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§ 2。过滤后的环和模的一般结果
1. 过滤环和模
An increasing (resp. decreasing) sequence ( G n ) n ∈ Z (G_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( G n ) n ∈ Z G G G G G G
如果( G n ) n ∈ Z (G_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( G n ) n ∈ Z G G G G n ′ = G − n G'_n = G_{-n} G n ′ = G − n ( G n ′ ) n ∈ Z (G'_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( G n ′ ) n ∈ Z G G G
给定群G G G ( G n ) n ∈ Z (G_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( G n ) n ∈ Z ⋂ n ∈ Z G n \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} G_n ⋂ n ∈ Z G n ⋃ n ∈ Z G n \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} G_n ⋃ n ∈ Z G n G G G ⋃ n ∈ Z G n \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} G_n ⋃ n ∈ Z G n ⋃ n ∈ Z G n = G \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} G_n = G ⋃ n ∈ Z G n = G
给定环A A A A A A ( A n ) n ∈ Z (A_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( A n ) n ∈ Z A A A
(1)
A m A n ⊂ A m + n for m ∈ Z , n ∈ Z
A_m A_n \subset A_{m+n} \quad \text{for} \quad m \in \mathbf{Z}, \quad n \in \mathbf{Z}
A m A n ⊂ A m + n for m ∈ Z , n ∈ Z (2)
经过此过滤的环A A A 条件（1）和（2）表明A n A_n A n A A A A n A_n A n A 0 A_0 A 0 B = ⋃ n ∈ Z A n B = \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} A_n B = ⋃ n ∈ Z A n A A A n = ⋂ n ∈ Z A n n = \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} A_n n = ⋂ n ∈ Z A n B B B x ∈ n x \in n x ∈ n a ∈ A k a \in A_k a ∈ A k k ∈ Z k \in \mathbf{Z} k ∈ Z x ∈ A k − p x \in A_{k-p} x ∈ A k − p a x ∈ A ax \in A a x ∈ A x a ∈ A xa \in A x a ∈ A a x ∈ n ax \in n a x ∈ n x a ∈ n xa \in n x a ∈ n
一个重要的特殊情况是 A n = A A_n = A A n = A A n = A A_n = A A n = A n ≤ 0 n \leq 0 n ≤ 0 A n A_n A n A A A
令A A A ( A n ) n ∈ Z (A_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( A n ) n ∈ Z E E E A A A E E E ( E n ) n ∈ Z (E_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( E n ) n ∈ Z A A A
A m E n ⊂ E m + n for m ∈ Z , n ∈ Z .
A_m E_n \subset E_{m+n} \quad \text{for} \quad m \in \mathbf{Z}, \quad n \in \mathbf{Z}.
A m E n ⊂ E m + n for m ∈ Z , n ∈ Z . 具有此过滤的
A A A -模块
E E E 称为过滤后的模。
引用了 4 引用了 习题 2, § 2 , 命题 5, III § 3 , 习题 1, § 2 , 定理 2
The E n E_n E n A n A_n A n B = ⋃ n ∈ Z A n B = \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} A_n B = ⋃ n ∈ Z A n ⋃ n ∈ Z E n \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} E_n ⋃ n ∈ Z E n B B B ⋂ n ∈ Z E n \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} E_n ⋂ n ∈ Z E n ⋂ n ∈ Z A n \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} A_n ⋂ n ∈ Z A n A n = A A_n = A A n = A E n E_n E n E E E
Examples
(1) 设A A A Z \mathbf{Z} Z i ∈ Z i \in \mathbf{Z} i ∈ Z A ( i ) A_{(i)} A ( i ) A A A i i i A n = ∑ i ≥ n A ( i ) A_n = \sum_{i \geq n} A_{(i)} A n = ∑ i ≥ n A ( i ) ( A n ) (A_n) ( A n ) A A A ( A ( i ) ) i ∈ Z (A_{(i)})_{i \in \mathbf{Z}} ( A ( i ) ) i ∈ Z A A A A A A
现在让E E E Z \mathbf{Z} Z A A A i ∈ Z i \in \mathbf{Z} i ∈ Z E ( i ) E_{(i)} E ( i ) i i i E E E E n = ∑ i ≥ n E ( i ) E_n = \sum_{i \geq n} E_{(i)} E n = ∑ i ≥ n E ( i ) ( E n ) (E_n) ( E n ) A A A E E E ( E ( i ) ) i ∈ Z (E_{(i)})_{i \in \mathbf{Z}} ( E ( i ) ) i ∈ Z E E E E E E
(2) Let A A A ( A n ) n ∈ Z (A_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( A n ) n ∈ Z E E E A A A E n = A n E E_n = A_n E E n = A n E
A m E n = A m A n E ⊂ A m + n E = E m + n ,
A_m E_n = A_m A_n E \subset A_{m+n} E = E_{m+n},
A m E n = A m A n E ⊂ A m + n E = E m + n , E 0 = E E_0 = E E 0 = E ( E n ) (E_n) ( E n ) E E E A A A A A A ( A n ) (A_n) ( A n ) ( A n ) (A_n) ( A n ) E E E A n A_n A n A A A (3) 设A A A m m m A A A n ≥ 0 n \geq 0 n ≥ 0 A n = m n A_n = m^n A n = m n n < 0 n < 0 n < 0 A n = A A_n = A A n = A ( A n ) (A_n) ( A n ) A A A m m m E E E A A A A A A m m m ( E n ) (E_n) ( E n ) E E E m m m E n = m n E E_n = m^n E E n = m n E n ≥ 0 n \geq 0 n ≥ 0 E n = E E_n = E E n = E n < 0 n < 0 n < 0
如果A A A B B B A A A n = m B n = mB n = m B B B B B B B F F F n k F = m k F n^k F = m^k F n k F = m k F n n n F F F m m m F F F A A A
(4) 如果A A A ( A n ) (A_n) ( A n ) A A A A n A_n A n A A A ( A n ) (A_n) ( A n ) ( A n ) (A_n) ( A n ) A 0 A^0 A 0 A n A_n A n ( A n ) (A_n) ( A n ) A 0 A^0 A 0
(5) 在环 A A A A n A_n A n A n = 0 A_n = 0 A n = 0 n > 0 n > 0 n > 0 A n = A A_n = A A n = A n ≤ 0 n \leq 0 n ≤ 0 A A A A A A E E E A A A ( E n ) (E_n) ( E n ) A A A E E E Z \mathbf{Z} Z G G G Z \mathbf{Z} Z
设G G G ( G n ) n ∈ Z (G_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( G n ) n ∈ Z G G G H H H ( H ∩ G n ) n ∈ Z (H \cap G_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( H ∩ G n ) n ∈ Z G G G G G G H H H G G G ( ( H . G n ) / H ) n ∈ Z ((H.G_n)/H)_{n \in \mathbf{Z}} (( H . G n ) / H ) n ∈ Z G / H G/H G / H G G G H H H ( G n ) (G_n) ( G n ) G ′ G' G ′ ( G n ′ ) n ∈ Z (G'_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( G n ′ ) n ∈ Z ( G n × G n ′ ) (G_n \times G'_n) ( G n × G n ′ ) G × G ′ G \times G' G × G ′ G G G G ′ G' G ′ ( G n ) (G_n) ( G n ) ( G n ′ ) (G'_n) ( G n ′ )
现在让A A A ( A n ) (A_n) ( A n ) A A A B B B A A A B B B b b b A A A A A A A / b A/b A / b
( A n + b ) ( A m + b ) ⊂ A n + m + b .
(A_n + b)(A_m + b) \subset A_{n+m} + b.
( A n + b ) ( A m + b ) ⊂ A n + m + b . A ′ A' A ′ A × A ′ A \times A' A × A ′ Finally let E E E A A A ( E n ) (E_n) ( E n ) F F F E E E E E E A A A F F F E / F E/F E / F E E E A A A
A n ( F + E m ) ⊂ F + A n E m ⊂ F + E m + n .
A_n(F + E_m) \subset F + A_n E_m \subset F + E_{m+n}.
A n ( F + E m ) ⊂ F + A n E m ⊂ F + E m + n . 注，如果 E 上的过滤源自 A 上的过滤 (例 2)，则 E/F 上的商过滤也是如此，但*不是*一般情况下*F 上的过滤会引起*（习题 1；但请参阅 no. 2、定理 2）
如果E'是另一个过滤A-模，则E×E'上的乘积过滤与其A-模结构兼容。如果 E 和 E' 上的过滤源自 A (例 2) 上的过滤，那么它们的乘积过滤也是如此。
2. 阶函数
令 A 为过滤后的环，E 为过滤后的 A-模，(E_n) 对 E 进行过滤。对于所有 x ∈ E，让 v(x) 表示集合的 R 中在整数 n ∈ Z 上的*最小* 上界，使得 x ∈ E_n。那么下面的等价成立：
{ v ( x ) = − ∞ ⇔ x ∉ ⋃ n ∈ Z E n v ( x ) = p ⇔ x ∈ E p and x ∉ E p + 1 v ( x ) = + ∞ ⇔ x ∈ ⋂ n ∈ Z E n
\begin{cases}
v(x) = -\infty \Leftrightarrow x \notin \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} E_n \\
v(x) = p \Leftrightarrow x \in E_p \text{ and } x \notin E_{p+1} \\
v(x) = +\infty \Leftrightarrow x \in \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} E_n
\end{cases}
⎩ ⎨ ⎧ v ( x ) = − ∞ ⇔ x ∈ / ⋃ n ∈ Z E n v ( x ) = p ⇔ x ∈ E p and x ∈ / E p + 1 v ( x ) = + ∞ ⇔ x ∈ ⋂ n ∈ Z E n 映射 v : E → \overline{\mathbf{R}} 被称为过滤后的模 E 的阶函数。如果 v 已知，则 E_n 也已知，因为 E_n 是 x ∈ E 的集合，使得 v(x) ≥ n； E_n 是 E 的加法子群意味着关系
v ( x − y ) ≥ inf ( v ( x ) , v ( y ) ) .
v(x - y) \geq \inf(v(x), v(y)).
v ( x − y ) ≥ inf ( v ( x ) , v ( y )) . 上述定义特别适用于过滤后的A-模A；令 w 为其阶函数。由 no. 1 的方程（3）可知，对于 a ε A 且 x ε E，
v ( a x ) ≥ w ( a ) + v ( x )
v(ax) \geq w(a) + v(x)
v ( a x ) ≥ w ( a ) + v ( x )
w ( a b ) ≥ w ( a ) + w ( b )
w(ab) \geq w(a) + w(b)
w ( ab ) ≥ w ( a ) + w ( b ) 阶函数 在过滤的群 G 上的定义类似，它不一定是可交换的；然后将相应的关系写成 (5)
v ( y x − 1 ) = v ( x y − 1 ) ≥ inf ( v ( x ) , v ( y ) ) .
v(yx^{-1}) = v(xy^{-1}) \geq \inf(v(x), v(y)).
v ( y x − 1 ) = v ( x y − 1 ) ≥ inf ( v ( x ) , v ( y )) . 3. 分级模与过滤模相关
设 G 是可交换的群 （加法写）和 (G_n) 对 G 的过滤。让我们写
gr n ( G ) = G n / G n + 1 for n ∈ Z gr ( G ) = ⨁ n ∈ Z gr n ( G ) .
\begin{align*}
\operatorname{gr}_n(G) &= G_n / G_{n+1} \quad \text{for } n \in \mathbf{Z} \\
\operatorname{gr}(G) &= \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} \operatorname{gr}_n(G).
