 命题 3)： 如果 $M$ 是自反的，则 $\operatorname{Ass}(V/M) \subset P$ (定理 2)；另一方面，显然$\operatorname{Ass}(W/V)$要么是空的，要么减少到$\{0\}$； 从而（一）。 (ii) 同样： 因此，假设意味着 $\operatorname{Ass}(V/M) \subset P \cup \{\{0\}\}$。但$V/M$是挠元$A$-模块，因此$\{0\} \notin \operatorname{Ass}(V/M)$； 定理 2 那么表明 $M$ 是自反的。

€或 x \in M，x^* \in M^*。由于 M 是有限生成的自由 R 模 L 的商，因此 M* 同构于对偶 L* 的子 R 模，并且 L* 是自由且有限生成的；由于 $\mathbf{R}$ 是诺特，因此 M* 也是有限生成的 R 模块，从而同构 $\omega_{M^*}: (M^{**})_{(S)} \to ((M^*)_{(S)})^*$ 使得

对于 $x^* \in M$ 和 $x^{**} \in M^{**}$。另一方面，有同构$^t\omega_M: (M_{(S)})^{**} \to ((M^*)_{(S)})^*$、从而乘合成典范同构：

这样，在上面的记号中：

(1)

我们现在考虑典范同态 $c_M: M \to M^{**}$ 并证明复合同态 ：

(2)

只是典范同态$c_{M_{(S)}}$。这直接从 (1) 得出关系 ：

并且从事实来看，元素$\omega_M(x^* \otimes 1)$生成$(M_{(S)})^*$。既然如此，假设 M 是自反的，则意味着 $c_M$ 是双射的，因此 $c_M \otimes 1$ 也是双射的，因此 $\psi = c_{M_{(S)}}$ 是双射的，这表明命题。

(i) 令N为关于A的V的格子；那么，对于 A 的每个素理想 p，$N_p$ 是关于 A 的 V 格，并且对于几乎所有 $p \in P, N_p = M_p$。

(ii) 相反，假设对于 A 而言，给出所有 $p \in P$ 格子 $N(p)$ 的 V，使得 $N(p) = M_p$ 对于几乎所有 $p \in P$。 那么$N = \bigcap N(p)$*是A相对于A的自反格子，并且它是V关于A的唯一自反格子*$N'$*使得*$N'_p = N(p)$*对于所有*$p \in P$。

(i) 第一个断言由no. 1、命题4得出。此外，$\mathbf{K}^*$中存在$x, y$，使得$xN \subset M \subset yN$(no. 1、命题2)；我们知道，对于几乎所有$p \in P, v_p(x) = v_p(y) = 0$（$§ 1$、no. 6、定理 4），这表明$x$和$y$在$A$中是可逆的，因此$M_p = N_p$。

(ii) 我们可以将替换$M$乘以$x^{-1}M$，其中$x \neq 0$在$A$中，并假设$N(p) \subset M$，对于所有$p \in P$。令$p_1, \ldots, p_h$为$P$的元素，使得$N(p) = M$，因为$p$不同于$p_i$（$1 \leq i \leq h$）；我们写：

由于每个 $N(p_i)$ 包含都是关于 $A_{p_i}$ 的自由格，因此包含 更不必说 是关于 $A$ 的 $V$ 格，因此 $Q$ 包含是关于 $V$ 的格$A$ (no. 1, 命题 3) 并且，由于$Q$包含在$M$中，$Q$是关于$A$的格子。为了证明$Q_p = N(p)$对于所有$p \in P$，我们将使用以下引理：