事实上，假设 $p$ 包含都没有 $a_i$。对于$1 \leq i \leq n$，则存在元素$s_i \in a_i \cap p$；那么$s = s_1 s_2 \ldots s_n$包含在$a_1 a_2 \ldots a_n$中，而不包含在$p$中，这是荒谬的。

这样的理想$p$必须将包含$m$乘以命题1应用于$a_i = m$以获得$1 \leq i \leq n$；因为 $m$ 是最大的，$p = m$。

我们以归纳对$n = \mathrm{Card}(I)$争论；如果 $n = 1$ 则命题是微不足道的。假设$n \geq 2$；如果存在指标$j$使得$a \cap p_j \subset \bigcup_{i \neq j} p_i$、集合$a$（即$a \cap p_i$的并，其中$i \in I$）包含在$\bigcup_{i \neq j} p_i$中，因此包含在归纳假设的$p_i$之一中。假设这样的指标不存在；对于每个$j \in I$，让$y_j$是$a \cap p_j$的元素，而不是属于到$i \neq j$的任何$p_i$。设$k$为$I$的元素，如果$n > 2$则$p_k$为素数，如果$n = 2$则任意选择；让$z = y_k + \prod_{i \neq k} y_i$。那么$z \in a$，因为$a$在加法和乘法下是封闭的；如果$j \neq k$、$\prod_{i \neq k} y_i$属于到$p_j$，但是$y_k \notin p_j$、从而$z \notin p_j$。另一方面，$\prod_{i \neq k} y_i$ 不会属于到 $p_k$，因为因子 $y_i \ (i \neq k)$ 属于都不是它，并且如果 $n - 1 > 1$ 则 $p_k$ 是质数；因为$y_k \in p_k$、$z$不属于到$p_k$且命题成立。

在给定的假设下，每个素理想包含$a'$包含$a$和每个素理想包含$b'$包含$b$。如果一个素理想包含$a'$和$b'$，那么它就是包含$a$和$b$，这是荒谬的，因为$a$和$b$是相对素数；因此 $a'$ 和 $b'$ 互质。

设$p$为$A$的素理想。如果$p$包含$a$和$b_1 b_2 \ldots b_n$它是包含$b_i$之一（no. 1，命题1），这是荒谬的，因为$a$和$b_i$互质。

我们通过归纳对$I$中元素的$n$数进行争论，$n = 1$的情况是微不足道的。首先考虑案例$n = 2$。那么 (a) 和 (b) 的等价由序列的精确性得出

（代数，章II, § 1, no. 7，公式（30））。此外，存在$e_1 \in a$和$e_2 \in a_2$使得$1 = e_1 + e_2$；那么，对于所有$x \in a = a_1 \cap a_2$，$x = xe_1 + xe_2$；但通过定义$xe_1 \in a_1 a_2$和$xe_2 \in a_1 a_2$，因此$x \in a_1 a_2$； 从而$a \subset a_1 a_2$和逆命题包含很明显。

一般情况下，假设条件(a)成立，令$k$为$I$和$b_k = \bigcap_{i \neq k} a_i$的元素； 归纳假设意味着$b_k = \prod_{i \in I} a_i$，并且从命题 4可以得出$a$和$b$互质；然后

由参数的第一个部分得出，并且出于同样的原因典范同态 $A/a \twoheadrightarrow (A/a_k) \times (A/b_k)$ 是双射的；由归纳假设典范同态 $A/b_k \to \prod_{i \neq k} (A/a_i)$ 是双射，因此合数同态是

正好是$\psi$；即，(b) 成立。相反，假设 (b) 成立。我们证明$a_i$在对中必然互质。相反的情况下，对于$i \neq j$，将存在理想的$c \neq A$包含$a_i$和$a_j$。我们集合$a_h' = a_h$对于$h$不等于$i$或$j$和$a_i' = a_j' = c$； 典范同态 $\phi': A \to \prod_{i \in I} (A/a_i')$ 可以写成复合映射

$f$为典范同态$A/a_i \to A/a_i'$中的乘积；显然$\phi'$不是满射，$+(A)$到$(A/a_i') \times (A/a_i')$的投影是乘积$(A/c) \times (A/c)$的对角线，这与自$c \neq A$以来的乘积不同。由于 $f$ 是满射，这表明 $\phi$ 不是满射。

显然$M$到$\prod_{i \in I} (M/a_i M)$的典范映射是$aM$上的零；然后，通过商，它定义同态$A : M/aM \to \prod_{i \in I} (M/a_i M)$。 另一方面，通过命题 5，典范同态

是双射的。 那么$1_M \otimes \psi : M \otimes (A/a) \to M \otimes \prod_{i \in I} (A/a_i)$也是如此。 Now $M \otimes (A/a)$ is identified with $M/aM$ and $M \otimes \prod_{i \in I} (A/a_i)$ with $\prod_{i \in I} M \otimes (A/a_i)$, which is itself identified with $\prod_{i \in I} (M/a_i M)$. 立即验证，上述标识变换$1_M \otimes \psi$变为$\lambda$、从而命题。