Exercice 22, § 2

a) Soit A un anneau intègre noethérien dont tout idéal premier $\neq 0$ est maximal, de sorte que tout idéal $a \neq 0$ s’écrit d’une seule manière comme produit $\prod_i q_i$ d’idéaux primaires relatifs aux idéaux premiers distincts $p_i$ contenant a. Soit a un idéal inversible dans A, et soit b un idéal $\neq 0$ quelconque dans A ; montrer qu’il existe un idéal c tel que $b + c = A$ et que ac soit principal. (Observer que, si $(p_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une famille finie d’idéaux maximaux distincts de A, et si l’on pose $r_i = \prod_{j \neq i} p_j$, on a $a = \sum_i a r_i$ et $\bigcap_i a r_i = a p_1 p_2 \ldots p_n$; en utilisant le chap. II, § 1, n° 2, prop. 6, en déduire l’existence d’un élément $x \in a$ tel que $x a^{-1} + b = A$). En déduire que a est engendré par deux éléments (cf. exerc. 1).

b) Soient K un corps, A le sous-anneau de l’anneau des séries formelles $K[[T]]$ formé des séries $a_0 + T^n P(T)$, où $a_0 \in K$, $P(T) \in K[[T]]$, pour un entier n donné. Montrer que A est un anneau local noethérien intègre, ayant un seul idéal premier $m \neq 0$, mais que le plus petit cardinal d’un système de générateurs de m est n.