Bài tập 21, § 2

Ta nhớ rằng trên một vành A, một tôpô được gọi là tuyến tính (bên trái) nếu nó là một tôpô tuyến tính trên A-môđun $A_s$ và nếu nó tương thích với cấu trúc vành của A (chương II, § 2, bài tập 16). Ta nói rằng một vành tôpô A là tuyến tính compact (bên trái) (tương ứng tuyến tính compact nghiêm ngặt (bên trái)) nếu $A_s$ là một A-môđun tuyến tính compact (tương ứng tuyến tính compact nghiêm ngặt).

a) Bây giờ chứng minh rằng nếu A là tuyến tính compact bên trái đối với một tôpô $\mathscr{C}$, thì tôpô $\mathscr{C}^*$ được định nghĩa trong bài tập 18 b) lại tương thích với cấu trúc vành của A (dùng bài tập 18 d)).

b) Giả sử rằng A là giao hoán; cho $u \neq 0$ là một phần tử lũy đẳng của $A/\mathscr{R}$, trong đó $\mathscr{R}$ là căn của A. Bây giờ chứng minh rằng nếu A là tuyến tính compact đối với tôpô rời rạc, thì tồn tại duy nhất một phần tử lũy đẳng $e \in A$ mà ảnh của nó trong $A/\mathscr{R}$ bằng $u$. (Bây giờ chứng minh rằng trong số các đa tạp tuyến tính affine $x + b$, trong đó $b \subset \mathscr{R}$ và $x^2 - x \in b$, được chứa trong lớp $u$, có một phần tử cực tiểu $e + a$. Suy ra rằng $e^2 = e$ và $a = 0$, bằng cách xét phần tử $e^2 - e = r$ và chứng minh rằng $r \in Ar^2$, với sự trợ giúp của Alg., chương VIII, § 6, bài tập 10 a). Chứng minh tính duy nhất của $e$ bằng cách chứng minh rằng nếu $e_1, e_2$ là hai phần tử lũy đẳng của A sao cho $e_1e_2 \in \mathscr{R}$, thì ta có $e_1e_2 = 0$.)

c) Bây giờ chứng minh rằng mọi vành giao hoán A tuyến tính compact đối với tôpô rời rạc là một tích trực tiếp của một số hữu hạn các vành địa phương (tuyến tính compact đối với tôpô rời rạc). (Trước hết xét trường hợp $\mathscr{R} = 0$, dùng bài tập 15 b) và chương II, § 1, no 2, mệnh đề 5, rồi áp dụng b) cho các phần tử lũy đẳng của $A/\mathscr{R}$.)

d) Bây giờ chứng minh rằng mọi vành giao hoán tuyến tính compact (tương ứng tuyến tính compact nghiêm ngặt) A là một tích của một họ các vành địa phương tuyến tính compact (tương ứng tuyến tính compact nghiêm ngặt). (Gọi $(\mathfrak{m}_\lambda)$ là họ các iđêan cực đại mở của A; đối với mọi iđêan mở $a$ không chứa $\mathfrak{m}_\lambda$, gọi $A_\lambda' \times A_\lambda''$ là phân tích của $A/a$ thành một tích trực tiếp của hai vành, sao cho $A_\lambda'$ là vành địa phương với iđêan cực đại $(\mathfrak{m}_\lambda + a)/a$, được định nghĩa trong c) ; gọi $e'_\lambda(a)$ là phần tử khả nghịch đơn vị của $A_\lambda'$, được xem như một lớp mod. $a$ trong A ; các $e'_\lambda(a)$ tạo thành một cơ sở lọc hội tụ trong A đến một phần tử lũy đẳng $e_\lambda$, và $Ae_\lambda$ là một iđêan đóng của A mà $e_\lambda$ là phần tử đơn vị. Bây giờ chứng minh rằng vành $Ae_\lambda$ là một vành địa phương và rằng A đẳng cấu với tích của các $Ae_\lambda$.