\end{align*}
gr n ( G ) gr ( G ) = G n / G n + 1 for n ∈ Z = n ∈ Z ⨁ gr n ( G ) . 那么交换性群 gr(G) 就是型 Z \mathbf{Z} Z n n n g r n ( G ) \mathrm{gr}_n(G) gr n ( G )
现在让 A 为过滤后的环，(A_n) 为过滤后的 A-模，E 为过滤后的 A-模，(E_n) 为过滤后的。对于所有 p ∈ Z p \in \mathbf{Z} p ∈ Z q ∈ Z q \in \mathbf{Z} q ∈ Z
g r p ( A ) × g r q ( E ) → g r p + q ( E )
\mathrm{gr}_p(A) \times \mathrm{gr}_q(E) \to \mathrm{gr}_{p+q}(E)
gr p ( A ) × gr q ( E ) → gr p + q ( E ) is defined as follows: given a ∈ g r p ( A ) a \in \mathrm{gr}_p(A) a ∈ gr p ( A ) ξ ∈ g r q ( E ) \xi \in \mathrm{gr}_q(E) ξ ∈ gr q ( E ) a , a ′ a, a' a , a ′ a a a x , x ′ x, x' x , x ′ ξ \xi ξ a x ∈ E p + q ax \in E_{p+q} a x ∈ E p + q a ′ x ′ ∈ E p + q a'x' \in E_{p+q} a ′ x ′ ∈ E p + q a x ≡ a ′ x ′ ax \equiv a'x' a x ≡ a ′ x ′ E p + q + 1 E_{p+q+1} E p + q + 1
a x − a ′ x ′ = ( a − a ′ ) x + a ′ ( x − x ′ )
ax - a'x' = (a - a')x + a'(x - x')
a x − a ′ x ′ = ( a − a ′ ) x + a ′ ( x − x ′ ) 以及a − a ′ ∈ A p + 1 a - a' \in A_{p+1} a − a ′ ∈ A p + 1 x − x ′ ∈ E q + 1 x - x' \in E_{q+1} x − x ′ ∈ E q + 1 α ξ \alpha\xi α ξ
E p + 1 / E p + q + 1 = g r p + q ( E )
E_{p+1}/E_{p+q+1} = \mathrm{gr}_{p+q}(E)
E p + 1 / E p + q + 1 = gr p + q ( E ) 任何代表 a ∈ a a \in a a ∈ a x ∈ ξ x \in \xi x ∈ ξ a x ax a x Z \mathbf{Z} Z
g r ( A ) × g r ( E ) → g r ( E ) .
\mathrm{gr}(A) \times \mathrm{gr}(E) \to \mathrm{gr}(E).
gr ( A ) × gr ( E ) → gr ( E ) . If this definition is first applied to the case E = A 0 E = A_0 E = A 0 g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) associative and has an identity element which is the canonical image in g r 0 ( A ) \mathrm{gr}_0(A) gr 0 ( A ) g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) ( g r n ( A ) ) n ∈ Z (\mathrm{gr}_n(A))_{n \in \mathbf{Z}} ( gr n ( A ) ) n ∈ Z g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) Z \mathbf{Z} Z g r 0 ( A ) \mathrm{gr}_0(A) gr 0 ( A ) g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) g r ( E ) \mathrm{gr}(E) gr ( E ) g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) g r ( E ) \mathrm{gr}(E) gr ( E ) ( g r n ( E ) ) n ∈ Z (\mathrm{gr}_n(E))_{n \in \mathbf{Z}} ( gr n ( E ) ) n ∈ Z g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) g r ( E ) \mathrm{gr}(E) gr ( E ) Z \mathbf{Z} Z
例
令 A 为 A 的交换环和 t t t (t) -*adic 过滤* (no. 1, 例 3 )。那么相关的分级环 g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) 多项式环 ( A / ( t ) ) [ X ] (A/(t))[X] ( A / ( t )) [ X ] g r n ( A ) = 0 \mathrm{gr}_n(A) = 0 gr n ( A ) = 0 n < 0 n < 0 n < 0 g r 0 ( A ) \mathrm{gr}_0(A) gr 0 ( A ) A / ( t ) A/(t) A / ( t ) t t t a t n ≡ 0 at^n \equiv 0 a t n ≡ 0 t n + 1 t^{n+1} t n + 1 a ≡ 0 a \equiv 0 a ≡ 0 t t t τ \tau τ g r 1 ( A ) \mathrm{gr}_1(A) gr 1 ( A ) t t t g r n ( A ) \mathrm{gr}_n(A) gr n ( A ) α τ n \alpha \tau^n α τ n α ∈ g r 0 ( A ) \alpha \in \mathrm{gr}_0(A) α ∈ gr 0 ( A )
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 例 3
被以下引用 推论 2
设K K K A A A
K [ [ X 1 , … , X r ] ]
K[[X_1,\ldots,X_r]]
K [[ X 1 , … , X r ]] (代数, 章 IV, § 5 ) 和 m m m A A A A A A m m m 过滤 (no. 1, 例 3 );如果M 1 , … , M s M_1,\ldots,M_s M 1 , … , M s n − 1 n-1 n − 1 X 1 , … , X r X_1,\ldots,X_r X 1 , … , X r ω ( u ) ≥ n \omega(u)\geq n ω ( u ) ≥ n u u u
（前述，no. 2）*可写为∑ k = 1 s u k M k \displaystyle\sum_{k=1}^{s}u_kM_k k = 1 ∑ s u k M k u k u_k u k m m m 看出 ，m n m^n m n u u u ω ( u ) ≥ n \omega(u)\geq n ω ( u ) ≥ n ω \omega ω m m m u ∈ m n u\in m^n u ∈ m n X i X_i X i n n n u u u m n + 1 m^{n+1} m n + 1 u u u n n n gr ( A ) \operatorname{gr}(A) gr ( A ) 多项式环 K [ X 1 , … , X r ] K[X_1,\ldots,X_r] K [ X 1 , … , X r ]
引用了 2 引用了 例 3 , A IV § 5. 。对称张量和多项式映射
更一般地，令 A A A b b b A A A A A A b b b B = gr 0 ( A ) B=\operatorname{gr}_0(A) B = gr 0 ( A ) F = gr 1 ( A ) = b / b 2 F=\operatorname{gr}_1(A)=b/b^2 F = gr 1 ( A ) = b / b 2 B B B F F F u u u F F F S ( F ) S(F) S ( F ) B B B gr ( A ) \operatorname{gr}(A) gr ( A ) gr ( A ) \operatorname{gr}(A) gr ( A ) u u u n ≥ 1 n\geq1 n ≥ 1 gr n ( A ) \operatorname{gr}_n(A) gr n ( A ) y = x 1 x 2 ⋯ x n y=x_1x_2\cdots x_n y = x 1 x 2 ⋯ x n b n + 1 b^{n+1} b n + 1 x i ∈ b x_i\in b x i ∈ b ( 1 ≤ i ≤ n ) (1\leq i\leq n) ( 1 ≤ i ≤ n ) ξ i \xi_i ξ i x i x_i x i b 2 b^2 b 2 y y y b n + 1 b^{n+1} b n + 1 u ( ξ 1 ) ⋯ u ( ξ n ) u(\xi_1)\cdots u(\xi_n) u ( ξ 1 ) ⋯ u ( ξ n ) B B B F F F B B B gr ( A ) \operatorname{gr}(A) gr ( A )
如果现在E E E A A A E E E b b b gr ( A ) \operatorname{gr}(A) gr ( A ) gr ( E ) \operatorname{gr}(E) gr ( E ) gr 0 ( E ) = E / b E \operatorname{gr}_0(E)=E/bE gr 0 ( E ) = E / b E gr ( A ) \operatorname{gr}(A) gr ( A ) gr ( E ) \operatorname{gr}(E) gr ( E ) ϕ \phi ϕ gr ( A ) × gr 0 ( E ) \operatorname{gr}(A)\times\operatorname{gr}_0(E) gr ( A ) × gr 0 ( E ) gr ( A ) × gr 0 ( E ) \operatorname{gr}(A)\times\operatorname{gr}_0(E) gr ( A ) × gr 0 ( E ) gr ( E ) \operatorname{gr}(E) gr ( E ) Z \mathbf{Z} Z gr ( A ) \operatorname{gr}(A) gr ( A ) ( gr 0 ( A ) , gr 0 ( A ) ) (\operatorname{gr}_0(A),\operatorname{gr}_0(A)) ( gr 0 ( A ) , gr 0 ( A )) gr 0 ( E ) \operatorname{gr}_0(E) gr 0 ( E ) gr 0 ( A ) \operatorname{gr}_0(A) gr 0 ( A ) a ∈ gr ( A ) a\in\operatorname{gr}(A) a ∈ gr ( A ) α 0 ∈ gr 0 ( A ) \alpha_0\in\operatorname{gr}_0(A) α 0 ∈ gr 0 ( A ) ξ ∈ gr 0 ( E ) \xi\in\operatorname{gr}_0(E) ξ ∈ gr 0 ( E )
ϕ ( a α 0 , ξ ) = ϕ ( a , α 0 ξ )
\phi(a\alpha_0,\xi)=\phi(a,\alpha_0\xi)
ϕ ( a α 0 , ξ ) = ϕ ( a , α 0 ξ ) 因此 ϕ \phi ϕ gr 1 ( A ) \operatorname{gr}_1(A) gr 1 ( A )
(11)
γ E : gr ( A ) ⊗ gr 0 ( A ) gr 0 ( E ) ⟶ gr ( E )
\gamma_E:\operatorname{gr}(A)\otimes_{\operatorname{gr}_0(A)}\operatorname{gr}_0(E)\longrightarrow\operatorname{gr}(E)
γ E : gr ( A ) ⊗ gr 0 ( A ) gr 0 ( E ) ⟶ gr ( E ) 这被称为*规范*。
被以下引用 9 被以下引用 推论 , 例 1 , 例 2 , 命题 13 , 推论 2 , 命题 4 , 推论 3 , 推出 5 , 注, III § 4
\* 令K K K g \mathfrak g g K K K U U U g \mathfrak g g 递增过滤 ( U n ) n ∈ Z (U_n)_{n\in\mathbf{Z}} ( U n ) n ∈ Z U U U n < 0 n<0 n < 0 U n = { 0 } U_n=\{0\} U n = { 0 } U n U_n U n U U U n ≥ 0 n\geq0 n ≥ 0 n n n g \mathfrak g g
U_0 = K 且 gr(U) 为交换K-代数（李群和李代数、章 I, § 2, no. 6）。 g 的典范映射到 gr_1(U) = U_1/U_0 可以唯一地扩展到 K-模 g 到 K-代数 gr(U) 的对称代数 S ( g ) S(g) S ( g )
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 LIE I § 2. 。包络代数的李代数
被以下引用 推出 6
令A为型Z \mathbf{Z} Z Z \mathbf{Z} Z A ( i ) A_{(i)} A ( i ) E ( i ) E_{(i)} E ( i ) A ( n ) A_{(n)} A ( n ) A → g r ( A ′ ) A \to \mathrm{gr}(A') A → gr ( A ′ )
g r n ( A ) = ( ⨁ i ≥ n A ( i ) ) / ( ⨁ i ≥ n + 1 A ( i ) )
\mathrm{gr}_n(A) = \left( \bigoplus_{i \geq n} A_{(i)} \right) / \left( \bigoplus_{i \geq n+1} A_{(i)} \right)
gr n ( A ) = ( i ≥ n ⨁ A ( i ) ) / ( i ≥ n + 1 ⨁ A ( i ) ) 等级为环同构。规范分级 A-模同构
E → g r ( E ′ ) E \to \mathrm{gr}(E') E → gr ( E ′ ) 的定义类似。
设 A 为过滤后的环，( A n ) n ∈ Z (A_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( A n ) n ∈ Z g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) B = ⋃ n ∈ Z A n B = \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} A_n B = ⋃ n ∈ Z A n v ( a b ) = v ( a ) + v ( b ) v(ab) = v(a) + v(b) v ( ab ) = v ( a ) + v ( b )
被以下引用 1 被以下引用 命题 15, V § 1
由于 n = ⋂ n ∈ Z A n n = \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} A_n n = ⋂ n ∈ Z A n v ( a ) v(a) v ( a ) v ( b ) v(b) v ( b ) + ∞ +\infty + ∞ v ( a ) = r v(a) = r v ( a ) = r v ( b ) = s v(b) = s v ( b ) = s α \alpha α β \beta β g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) ≠ 0 \neq 0 = 0 α β ≠ 0 \alpha \beta \neq 0 α β = 0 a b ∉ A r + s + 1 ab \notin A_{r+s+1} ab ∈ / A r + s + 1 a b ∈ A r + s ab \in A_{r+s} ab ∈ A r + s
v ( a b ) = v ( a ) + v ( b ) .
