习题 21, § 2

回想一下，在环 A 上拓扑被称为（左）线性，如果它是 A-模 A 上的线性拓扑，并且它与 A 上的环结构兼容（章 II, § 2，习题 16）。如果 A 是线性紧致（或严格线性紧致）A-模，则拓扑环 A 称为（左）线性紧致（或（左）严格线性紧致）。

(a) 证明，如果 A 与拓扑 $\mathscr{T}$ 保持线性紧致，习题 18(b) 中定义的拓扑 $\mathscr{T}^*$ 也与 A 上的环结构兼容（使用习题 18(d)）。

(b) 假设 A 是可交换的；令 $u \neq 0$ 为 $A/\mathfrak{R}$ 的幂等，其中 $\mathfrak{R}$ 为 A 的雅各布森根。证明，如果 A 与离散拓扑线性紧，则存在唯一幂等 $e \in A$，其 $A/\mathfrak{R}$ 中的像等于 $u$。 （证明在线性仿射簇$x + b$中，其中$b \subset \mathfrak{R}$和$x^2 - x \in b$包含在类$u$中，存在最小元素$e + a$。通过考虑，推导出$e^2 = e$和$a = 0$ 元素 $e^2 - e = r$ 并证明 $r \in Ar^2$，使用代数、章 VIII, § 6、习题 10 (a)，通过证明 $e_1, e_2$ 是两个幂等来证明 $e$ 的唯一性。 A 使得$e_1e_2 \in \mathfrak{R}$，然后$e_1e_2 = 0$。）

(c) Show that every 交换环 A which is linearly compact with the discrete 拓扑 is a direct 合成 of a finite 数 of 局部环 (which are linearly compact with the discrete 拓扑). （首先考虑这种情况，其中 $31 = 0$、利用习题 15(b) 和章 II, § 1, no. 2、命题 5，然后将 (b) 应用于 $A/\%$ 的幂等。）

(d) 证明每个线性紧致（或严格线性紧致）交换环 A 都是线性紧致（或严格线性紧致）族局部环的乘积。 （令 $(m_\lambda)$ 为 A 的开极大理想族；对于每个开理想 $a$ 而不是包含 $m_\lambda$，令 $A_l, x \ A_\lambda''$ 为 $A/a$ 的分解，作为两个环的直接合成，使得 $A_l$，为局部环，最大理想$(m_\lambda + a)/a$在(c)中定义；令$e'_\lambda(a)$为$A_\lambda'$的单位元视为A中的类模$a$；$e'_\lambda(a)$形式收敛于基。 $A$对于幂等$e_\lambda$和$Ae$来说，是$A$的封闭理想，其中$e_\lambda$是单位元。证明环$Ae_\lambda$是局部环并且$A$同构于$Ae_\lambda$ 中的乘积。）