Bài tập 22, § 2

(a) Cho $k$ là một trường có thứ tự và $A$ là thương của vành đa thức $k[X, Y, Z]$ theo iđêan chính $(X^2 + Y^2 + Z^2 - 1)$; gọi $x, y, z$ là các ảnh chính tắc của $X, Y, Z$ trong $A$. Chứng minh rằng $A$ là một miền nhân tử (xét vành phân thức $A_{z-1}$ (ký hiệu của Chương 11, § 5, no. 1), sử dụng no. 4, Mệnh đề 3).

(b) Cho $(e_i)_{1 \leq i \leq 3}$ là cơ sở chính tắc của $A^3$ và cho $M$ là thương của $A^3$ theo A-môđun con đơn sinh $N$ sinh bởi $xe, + ye, + te,;$ chứng minh rằng $M$ là một A-môđun xạ ảnh (tạo một môđun con bù của $N$ trong $A^3$).

(c) Chứng minh rằng, nếu $k = \mathbf{R}$, A-môđun $M$ không tự do (đồng nhất $M$ với một môđun con của môđun các mặt cắt liên tục của phân thớ các vectơ tiếp xúc với mặt cầu đơn vị và sử dụng sự kiện rằng không tồn tại một trường liên tục các vectơ tiếp xúc $\neq 0$ tại mọi điểm của mặt cầu). \*