v(ab) = v(a) + v(b).
v ( ab ) = v ( a ) + v ( b ) .
设 A 为过滤后的环和其过滤后的 ( A n ) n ∈ Z (A_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( A n ) n ∈ Z B = ⋃ n ∈ Z A n B = \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} A_n B = ⋃ n ∈ Z A n n = ⋂ n ∈ Z A n n = \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} A_n n = ⋂ n ∈ Z A n g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) B / n B/n B / n v ( a ) ≠ + ∞ v(a) \neq +\infty v ( a ) = + ∞ v ( b ) ≠ + ∞ v(b) \neq +\infty v ( b ) = + ∞ v ( a b ) ≠ + ∞ v(ab) \neq +\infty v ( ab ) = + ∞ a b ∉ n ab \notin n ab ∈ / n
引用了 1 · 被以下引用 2 引用了 习题 2, § 2
被以下引用 命题 4 , 命题 15, V § 1
注，环 A 可以是整环，且过滤 (A_n) 是彻底且分离的，而 g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A )
4. 同态与过滤兼容
令G、G'为两个交换律群（相加地写），(G_n)对G的过滤和(G'_n)对G'的过滤； 同态 h : G → G' 被称为与 G 和 G' 上的过滤兼容，如果 h(G_n) ⊂ G'_n 对于所有 n ∈ Z。复合同态 G_n → h G n ′ ⟶ G n ′ / G n + 1 ′ \xrightarrow{h} G'_n \longrightarrow G'_n/G'_{n+1} h G n ′ ⟶ G n ′ / G n + 1 ′
(12)
gr ( h ′ ∘ h ) = gr ( h ′ ) ∘ gr ( h )
\operatorname{gr}(h' \circ h) = \operatorname{gr}(h') \circ \operatorname{gr}(h)
gr ( h ′ ∘ h ) = gr ( h ′ ) ∘ gr ( h )
(13)
0 ⟶ gr ( H ) → gr ( j ) gr ( G ) → gr ( p ) gr ( G / H ) ⟶ 0
0 \longrightarrow \operatorname{gr}(H) \xrightarrow{\operatorname{gr}(j)} \operatorname{gr}(G) \xrightarrow{\operatorname{gr}(p)} \operatorname{gr}(G/H) \longrightarrow 0
0 ⟶ gr ( H ) gr ( j ) gr ( G ) gr ( p ) gr ( G / H ) ⟶ 0 是准确的。
第一个断言很明显；如果(G_n)是G上的过滤，那么
( H ∩ G n ) ∩ G n + 1 = H ∩ G n + 1
(H \cap G_n) \cap G_{n+1} = H \cap G_{n+1}
( H ∩ G n ) ∩ G n + 1 = H ∩ G n + 1 因此 gr(j) 是单射的；而且典范映射
G n → ( H + G n ) / H
G_n \to (H + G_n)/H
G n → ( H + G n ) / H 是满射，因此 gr(p) 和 gr(p) ∘ gr(j) = 0 by (12) 也是满射。最后令gr(p)的
ξ ∈ G n / G n + 1 \xi \in G_n/G_{n+1} ξ ∈ G n / G n + 1 属于到核；则存在 x ε ψ 使得 x ε H + G_{n+1}；但由于 G_{n+1} ⊂ G，
G n ∩ ( H + G n + 1 ) = ( H ∩ G n ) + G n + 1
G_n \cap (H + G_{n+1}) = (H \cap G_n) + G_{n+1}
G n ∩ ( H + G n + 1 ) = ( H ∩ G n ) + G n + 1 因此 x = y + z 其中 y ∈ H ∩ G，且 z ∈ G, +_1；这证明了 xi 是类 mod。 G，j(y)的+_1，在gr(j)下gr(H)的其他字它属于到像。
注给定正合序列 0 → G' \xrightarrow{u} G \xrightarrow{v} G'' → 0 过滤交换性群，其中 u 和 v 与过滤兼容， 序列 0 \longrightarrow \operatorname{gr}(G') \xrightarrow{\operatorname{gr}(u)} \operatorname{gr}(G) \xrightarrow{\operatorname{gr}(v)} \operatorname{gr}(G'') \longrightarrow 0 不一定是精确的 (习题 4)。
如果现在A和B是两个过滤的环和h：A→B环同态，与过滤兼容，则立即验证分级的群同态gr(h)：gr(A)→gr(B)也是环同态。特别是，如果通过诱导过滤，A' 是 A 的子环，则 gr(A') 可以被规范地识别为 gr(A) 的分级子环 (命题 2)；如果 b 是 A 的两侧理想，并且 A/b 被给予商过滤，则 gr(A/b) 被规范地识别为等级为环 gr(A)/gr(b) (命题 2) 的商。
最后，令 A 为过滤后的环，E、F 为过滤后的 A-模，并且 u : E → F 同态与过滤兼容。那么直接的 gr(u) : gr(E) → gr(F) 是 gr(A)-线性映射，因此是分级 gr(A)-模块的次数 0 的齐次同态。此外，如果 u' : E → F 是另一个 A 同态，与过滤兼容，那么 u + u' 也是如此，并且
gr ( u + u ′ ) = gr ( u ) + gr ( u ′ ) .
\operatorname{gr}(u + u') = \operatorname{gr}(u) + \operatorname{gr}(u').
gr ( u + u ′ ) = gr ( u ) + gr ( u ′ ) . Remarks
(1) 与过滤兼容的清晰过滤环同态（在给定的过滤环 A 上分别过滤的模的同态）可以视为过滤的环结构的态射（分别过滤的A-模结构）(集合)理论，章IV, § 2, no. 1）。
(2) 令 E 和 F 是经过过滤的环 A 上的两个模，并让它们具有从 A 上的过滤 (A_n) 导出的过滤 (no. 1，例 2)。那么每个 A-线性映射 u : E → F 都与过滤兼容，因为
u ( A n E ) = A n u ( E ) ⊂ A n F .
u(A_nE) = A_nu(E) \subset A_nF.
u ( A n E ) = A n u ( E ) ⊂ A n F . (3) 注与过滤兼容的过滤后的 A-模同态 u : E → F 可以满足 gr(u) = 0 而不是零；对于自同态 x ↦ nx 的加法群 Z \mathbf{Z} Z
(4) 定义在本号开头。 扩展立即到两个群 G, G'，它们不一定是可交换的，并通过子群 G n , G n ′ G_n, G'_n G n , G n ′ G n + 1 G_{n+1} G n + 1 G n + 1 ′ G'_{n+1} G n + 1 ′ G n ′ G'_n G n ′
5. 由过滤定义的拓扑
Let G be a group filtered by a family ( G n ) n ∈ Z (G_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( G n ) n ∈ Z
由于每个G，在G上都是正规的，所以G上的左右均匀性重合；我们推断 G 承认 Hausdorff 完成群G ^ \hat{G} G ^
对于 G 的每个子集 M，G 中 M 的闭包等于
⋂ n ∈ Z ( M . G n ) = ⋂ n ∈ Z ( G n . M )
\bigcap_{n \in \mathbf{Z}} (M . G_n) = \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} (G_n . M)
n ∈ Z ⋂ ( M . G n ) = n ∈ Z ⋂ ( G n . M ) （一般拓扑、章III, § 3, no. 1、公式(1)）；特别是⋂ n ∈ Z G \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} G ⋂ n ∈ Z G { e } \{e\} { e } n ∈ Z n \in \mathbf{Z} n ∈ Z G + = { e } G_+ = \{e\} G + = { e } G m = { e } G_m = \{e\} G m = { e } m ≥ n m \geq n m ≥ n
由于与 G 伴随的 Hausdorff 群为 H = G / ( ⋂ n ∈ Z G n ) H = G / \left( \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} G_n \right) H = G / ( ⋂ n ∈ Z G n )
不让G'被另一个过滤群和u : G → G ′ u : G \to G' u : G → G ′ u u u
令 v 为 G 上的阶函数 (no. 2)。G 上的假设意味着对于 G 中的所有 x、y 而言，v ( x y x − 1 ) = v ( y ) v(xy x^{-1}) = v(y) v ( x y x − 1 ) = v ( y ) v ( x y − 1 ) = v ( y x − 1 ) = v ( x − 1 y ) = v ( y − 1 x ) v(xy^{-1}) = v(yx^{-1}) = v(x^{-1}y) = v(y^{-1}x) v ( x y − 1 ) = v ( y x − 1 ) = v ( x − 1 y ) = v ( y − 1 x ) ρ \rho ρ 0 < ρ < 1 0 < \rho < 1 0 < ρ < 1
(*) 在整个章中，我们将在一般拓扑、章III, § 2, no. 8中所谓的“连续表示”的意义上使用字“连续同态”； 字“同态”永远不会用于一般意义上的拓扑、章、III, § 2, no. 8、定义 1；对于这个概念，我们将始终在阶中使用项“严格态射”以避免任何混淆。
ρ = 1 / e \rho = 1/e ρ = 1/ e d ( x , y ) = ρ v ( x y − 1 ) d(x, y) = \rho^{v(xy^{-1})} d ( x , y ) = ρ v ( x y − 1 ) x , y x, y x , y d ( x , x ) = 0 , d ( x , y ) = d ( y , x ) d(x, x) = 0, d(x, y) = d(y, x) d ( x , x ) = 0 , d ( x , y ) = d ( y , x )
( 15 ) d ( x , y ) ≤ sup ( d ( x , z ) , d ( y , z ) )
(15) \quad d(x, y) \leq \sup(d(x, z), d(y, z))
( 15 ) d ( x , y ) ≤ sup ( d ( x , z ) , d ( y , z )) 对于 G 中的所有 x , y , z x, y, z x , y , z
d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( y , z ) .
