Exercice 21, § 2

On rappelle que sur un anneau A, une topologie est dite linéaire (à gauche) si c'est une topologie linéaire sur le A-module $A_s$ et si elle est compatible avec la structure d'anneau de A (chap. II, § 2, exerc. 16). On dit qu'un anneau topologique A est linéairement compact (à gauche) (resp. strictement linéairement compact (à gauche)) si $A_s$ est un A-module linéairement compact (resp. strictement linéairement compact).

a) Montrer que si A est linéairement compact à gauche pour une topologie $\mathscr{C}$, la topologie $\mathscr{C}^*$ définie dans l'exerc. 18 b) est encore compatible avec la structure d'anneau de A (utiliser l'exerc. 18 d)).

b) On suppose A commutatif ; soit $u \neq 0$ un idempotent de $A/\mathscr{R}$, où $\mathscr{R}$ est le radical de A. Montrer que si A est linéairement compact pour la topologie discrète, il existe un idempotent $e \in A$ et un seul dont l'image dans $A/\mathscr{R}$ soit égale à $u$. (Montrer que parmi les variétés linéaires affines $x + b$, où $b \subset \mathscr{R}$ et $x^2 - x \in b$, qui sont contenues dans la classe $u$, il y a un élément minimal $e + a$. En déduire que $e^2 = e$ et $a = 0$, en considérant l'élément $e^2 - e = r$ et en montrant que $r \in Ar^2$, à l'aide de Alg., chap. VIII, § 6, exerc. 10 a). Prouver l'unicité de $e$ en montrant que si $e_1, e_2$ sont deux idempotents de A tels que $e_1e_2 \in \mathscr{R}$, on a $e_1e_2 = 0$.)

c) Montrer que tout anneau commutatif A qui est linéairement compact pour la topologie discrète est composé direct d'un nombre fini d'anneaux locaux (linéairement compacts pour la topologie discrète). (Considérer d'abord le cas où $\mathscr{R} = 0$, en utilisant l'exerc. 15 b) et le chap. II, § 1, no 2, prop. 5, puis appliquer b) aux idempotents de $A/\mathscr{R}$.)

d) Montrer que tout anneau commutatif linéairement compact (resp. strictement linéairement compact) A est produit d'une famille d'anneaux locaux linéairement compacts (resp. strictement linéairement compacts). (Soit $(\mathfrak{m}_\lambda)$ la famille des idéaux maximaux ouverts de A ; pour tout idéal ouvert $a$ ne contenant pas $\mathfrak{m}_\lambda$, soit $A_\lambda' \times A_\lambda''$ la décomposition de $A/a$ en composé direct de deux anneaux, tels que $A_\lambda'$ soit l'anneau local d'idéal maximal $(\mathfrak{m}_\lambda + a)/a$, définie dans c) ; soit $e'_\lambda(a)$ l'élément unité de $A_\lambda'$, considéré comme classe mod. $a$ dans A ; les $e'_\lambda(a)$ forment une base de filtre qui converge dans A vers un idempotent $e_\lambda$, et $Ae_\lambda$ est un idéal fermé de A dont $e_\lambda$ est l'élément unité. Montrer que l'anneau $Ae_\lambda$ est un anneau local et que A est isomorphe au produit des $Ae_\lambda$.)