习题 22, § 2

(a) 设$\mathbf{A}$为诺特域，每个素理想$\neq 0$极大，这样每个理想$a \neq 0$可以唯一地写为相对于不同素理想$p_i$包含$a$的初理想乘积$\prod_i q_i$。

令$a$为$\mathbf{A}$中的可逆理想，令$b$为$\mathbf{A}$中的任意理想$\neq 0$；表明存在一个理想$c$，使得$b + c = \mathbf{A}$和$ac$为主（观察到，如果$(p_i)_{1 \leq i \leq n}$是$\mathbf{A}$的不同最大理想的有限族，并且我们写出$r_i = \prod_{j \neq i} p_j$，则$a = \sum_i a r_i$和$\bigcap_i a r_i = a p_1 p_2 \ldots p_n$；使用章 II, § 1, no. 2、命题 6，推导出元素 $x \in a$ 的存在，使得$x^{-1}a + b = \mathbf{A}$。）推导出$a$ 由两个元素 (cf. 习题 1) 生成。

(b) 令$K$为域和正式幂级数$K[[T]]$由……组成的级数$a_0 + T^n P(T)$的环和$\mathbf{A}$子环，其中$a_0 \in K, P(T) \in K[[T]]$，对于给定的整数 $n$。证明$\mathbf{A}$是具有单一素理想$m \neq 0$的诺特局部整环，但$m$的生成元系统的最小的基数是$n$。