d(x, y) \leq d(x, z) + d(y, z).
d ( x , y ) ≤ d ( x , z ) + d ( y , z ) . 因此 d d d x ∈ G x \in G x ∈ G d ( e , x ) < ρ n d(e, x) < \rho^n d ( e , x ) < ρ n d d d d d d
给定一个拓扑环 A，回想一下，*左拓扑 A-模* 是 A-模 E，其中拓扑与其加法群结构兼容，并且从 A × E A \times E A × E ( a , x ) ↦ a x (a, x) \mapsto ax ( a , x ) ↦ a x
设A是过滤后的环，(A_n)其过滤，A的B子环⋃ n ∈ Z A n \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} A_n ⋃ n ∈ Z A n ⋃ n ∈ Z E n \bigcup_{n \in \mathbf{Z}} E_n ⋃ n ∈ Z E n ( a , x ) ↦ a x (a, x) \mapsto ax ( a , x ) ↦ a x B × F B \times F B × F
被以下引用 2 被以下引用 § 2. 。过滤后的环和模的一般结果 , 推论
令 a , ∈ B , x 0 ∈ F a, \in B, x_0 \in F a , ∈ B , x 0 ∈ F r , s r, s r , s a 0 ∈ A r a_0 \in A_r a 0 ∈ A r x 0 ∈ E s x_0 \in E_s x 0 ∈ E s
a x − a 0 x 0 = ( a − a 0 ) x 0 + a 0 ( x − x 0 ) + ( a − a 0 ) ( x − x 0 )
ax - a_0x_0 = (a - a_0)x_0 + a_0(x - x_0) + (a - a_0)(x - x_0)
a x − a 0 x 0 = ( a − a 0 ) x 0 + a 0 ( x − x 0 ) + ( a − a 0 ) ( x − x 0 ) 表明如果 a − a 0 ∈ A i a - a_0 \in A_i a − a 0 ∈ A i x − x 0 ∈ E j x - x_0 \in E_j x − x 0 ∈ E j a x − a 0 x 0 ax - a_0x_0 a x − a 0 x 0
E i + s + E j + r + E i + j .
E_{i+s} + E_{j+r} + E_{i+j}.
E i + s + E j + r + E i + j . 然后，给定整数n n n a x − a 0 x 0 ∈ E n ax - a_0x_0 \in E_n a x − a 0 x 0 ∈ E n i ≥ n − s , j ≥ n − r i \geq n - s, j \geq n - r i ≥ n − s , j ≥ n − r i + j ≥ n i + j \geq n i + j ≥ n i i i j j j
环 B 是拓扑环，B-模 F 是拓扑B-模。
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 命题 3
被以下引用 命题 4
第一个断言是由应用命题3到F = B F = B F = B
特别可以看出，过滤“穷举”的过滤环 A 是拓扑环；如果是这样的话，每个过滤“详尽”的过滤A-模都是拓扑A-模。
设 A 为交换环，通过穷举过滤 (A_n) 过滤，p 为 A 的理想。假设环 gr ( A ) \operatorname{gr}(A) gr ( A ) gr ( p ) = ⨁ n ∈ Z ( p ∩ A n ) / ( p ∩ A n + 1 ) \operatorname{gr}(p) = \bigoplus_{n \in \mathbf{Z}} (p \cap A_n)/(p \cap A_{n+1}) gr ( p ) = ⨁ n ∈ Z ( p ∩ A n ) / ( p ∩ A n + 1 )
引用了 6 引用了 推论 , 命题 2 , 例 3 , 推论 , 命题 15, II § 2 , 推论 2, II § 4
我们知道 gr(A/p) 与 gr(A)/gr(p) (no. 4, 命题 2) 同构的，因此整环；我们结论，A / ⋂ n ∈ Z ( p + A n ) A / \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} (p + A_n) A / ⋂ n ∈ Z ( p + A n ) p p p ⋂ n ∈ Z ( p + A n ) \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} (p + A_n) ⋂ n ∈ Z ( p + A n )
令A A A m m m A A A m m m A A A m-adic 拓扑 ；由于 m -adic 过滤是详尽的，A A A A A A E E E m m m E E E E E E A A A
令m ′ m' m ′ A A A A A A m ′ m' m ′ m m m n > 0 n > 0 n > 0 m ′ n ⊂ m {m'}^n \subset m m ′ n ⊂ m m ′ h n ⊂ m h {m'}^{hn} \subset m^h m ′ hn ⊂ m h h > 0 h > 0 h > 0 A A A V ( m ) ⊂ V ( m ′ ) V(m) \subset V(m') V ( m ) ⊂ V ( m ′ ) A A A
6. 完全过滤模
(a) G G G
(b) 伴随的 Hausdorff 群 G ′ = G / ( ⋂ n ∈ Z G n ) G' = G / (\bigcap_{n \in \mathbf{Z}} G_n) G ′ = G / ( ⋂ n ∈ Z G n ) 已完成 。
(c) G G G
如果 G G G
(d) 对于L L L F \mathscr{F} F G ′ G' G ′ 每个族*( x λ ) λ ∈ L (x_\lambda)_{\lambda \in L} ( x λ ) λ ∈ L G ′ G' G ′
对于G G G G → G ′ G \to G' G → G ′ G ′ G' G ′
现在假设 G G G G ′ G' G ′ ( x λ ) λ ∈ L (x_\lambda)_{\lambda \in L} ( x λ ) λ ∈ L G ′ G' G ′ F \mathscr{F} F G G G V ′ V' V ′ G ′ G' G ′ L L L J J J λ ∈ L − J \lambda \in L - J λ ∈ L − J x λ ∈ V ′ x_\lambda \in V' x λ ∈ V ′ ∑ λ ∈ H x λ ∈ V ′ \sum_{\lambda \in H} x_\lambda \in V' ∑ λ ∈ H x λ ∈ V ′ L L L H H H J J J ( x λ ) λ ∈ L (x_\lambda)_{\lambda \in L} ( x λ ) λ ∈ L
相反，假设条件(d)成立，并令( x n ) (x_n) ( x n ) G ′ G' G ′ ( x n + 1 − x n ) (x_{n+1} - x_n) ( x n + 1 − x n ) x n + 1 − x n x_{n+1} - x_n x n + 1 − x n ( x n ) (x_n) ( x n )
令G G G ( G r ) (G_r) ( G r ) G G G G / G n G/G_n G / G n G r G_r G r G G G f n f_n f n G → G / G n G \to G/G_n G → G / G n m ≤ n m \leq n m ≤ n f m n f_{mn} f mn G / G n → G / G m G/G_n \to G/G_m G / G n → G / G m ( G / G n , f m n ) (G/G_n, f_{mn}) ( G / G n , f mn ) Z \mathbf{Z} Z G ~ \tilde{G} G ~ n n n g n : G ~ → G / G n g_n : \tilde{G} \to G/G_n g n : G ~ → G / G n f : G → G ~ f : G \to \tilde{G} f : G → G ~ ( f n ) (f_n) ( f n ) f n = g n ∘ f f_n = g_n \circ f f n = g n ∘ f n n n j j j G G G G ^ \hat{G} G ^ G / G n G/G_n G / G n i : G ^ → G ~ i : \hat{G} \to \tilde{G} i : G ^ → G ~ f = i ∘ j f = i \circ j f = i ∘ j G ^ \hat{G} G ^ G ~ \tilde{G} G ~
令H H H ( H r ) (H_r) ( H r ) H H H u : G → H u : G \to H u : G → H H ~ = lim H / H n \tilde{H} = \lim H/H_n H ~ = lim H / H n n n n u u u u n : G / G n → H / H n u_n : G/G_n \to H/H_n u n : G / G n → H / H n u n u_n u n u ~ = lim u n \tilde{u} = \lim u_n u ~ = lim u n H ^ \hat{H} H ^ H H H t i : G ^ → H ti : \hat{G} \to H t i : G ^ → H u u u G ^ \hat{G} G ^ G ~ \tilde{G} G ~ H ^ \hat{H} H ^ H ~ \tilde{H} H ~ t i ti t i u ~ \tilde{u} u ~ n n n u n u_n u n t i ti t i
完全过滤的群和环的例
令A A A ( a n ) n ∈ Z (a_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( a n ) n ∈ Z A ′ A' A ′ A [ [ X 1 , … , X s ] ] A[[X_1, \ldots, X_s]] A [[ X 1 , … , X s ]] e = ( e 1 , … , e s ) ∈ N s e = (e_1, \ldots, e_s) \in \mathbf{N}^s e = ( e 1 , … , e s ) ∈ N s ∣ e ∣ = ∑ i = 1 s e i |e| = \sum_{i=1}^s e_i ∣ e ∣ = ∑ i = 1 s e i X e = ∏ i = 1 s X i e i X^e = \prod_{i=1}^s X_i^{e_i} X e = ∏ i = 1 s X i e i P ∈ A ′ P \in A' P ∈ A ′ P = ∑ e ∈ N s α e , P X e P = \sum_{e \in \mathbf{N}^s} \alpha_{e,P} X^e P = ∑ e ∈ N s α e , P X e α e , P ∈ A \alpha_{e,P} \in A α e , P ∈ A n ∈ Z n \in \mathbf{Z} n ∈ Z a n ′ a'_n a n ′ P ∈ A ′ P \in A' P ∈ A ′ α e , P ∈ a n − ∣ e ∣ \alpha_{e,P} \in a_{n-|e|} α e , P ∈ a n − ∣ e ∣ e ∈ N s e \in \mathbf{N}^s e ∈ N s a n ′ a'_n a n ′ A ′ A' A ′ a n ′ a'_n a n ′ A ′ A' A ′ P ∈ a n ′ P \in a'_n P ∈ a n ′ Q ∈ A ′ Q \in A' Q ∈ A ′ e ∈ N s e \in \mathbf{N}^s e ∈ N s α e , P Q = ∑ e ′ + e ′ ′ = e α e ′ , Q α e ′ ′ , P \alpha_{e,PQ} = \sum_{e'+e''=e} \alpha_{e',Q}\alpha_{e'',P} α e , P Q = ∑ e ′ + e ′′ = e α e ′ , Q α e ′′ , P e ′ + e ′ ′ = e e' + e'' = e e ′ + e ′′ = e ∣ e ′ ′ ∣ ≤ ∣ e ∣ |e''| \leq |e| ∣ e ′′ ∣ ≤ ∣ e ∣ P Q ∈ a n ′ PQ \in a'_n P Q ∈ a n ′ Q ∈ a m ′ Q \in a'_m Q ∈ a m ′ e ′ + e ′ ′ = e e' + e'' = e e ′ + e ′′ = e α e ′ , Q α e ′ ′ , P ∈ a m − ∣ e ′ ∣ a n − ∣ e ′ ′ ∣ ⊂ a m + n − ∣ e ∣ \alpha_{e',Q}\alpha_{e'',P} \in a_{m-|e'|}a_{n-|e''|} \subset a_{m+n-|e|} α e ′ , Q α e ′′ , P ∈ a m − ∣ e ′ ∣ a n − ∣ e ′′ ∣ ⊂ a m + n − ∣ e ∣ ( a n ′ ) n ∈ Z (a'_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( a n ′ ) n ∈ Z A ′ A' A ′ 1 ∈ a 0 ′ 1 \in a'_0 1 ∈ a 0 ′ A ′ A' A ′ ⋂ n ∈ Z a n ′ \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} a'_n ⋂ n ∈ Z a n ′ ⋂ n ∈ Z a n \bigcap_{n \in \mathbf{Z}} a_n ⋂ n ∈ Z a n A A A A ′ A' A ′ a 0 = A a_0 = A a 0 = A a 0 ′ = A ′ a'_0 = A' a 0 ′ = A ′
对于上面的记号，假设a 0 = A a_0 = A a 0 = A h h h P ↦ ( α e , P ) e ∈ N s P \mapsto (\alpha_{e,P})_{e \in \mathbf{N}^s} P ↦ ( α e , P ) e ∈ N s h h h A A A A N s A^{\mathbf{N}^s} A N s A [ X 1 , … , X s ] A[X_1, \ldots, X_s] A [ X 1 , … , X s ] A ′ A' A ′ A A A A ′ A' A ′
被以下引用 3 被以下引用 VI § 9. 应用：局部紧凑域 , VII § 3. 阶乘域 , 命题 8, VII § 3
显然 h h h V n = h ( a n ′ ) V_n = h(a'_n) V n = h ( a n ′ ) ( a e ) ∈ A N s (a_e) \in A^{\mathbf{N}^s} ( a e ) ∈ A N s a e ∈ a n − ∣ e ∣ a_e \in a_{n-|e|} a e ∈ a n − ∣ e ∣ e ∈ N s e \in \mathbf{N}^s e ∈ N s ∣ e ∣ ≤ n |e| \leq n ∣ e ∣ ≤ n e e e V n V_n V n A N s A^{\mathbf{N}^s} A N s V V V A N s A^{\mathbf{N}^s} A N s N s \mathbf{N}^s N s v v v E E E e ∈ E e \in E e ∈ E a e ∈ a v a_e \in a_v a e ∈ a v ( a e ) ∈ V (a_e) \in V ( a e ) ∈ V e ∈ E e \in E e ∈ E n n n v + ∣ e ∣ v + |e| v + ∣ e ∣ h ( a n ′ ) ⊂ V h(a'_n) \subset V h ( a n ′ ) ⊂ V
此外，根据上面定义的n n n E E E h ( P − ∑ e ∈ E α e , P X e ) ∈ V h(P - \sum_{e \in E} \alpha_{e,P}X^e) \in V h ( P − ∑ e ∈ E α e , P X e ) ∈ V P ∈ A ′ P \in A' P ∈ A ′ A [ X 1 , … , X s ] A[X_1, \ldots, X_s] A [ X 1 , … , X s ] A ′ A' A ′
令m m m A A A ( a i ) (a_i) ( a i ) m m m n n n m m m X i X_i X i 1 ≤ i ≤ s 1 \leq i \leq s 1 ≤ i ≤ s A ′ A' A ′ ( a i ) (a_i) ( a i ) n n n k ≥ 0 k \geq 0 k ≥ 0 n k n^k n k a X e aX^e a X e a ∈ m k − ∣ e ∣ a \in m^{k-|e|} a ∈ m k − ∣ e ∣ e ∈ N s e \in \mathbf{N}^s e ∈ N s ∣ e ∣ ≤ k |e| \leq k ∣ e ∣ ≤ k n k ⊂ a & n^k \subset a \& n k ⊂ a & a k ′ ⊂ n k a'_k \subset n^k a k ′ ⊂ n k P ∈ a k ′ P \in a'_k P ∈ a k ′ P = P ′ + P ′ ′ P = P' + P'' P = P ′ + P ′′ P ′ = ∑ ∣ e ∣ < k α e , P X e P' = \sum_{|e| < k} \alpha_{e,P}X^e P ′ = ∑ ∣ e ∣ < k α e , P X e P ′ ′ = ∑ ∣ e ∣ ≥ k α e , P X e P'' = \sum_{|e| \geq k} \alpha_{e,P}X^e P ′′ = ∑ ∣ e ∣ ≥ k α e , P X e P ′ ′ = ∑ ∣ e ∣ = k X e Q e P'' = \sum_{|e|=k} X^e Q_e P ′′ = ∑ ∣ e ∣ = k X e Q e Q e Q_e Q e A ′ A' A ′ P ′ ′ ∈ n k P'' \in n^k P ′′ ∈ n k α e , P X e ∈ n k \alpha_{e,P}X^e \in n^k α e , P X e ∈ n k e ∈ N s e \in \mathbf{N}^s e ∈ N s P ′ ∈ n k P' \in n^k P ′ ∈ n k n k = a k ′ n^k = a'_k n k = a k ′
A ′ = A [ [ X 1 , … , X s ] ]
A' = A[[X_1, \ldots, X_s]]
A ′ = A [[ X 1 , … , X s ]] s s s A A A n n n A ′ A' A ′ A ′ A' A ′ A [ X 1 , … , X s ] A[X_1, \ldots, X_s] A [ X 1 , … , X s ] A ′ A' A ′
将刚刚所说的内容应用到案例m = { 0 } m = \{0\} m = { 0 }
7. 全过滤的线性紧致性模
回想一下，如果 E 是 A-模，E 的仿射子集（或仿射线性簇）是任何空的子集 F 或形式 a + M a + M a + M a ∈ E a \in E a ∈ E
设A是过滤后的环，E是过滤后的A-模，E是过滤后的( E n ) (E_n) ( E n ) E 0 = E E_0 = E E 0 = E E n E_n E n E / E n E/E_n E / E n
被以下引用 1 被以下引用 命题 8
我们在no. 6中看到，由于E是豪斯多夫且完备的，所以它与E ~ = lim ← E / E n \tilde{E} = \lim_{\leftarrow} E/E_n E ~ = lim ← E / E n ( W p ) (W_p) ( W p ) n ≥ 0 n \geq 0 n ≥ 0 W p , n W_{p,n} W p , n E / E n E/E_n E / E n W p W_p W p x = ( x n ) ∈ E ~ x = (x_n) \in \tilde{E} x = ( x n ) ∈ E ~ x n ∈ W p , n x_n \in W_{p,n} x n ∈ W p , n p p p n n n x ∈ W p + E n x \in W_p + E_n x ∈ W p + E n p p p n n n W p W_p W p x ∈ W p x \in W_p x ∈ W p p p p
作为E / E 0 = 0 E/E_0 = 0 E / E 0 = 0 x 0 = 0 x_0 = 0 x 0 = 0 0 ≤ i ≤ n − 1 0 \leq i \leq n - 1 0 ≤ i ≤ n − 1 x i x_i x i W p , n ′ W'_{p,n} W p , n ′ W p , n W_{p,n} W p , n E / E n − 1 E/E_{n-1} E / E n − 1 x n − 1 x_{n-1} x n − 1 x n − 1 ∈ W p , n − 1 x_{n-1} \in W_{p,n-1} x n − 1 ∈ W p , n − 1 W p , n − 1 W_{p,n-1} W p , n − 1 W p , n W_{p,n} W p , n W p , n ′ W'_{p,n} W p , n ′ E / E n E/E_n E / E n ( W p , n ′ ) p ∈ N (W'_{p,n})_{p \in \mathbf{N}} ( W p , n ′ ) p ∈ N E / E n E/E_n E / E n E / E n E/E_n E / E n W p , n ′ W'_{p,n} W p , n ′ x n x_n x n ⋂ p ∈ N W p , n ′ \bigcap_{p \in \mathbf{N}} W'_{p,n} ⋂ p ∈ N W p , n ′ ( x n ) (x_n) ( x n )
我们可以假设V是E n E_n E n E / V E/V E / V F p ′ = ( F p + V ) / V F'_p = (F_p + V)/V F p ′ = ( F p + V ) / V E / V E/V E / V F p ′ F'_p F p ′ j j j p > j p > j p > j F p ′ = F j ′ F'_p = F'_j F p ′ = F j ′ F j ′ = { 0 } F'_j = \{0\} F j ′ = { 0 } x ∈ F j ′ x \in F'_j x ∈ F j ′ E / V E/V E / V x x x p ≥ j p \geq j p ≥ j W p + 1 ⊂ W W_{p+1} \subset W W p + 1 ⊂ W
那么从命题 7 可以得出，对于所有 W, 都存在元素 y 属于。作为W，⊂ F , \subset F, ⊂ F , ⋂ p ∈ N F p = { 0 } , y = 0 \bigcap_{p \in \mathbf{N}} F_p = \{0\}, y = 0 ⋂ p ∈ N F p = { 0 } , y = 0 x = 0 x = 0 x = 0
8. 相关分级模同态的提升
(i) 假设过滤( X n ) (X_n) ( X n ) g r ( u ) \mathrm{gr}(u) gr ( u ) u ˉ − 1 ( Y n ) = X n \bar{u}^{-1}(Y_n) = X_n u ˉ − 1 ( Y n ) = X n n ∈ Z n \in \mathbf{Z} n ∈ Z
(ii) 假设以下假设之一成立： (α) X 完备且 Y Hausdorff； (β) Y 是离散的。那么，要使 g r ( u ) \mathrm{gr}(u) gr ( u ) Y n = u ( X n ) Y_n = u(X_n) Y n = u ( X n ) n ∈ Z n \in \mathbf{Z} n ∈ Z
(i) 说映射 g r n ( u ) \mathrm{gr}_n(u) gr n ( u )
X n ∩ u ˉ − 1 ( Y n + 1 ) ⊂ X n + 1 .
X_n \cap \bar{u}^{-1}(Y_{n+1}) \subset X_{n+1}.
X n ∩ u ˉ − 1 ( Y n + 1 ) ⊂ X n + 1 . 如果
( Y n + 1 ) = X n + 1 (Y_{n+1}) = X_{n+1} ( Y n + 1 ) = X n + 1 ，显然就是这种情况。相反，如果
X n ∩ u ˉ − 1 ( Y n + 1 ) ⊂ X n + 1
X_n \cap \bar{u}^{-1}(Y_{n+1}) \subset X_{n+1}
X n ∩ u ˉ − 1 ( Y n + 1 ) ⊂ X n + 1 对于所有
n n n ，我们通过归纳在
k k k 上推断出
X n − k ∩ u ˉ − 1 ( Y n + 1 ) ⊂ X n + 1 X_{n-k} \cap \bar{u}^{-1}(Y_{n+1}) \subset X_{n+1} X n − k ∩ u ˉ − 1 ( Y n + 1 ) ⊂ X n + 1 对于所有
n ∈ Z n \in \mathbf{Z} n ∈ Z 和所有
k ≥ 0 k \geq 0 k ≥ 0 。由于过滤
( X n ) (X_n) ( X n ) 是详尽的，我们看到，对于所有
n n n ，
X n X_n X n 是
X n − k X_{n-k} X n − k （
k ≥ 0 k \geq 0 k ≥ 0 ）的并，因此对于所有
n n n 来说
u ˉ − 1 ( Y n + 1 ) ⊂ X n + 1 \bar{u}^{-1}(Y_{n+1}) \subset X_{n+1} u ˉ − 1 ( Y n + 1 ) ⊂ X n + 1 ，因此
X n + 1 ⊂ u ˉ − 1 ( Y n + 1 ) X_{n+1} \subset \bar{u}^{-1}(Y_{n+1}) X n + 1 ⊂ u ˉ − 1 ( Y n + 1 ) ，完成证明。
(ii) 说映射 g r n ( u ) \mathrm{gr}_n(u) gr n ( u )
Y n = u ( X n ) Y n + 1 .
Y_n = u(X_n)Y_{n+1}.
Y n = u ( X n ) Y n + 1 . 如果
Y n = u ( X n ) Y n + 1 Y_n = u(X_n)Y_{n+1} Y n = u ( X n ) Y n + 1 对于所有
n ∈ Z n \in \mathbf{Z} n ∈ Z ，显然就是这种情况。设
n n n 为整数且
y y y 元素为
Y n Y_n Y n ；我们将对
X n X_n X n 的定义序列
( x k ) k ≥ 0 (x_k)_{k \geq 0} ( x k ) k ≥ 0 进行元素的
x k ∈ X n x_k \in X_n x k ∈ X n 、
x k + 1 ≡ x k ( m o d X n + k ) x_{k+1} \equiv x_k \pmod{X_{n+k}} x k + 1 ≡ x k ( mod X n + k ) 和
u ( x k ) ≡ y ( m o d Y n + k ) u(x_k) \equiv y \pmod{Y_{n+k}} u ( x k ) ≡ y ( mod Y n + k ) 对于所有
k ≥ 0 k \geq 0 k ≥ 0 。我们取
x 0 x_0 x 0 等于X的单位元素，这肯定会给出
u ( x 0 ) ≡ y ( m o d Y n ) u(x_0) \equiv y \pmod{Y_n} u ( x 0 ) ≡ y ( mod Y n ) 。假设已构造
x k ∈ X n x_k \in X_n x k ∈ X n 使得
u ( x k ) ≡ y ( m o d Y n + k ) u(x_k) \equiv y \pmod{Y_{n+k}} u ( x k ) ≡ y ( mod Y n + k ) ；然后
( u ( x k ) ) − 1 y ∈ Y n + k (u(x_k))^{-1}y \in Y_{n+k} ( u ( x k ) ) − 1 y ∈ Y n + k ； 假设意味着存在
t ∈ X n + k t \in X_{n+k} t ∈ X n + k 使得
u ( t ) ≡ ( u ( x k ) ) − 1 y ( m o d Y n + k + 1 ) u(t) \equiv (u(x_k))^{-1}y \pmod{Y_{n+k+1}} u ( t ) ≡ ( u ( x k ) ) − 1 y ( mod Y n + k + 1 ) 因此存在
u ( x k t ) ≡ y ( m o d Y n + k + 1 ) u(x_k t) \equiv y \pmod{Y_{n+k+1}} u ( x k t ) ≡ y ( mod Y n + k + 1 ) ；执行归纳需要
x k + 1 = x k t x_{k+1} = x_k t x k + 1 = x k t 就足够了。因此，如果 Y 是离散的，则存在
k ≥ 0 k \geq 0 k ≥ 0 使得
Y n + k = { e ′ } Y_{n+k} = \{e'\} Y n + k = { e ′ } （Y 的单位元素）、从而
u ( x k ) = y u(x_k) = y u ( x k ) = y ，因此在这种情况下，已经证明对于所有
n n n 都有
u ( X n ) = Y u(X_n) = Y u ( X n ) = Y 。现在假设 X 是完备的且 Y Hausdorff。由于
x h − 1 x k ∈ X n + k x_h^{-1} x_k \in X_{n+k} x h − 1 x k ∈ X n + k 对于
h ≥ k ≥ 0 h \geq k \geq 0 h ≥ k ≥ 0 来说，
( x k ) (x_k) ( x k ) 是
X n X_n X n 中的柯西序列；作为
X_n 在 X 中闭合，因此是完备的，这个序列在 X_n 中至少有一个极限 x。由于u的连续性，u(x)是Y中序列(u(x_k))唯一的极限，Y为Hausdorff。但关系 u(x_k) \equiv y (\text{mod. } Y_{n+k+1}) 表明y 也是这个序列、从而 u ( x ) = y u(x) = y u ( x ) = y u ( X n ) = Y n u(X_n) = Y_n u ( X n ) = Y n
令 e、e' 分别为 X 和 Y 的单位元素。然后
u ˉ − 1 ( e ′ ) ⊂ ⋂ n u ˉ − 1 ( Y n ) = ⋂ n X n = { e }
\bar{u}^{-1}(e') \subset \bigcap_n \bar{u}^{-1}(Y_n) = \bigcap_n X_n = \{e\}
u ˉ − 1 ( e ′ ) ⊂ n ⋂ u ˉ − 1 ( Y n ) = n ⋂ X n = { e } 由假设，从而推论。
假设以下假设之一成立：* ( α ) (\alpha) ( α ) X 完整，Y 为 Hausdorff，其过滤是详尽的； ( β ) (\beta) ( β ) Y 是离散的，其过滤是详尽的。 *那么，如果 gr(u) 是满射，则 u 是满射。
被以下引用 2 被以下引用 命题 10 , 命题 12
在这种情况下Y = ⋃ n Y n = ⋃ n u ( X n ) ⊂ u ( X ) Y = \bigcup_n Y_n = \bigcup_n u(X_n) \subset u(X) Y = ⋃ n Y n = ⋃ n u ( X n ) ⊂ u ( X )
假设X和Y是Hausdorff，X和Y的过滤是穷举的，X是完整的。那么，如果 gr(u) 是双射的，则 u 也是双射的。
引用了 1 引用了 例 3
设A为局部环，m为最大理想，M为A-模；令 A 和 M 被赋予 m-adic 过滤，并令 gr(A) 和 gr(M) 为分级环以及与 A 和 M 相关的分级 gr(A) 模块。我们已经看到 (no. 3, 例 3) 典范映射 (11) 始终是*满射*；我们将考虑 M 的以下性质： （GR） 典范映射
γ M : gr ( A ) ⊗ gr 0 ( A ) gr 0 ( M ) → gr ( M )
\gamma_M : \operatorname{gr}(A) \otimes_{\operatorname{gr}_0(A)} \operatorname{gr}_0(M) \to \operatorname{gr}(M)
γ M : gr ( A ) ⊗ gr 0 ( A ) gr 0 ( M ) → gr ( M ) 是双射的 。
设 A 为局部环，m 为其最大理想值，M、N 为两个 A-模，u : N \to M 为 A 同态。 M 和 N 被赋予 m-adic 过滤并假设： (1) M 满足性质 (GR)； (2) \operatorname{gr}_0(u) : \operatorname{gr}_0(N) \to \operatorname{gr}_0(M) 是单射的。那么 \operatorname{gr}(u) : \operatorname{gr}(N) \to \operatorname{gr}(M) 是单射的，N 和 P = \operatorname{Coker}(u) 满足性质 (GR) 和 m n N = u ˉ − 1 ( m n M ) m^n N = \bar{u}^{-1}(m^n M) m n N = u ˉ − 1 ( m n M ) n > 0 n > 0 n > 0
引用了 3 · 被以下引用 1 引用了 定理 1 , 推论 2, I § 1 , 命题 2
被以下引用 推论
立即验证图表
gr ( A ) ⊗ gr 0 ( A ) gr 0 ( N ) → 1 ⊗ gr 0 ( u ) gr ( A ) ⊗ gr 0 ( A ) gr 0 ( M ) ↓ γ N ↓ γ M gr ( N ) → gr ( u ) gr ( M )
\begin{array}{ccc}
\operatorname{gr}(A) \otimes_{\operatorname{gr}_0(A)} \operatorname{gr}_0(N) & \xrightarrow{1 \otimes \operatorname{gr}_0(u)} & \operatorname{gr}(A) \otimes_{\operatorname{gr}_0(A)} \operatorname{gr}_0(M) \\
\downarrow \gamma_N & & \downarrow \gamma_M \\
\operatorname{gr}(N) & \xrightarrow{\operatorname{gr}(u)} & \operatorname{gr}(M)
\end{array}
gr ( A ) ⊗ gr 0 ( A ) gr 0 ( N ) ↓ γ N gr ( N ) 1 ⊗ gr 0 ( u ) gr ( u ) gr ( A ) ⊗ gr 0 ( A ) gr 0 ( M ) ↓ γ M gr ( M ) 是可交换的。由于g r 0 ( A ) = A / m \mathrm{gr}_0(A) = A/m gr 0 ( A ) = A / m 1 ⊗ g r 0 ( u ) 1 \otimes \mathrm{gr}_0(u) 1 ⊗ gr 0 ( u ) γ M \gamma_M γ M γ M ∘ ( 1 ⊗ g r 0 ( u ) ) \gamma_M \circ (1 \otimes \mathrm{gr}_0(u)) γ M ∘ ( 1 ⊗ gr 0 ( u )) γ N \gamma_N γ N g r ( u ) \mathrm{gr}(u) gr ( u ) u ~ 1 ( m n M ) = m n N \tilde{u}^1(m^nM) = m^nN u ~ 1 ( m n M ) = m n N
另外，让我们写 N ′ = u ( N ) N' = u(N) N ′ = u ( N ) j : N ′ → M j : N' \to M j : N ′ → M p : M → P = M / N ′ p : M \to P = M/N' p : M → P = M / N ′
g r ( A ) ⊗ g r 0 ( N ′ ) → 1 ⊗ g r 0 ( j ) g r ( A ) ⊗ g r 0 ( M ) → 1 ⊗ g r 0 ( p ) g r ( A ) ⊗ g r 0 ( P ) → 0 ↓ γ N ′ ↓ γ M ↓ γ P g r ( N ′ ) → g r ( j ) g r ( M ) → g r ( p ) g r ( P ) → 0
\begin{array}{ccccccccc}
\mathrm{gr}(A) \otimes \mathrm{gr}_0(N') & \xrightarrow{1 \otimes \mathrm{gr}_0(j)} & \mathrm{gr}(A) \otimes \mathrm{gr}_0(M) & \xrightarrow{1 \otimes \mathrm{gr}_0(p)} & \mathrm{gr}(A) \otimes \mathrm{gr}_0(P) & \to & 0 \\
\downarrow \gamma_{N'} & & \downarrow \gamma_M & & \downarrow \gamma_P & & \\
\mathrm{gr}(N') & \xrightarrow{\mathrm{gr}(j)} & \mathrm{gr}(M) & \xrightarrow{\mathrm{gr}(p)} & \mathrm{gr}(P) & \to & 0
\end{array}
gr ( A ) ⊗ gr 0 ( N ′ ) ↓ γ N ′ gr ( N ′ ) 1 ⊗ gr 0 ( j ) gr ( j ) gr ( A ) ⊗ gr 0 ( M ) ↓ γ M gr ( M ) 1 ⊗ gr 0 ( p ) gr ( p ) gr ( A ) ⊗ gr 0 ( P ) ↓ γ P gr ( P ) → → 0 0 下排是精确的（no. 4，命题 2），上排也是如此，因为no. 4的命题 2以及g r 0 ( A ) \mathrm{gr}_0(A) gr 0 ( A ) g r ( j ) \mathrm{gr}(j) gr ( j ) g r 0 ( j ) \mathrm{gr}_0(j) gr 0 ( j ) j j j γ N ′ \gamma_{N'} γ N ′ γ M \gamma_M γ M γ P \gamma_P γ P
这是因为 g r ( u ) \mathrm{gr}(u) gr ( u )
\* 注。假设命题 9 的假设成立，并且以下条件之一也成立： (1) m m m A A A P P P P P P A A A γ P \gamma_P γ P A / m A/m A / m
9. 相关分级模元素家庭的提升
令A A A ( A n ) n ∈ Z (A_n)_{n \in \mathbf{Z}} ( A n ) n ∈ Z C C C A A A C ∩ A 1 = { 0 } C \cap A_1 = \{0\} C ∩ A 1 = { 0 } A 0 → A 0 / A 1 = g r 0 ( A ) A_0 \to A_0/A_1 = \mathrm{gr}_0(A) A 0 → A 0 / A 1 = gr 0 ( A ) C C C g r 0 ( A ) \mathrm{gr}_0(A) gr 0 ( A ) C C C A 1 ≠ A A_1 \neq A A 1 = A K K K A A A K ∩ A 1 = ( 0 ) K \cap A_1 = (0) K ∩ A 1 = ( 0 ) K ∩ A 1 K \cap A_1 K ∩ A 1 K K K K K K g r 0 ( A ) \mathrm{gr}_0(A) gr 0 ( A )
设A A A ( A n ) (A_n) ( A n ) A 0 A_0 A 0 C C C C ∩ A n = { 0 } C \cap A_n = \{0\} C ∩ A n = { 0 } C C C g r 0 ( A ) \mathrm{gr}_0(A) gr 0 ( A ) ( x i ) 1 ≤ i ≤ q (x_i)_{1 \leq i \leq q} ( x i ) 1 ≤ i ≤ q A A A x i ∈ A n x_i \in A_n x i ∈ A n 1 ≤ i ≤ q 1 \leq i \leq q 1 ≤ i ≤ q ξ i \xi_i ξ i 1 ≤ i ≤ q 1 \leq i \leq q 1 ≤ i ≤ q g r n i ( A ) \mathrm{gr}_{n_i}(A) gr n i ( A ) x i x_i x i
引用了 2 · 被以下引用 1 引用了 推论 1 , 推论 2
被以下引用 命题 11
(i) 如果g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) ( ξ i ) (\xi_i) ( ξ i ) C C C ( x i ) (x_i) ( x i ) C C C
(ii) 如果A A A ( ξ i ) (\xi_i) ( ξ i ) C C C g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) ( x i ) (x_i) ( x i ) C C C A A A
令A ′ A' A ′ C [ X 1 , … , X q ] \mathbf{C}[X_1, \ldots, X_q] C [ X 1 , … , X q ] C \mathbf{C} C A ′ A' A ′ Z \mathbf{Z} Z ( A n ′ ) (A'_n) ( A n ′ ) A n A_n A n C \mathbf{C} C X 1 s ( 1 ) … X q s ( q ) X_1^{s(1)} \ldots X_q^{s(q)} X 1 s ( 1 ) … X q s ( q ) ∑ i = 1 q n i s ( i ) = n \sum_{i=1}^q n_i s(i) = n ∑ i = 1 q n i s ( i ) = n u u u f ↦ f ( x 1 , … , x q ) f \mapsto f(x_1, \ldots, x_q) f ↦ f ( x 1 , … , x q ) C \mathbf{C} C A ′ A' A ′ C \mathbf{C} C A A A u ( A n ′ ) ⊂ A n u(A'_n) \subset A_n u ( A n ′ ) ⊂ A n n ∈ Z n \in \mathbf{Z} n ∈ Z u u u ( A ′ ) (A') ( A ′ )
g r ( u ) : A ′ = g r ( A ′ ) → g r ( A )
\mathrm{gr}(u): A' = \mathrm{gr}(A') \to \mathrm{gr}(A)
gr ( u ) : A ′ = gr ( A ′ ) → gr ( A ) 是单射的；由于A ′ A' A ′ u u u g r ( u ) \mathrm{gr}(u) gr ( u ) A A A u u u
令 A A A A 0 A_0 A 0 C C C C ∩ A n = 0 C \cap A_n = 0 C ∩ A n = 0 ( x i ) 1 ≤ i ≤ q (x_i)_{1 \leq i \leq q} ( x i ) 1 ≤ i ≤ q A A A x i ∈ A n i x_i \in A_{n_i} x i ∈ A n i n i > 0 n_i > 0 n i > 0 1 ≤ i ≤ q 1 \leq i \leq q 1 ≤ i ≤ q 1 ≤ i ≤ q 1 \leq i \leq q 1 ≤ i ≤ q ξ i \xi_i ξ i g r n i ( A ) \mathrm{gr}_{n_i}(A) gr n i ( A ) x i x_i x i
引用了 4 · 被以下引用 3 引用了 推论 , 命题 10 , 定理 1 , 命题 5, TG III § 3
被以下引用 命题 18 , 命题 6, III § 4 , 推论, VII § 3
(i) 从形式幂级数A ′ ′ = C [ [ X 1 , … , X q ] ] A'' = \mathbf{C}[[X_1, \ldots, X_q]] A ′′ = C [[ X 1 , … , X q ]] A A A C C C v v v v ( X i ) = x i v(X_i) = x_i v ( X i ) = x i 1 ≤ i ≤ q 1 \leq i \leq q 1 ≤ i ≤ q
(ii) 如果族 ( ξ i ) (\xi_i) ( ξ i ) C C C v v v
(iii) 如果对 A A A ( ξ i ) (\xi_i) ( ξ i ) C C C g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) v v v
对于所有i i i n i ≥ 1 n_i \geq 1 n i ≥ 1 X 1 s ( 1 ) … X q s ( q ) X_1^{s(1)} \ldots X_q^{s(q)} X 1 s ( 1 ) … X q s ( q ) ∑ i = 1 q n i s ( i ) ≥ ∑ i = 1 q s ( i ) \sum_{i=1}^q n_i s(i) \geq \sum_{i=1}^q s(i) ∑ i = 1 q n i s ( i ) ≥ ∑ i = 1 q s ( i ) r r r n i n_i n i ∑ i = 1 q n i s ( i ) ≤ r ⋅ ∑ i = 1 q s ( i ) \sum_{i=1}^q n_i s(i) \leq r \cdot \sum_{i=1}^q s(i) ∑ i = 1 q n i s ( i ) ≤ r ⋅ ∑ i = 1 q s ( i ) A n ′ ′ A''_n A n ′′ a s X 1 s ( 1 ) … X q s ( q ) a_s X_1^{s(1)} \ldots X_q^{s(q)} a s X 1 s ( 1 ) … X q s ( q ) ∑ i = 1 q n i s ( i ) ≥ n \sum_{i=1}^q n_i s(i) \geq n ∑ i = 1 q n i s ( i ) ≥ n A ′ ′ A'' A ′′ ( A n ′ ′ ) (A''_n) ( A n ′′ )
A ′ = C [ X 1 , … , X q ]
A' = \mathbf{C}[X_1, \ldots, X_q]
A ′ = C [ X 1 , … , X q ] A ′ ′ A'' A ′′ u u u A ′ A' A ′ v : A → A v : A \to A v : A → A A A A g r ( A ′ ′ ) = g r ( A ′ ) \mathrm{gr}(A'') = \mathrm{gr}(A') gr ( A ′′ ) = gr ( A ′ ) g r ( v ) = g r ( u ) \mathrm{gr}(v) = \mathrm{gr}(u) gr ( v ) = gr ( u ) A A A
命题 (ii) (或 (iii)) 的结论是有时，由说表达，家庭( x i ) (x_i) ( x i ) C C C A A A
令A A A E E E A A A ( A n ) (A_n) ( A n ) ( E n ) (E_n) ( E n ) A A A E E E A A A ( E n ) (E_n) ( E n ) ( x i ) i ∈ I (x_i)_{i \in I} ( x i ) i ∈ I E E E i ∈ I i \in I i ∈ I n ( i ) n(i) n ( i ) x i ∈ E n ( i ) x_i \in E_{n(i)} x i ∈ E n ( i ) ξ i \xi_i ξ i g r n ( i ) ( E ) \mathrm{gr}_{n(i)}(E) gr n ( i ) ( E ) x i x_i x i ( ξ i ) (\xi_i) ( ξ i ) g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) g r ( E ) \mathrm{gr}(E) gr ( E ) ( x i ) (x_i) ( x i ) A A A E E E
引用了 1 · 被以下引用 5 引用了 推论 2
被以下引用 推论 1 , 推论 3 , 推出 5 , 推出 6 , 命题 3, III § 3
在A A A L = A ′ L = A' L = A ′ L 0 L_0 L 0 ( a i ) (a_i) ( a i ) a i ∈ A n − n ( i ) a_i \in A_{n - n(i)} a i ∈ A n − n ( i ) i ∈ I i \in I i ∈ I p p p q q q n ( i ) n(i) n ( i ) ( L n ) (L_n) ( L n ) L L L A n − q I ⊃ L 0 ⊃ A n − p I A^I_{n-q} \supset L_0 \supset A^I_{n-p} A n − q I ⊃ L 0 ⊃ A n − p I L L L A A A L L L A A A u : L → E u : L \to E u : L → E u ( ( a i ) ) = ∑ i ∈ I a i x i u((a_i)) = \sum_{i \in I} a_i x_i u (( a i )) = ∑ i ∈ I a i x i u u u
g r ( u ) : g r ( L ) → g r ( E )
\mathrm{gr}(u) : \mathrm{gr}(L) \to \mathrm{gr}(E)
gr ( u ) : gr ( L ) → gr ( E ) 是满射的，或者对于所有x ∈ E n x \in E_n x ∈ E n ( a i ) (a_i) ( a i ) a i ∈ A n − n ( i ) a_i \in A_{n-n(i)} a i ∈ A n − n ( i ) i ∈ I i \in I i ∈ I x ≡ ∑ i ∈ I a i x i ( m o d E n + 1 ) x \equiv \sum_{i \in I} a_i x_i \pmod{E_{n+1}} x ≡ ∑ i ∈ I a i x i ( mod E n + 1 ) ξ \xi ξ g r n ( E ) \mathrm{gr}_n(E) gr n ( E ) x x x ξ i \xi_i ξ i g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) g r ( E ) \mathrm{gr}(E) gr ( E ) α i ∈ g r ( A ) \alpha_i \in \mathrm{gr}(A) α i ∈ gr ( A ) ξ = ∑ i ∈ I α i ξ i \xi = \sum_{i \in I} \alpha_i \xi_i ξ = ∑ i ∈ I α i ξ i α i ∈ g r n − n ( i ) ( A ) \alpha_i \in \mathrm{gr}_{n-n(i)}(A) α i ∈ gr n − n ( i ) ( A ) α i \alpha_i α i n − n ( i ) n - n(i) n − n ( i ) α i \alpha_i α i a i ∈ A n − n ( i ) a_i \in A_{n-n(i)} a i ∈ A n − n ( i ) ( a i ) (a_i) ( a i )
令A A A E E E A A A g r ( E ) \mathrm{gr}(E) gr ( E ) g r ( A ) \mathrm{gr}(A) gr ( A ) E E E A A A
引用了 2 · 被以下引用 4 引用了 命题 12 , 命题 2
被以下引用 习题 9, § 2 , 引理 1 , 推论 2 , 推论, VII § 3
如果 g r ( E ) \mathrm{gr}(E) gr ( E ) E E E g r ( E ) \mathrm{gr}(E) gr ( E ) F F F E E E E E E F F F g r ( F ) \mathrm{gr}(F) gr ( F )
设 A 是一个完整的豪斯多夫过滤环，其过滤是详尽的。如果 gr(A) 是左诺特环，则 A 也是。
引用了 1 · 被以下引用 2 引用了 推论 1
被以下引用 推出 5 , 推出 6
设 A 为完全过滤的环，(A_n) 为它的过滤，E 为 Hausdorff 过滤的 A-模，(E_n) 为它的过滤，F 为 E 的有限生成的子模；假设 A_∞ = A 且 E_0 = E。
引用了 1 · 被以下引用 3 引用了 命题 12
被以下引用 命题 14 , 推论 1 , 推论 2, VI § 8
(i) 如果对于所有 k ≥ 0，E_k = E_{k+1} + A_k F，则 F = E。 (ii) 如果进一步假设 E 上的过滤源自 A 上的过滤 (no. 1, 例 2)，关系 E = E_1 + F 意味着 F = E。
令 xi_i (1 ≤ i ≤ n) 为类 mod。 F 的生成元的有限系统的 E_1。根据给定的假设，对于所有 k ≥ 0，gr_k(E) 的每个元素都可以用形式 ∑ i = 1 n α i ξ i \sum_{i=1}^n \alpha_i \xi_i ∑ i = 1 n α i ξ i α i ∈ g r ( A ) \alpha_i \in \mathrm{gr}(A) α i ∈ gr ( A ) ξ i \xi_i ξ i
E k = A k E = A k E 1 + A k F = A k A 1 E + A k F ⊂ A k + 1 E + A k F = E k + 1 + A k F ⊂ E k ,
E_k = A_k E = A_k E_1 + A_k F = A_k A_1 E + A_k F \subset A_{k+1} E + A_k F \\
= E_{k+1} + A_k F \subset E_k,
E k = A k E = A k E 1 + A k F = A k A 1 E + A k F ⊂ A k + 1 E + A k F = E k + 1 + A k F ⊂ E k , 从而（二）。
设A为环，m是A的双面理想，包含在A和E的雅各布森根中A-模。让 A 和 E 接受 m 进过滤 (no. 1, 例 3)。假设以下条件之一成立： (a) E 为有限生成A-模，A 为豪斯多夫； (b) m 是幂零的。
引用了 5 · 被以下引用 2 引用了 例 3 , 命题 7, III § 1 , A II § 3. 。 张量积 , 推论 1, II § 3 , 推论 1
被以下引用 习题 9, § 2 , 推论, VII § 3
对于 E 为自由A-模，E/mE 是自由 (A/m) 模且 E 满足性质 (GR) (no. 8) 是必要且充分的。
如果E是E的自由A-模和( e λ ) (e_\lambda) ( e λ ) k > 0 k > 0 k > 0 m k E m^k E m k E m k e λ m^k e_\lambda m k e λ m k E / m k + 1 E m^k E / m^{k+1} E m k E / m k + 1 E m k e λ / m k + 1 e λ m^k e_\lambda / m^{k+1} e_\lambda m k e λ / m k + 1 e λ k = 0 k = 0 k = 0 E / m E E / mE E / m E E / m E = ( A / m ) ⊗ A E E / mE = (A / m) \otimes_A E E / m E = ( A / m ) ⊗ A E e λ e_\lambda e λ 1 ⊗ e λ 1 \otimes e_\lambda 1 ⊗ e λ
( m k / m k + 1 ) ⊗ A ( E / m E ) → m k E / m k + 1 E
(m^k / m^{k+1}) \otimes_A (E / mE) \to m^k E / m^{k+1} E
( m k / m k + 1 ) ⊗ A ( E / m E ) → m k E / m k + 1 E 对于所有 k ≥ 0 k \geq 0 k ≥ 0 γ E \gamma_E γ E
相反，假设叙述的条件成立，并令( x i ) i ∈ I (x_i)_{i \in I} ( x i ) i ∈ I ( A / m ) (A/m) ( A / m ) E / m E E/mE E / m E m E mE m E A s ( I ) A_s^{(I)} A s ( I ) ( f i ) i ∈ I (f_i)_{i \in I} ( f i ) i ∈ I u : L → E u : L \to E u : L → E u ( f i ) = x i u(f_i) = x_i u ( f i ) = x i i ∈ I i \in I i ∈ I u u u u u u m k L = ( m k ) ( I ) m^kL = (m^k)^{(I)} m k L = ( m k ) ( I ) gr ( L ) \operatorname{gr}(L) gr ( L ) gr ( A ) ⊗ A / m ( L / m L ) \operatorname{gr}(A) \otimes_{A/m} (L/mL) gr ( A ) ⊗ A / m ( L / m L ) u u u gr ( u ) = γ E ∘ v \operatorname{gr}(u) = \gamma_E \circ v gr ( u ) = γ E ∘ v v v v gr ( L ) \operatorname{gr}(L) gr ( L )
gr ( A ) ⊗ A / m ( E / m E )
\operatorname{gr}(A) \otimes_{A/m} (E/mE)
gr ( A ) ⊗ A / m ( E / m E ) 映射类关闭，模组。 mM 到
1 ⊗ x ˉ i 1 \otimes \bar{x}_i 1 ⊗ x ˉ i ，其中
x ˉ i \bar{x}_i x ˉ i 是
x i x_i x i mod 的类。
m E mE m E 。那么假设意味着
gr ( u ) \operatorname{gr}(u) gr ( u ) 是单射的，并且借助推论1到定理1、no. 8得出结论。
10. 应用：例诺特环
令 A 为型 Z \mathbf{Z} Z ( A n ) (A_n) ( A n ) n < 0 n < 0 n < 0 A n = 0 A_n = 0 A n = 0 n > 0 n > 0 n > 0 A n = 0 A_n = 0 A n = 0 Z \mathbf{Z} Z
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 推论 1
被以下引用 定理 2
由于n ↦ − n n \mapsto -n n ↦ − n Z \mathbf{Z} Z n > 0 n > 0 n > 0 A n = 0 A_n = 0 A n = 0 gr ( E ′ ) \operatorname{gr}(E') gr ( E ′ ) M = gr ( M ′ ) M = \operatorname{gr}(M') M = gr ( M ′ )
令A为型N \mathbf{N} N N \mathbf{N} N ( A n ) (A_n) ( A n ) ( M n ) (M_n) ( M n ) a ∈ A 0 a \in A_0 a ∈ A 0 n > 0 n > 0 n > 0 A n = A 0 a n A_n = A_0 a^n A n = A 0 a n M n = a n M 0 M_n = a^n M_0 M n = a n M 0 A 0 A_0 A 0
引用了 2 · 被以下引用 2 引用了 引理 1 , 习题 10, § 2
被以下引用 定义 3 , 推论 2
凭借引理 1 足以证明 M 的每个分级子模 N 都是有限生成的。对于所有r ≥ 0 r \geq 0 r ≥ 0 N r = N ∩ M r N_r = N \cap M_r N r = N ∩ M r m ∈ M 0 m \in M_0 m ∈ M 0 a r m ∈ N r a^r m \in N_r a r m ∈ N r
a r A 0 ⊂ A r = A 0 a r , a r A 0 L r ⊂ A 0 a r L r ⊂ A 0 N r ⊂ N r
a^r A_0 \subset A_r = A_0 a^r, \quad a^r A_0 L_r \subset A_0 a^r L_r \subset A_0 N_r \subset N_r
a r A 0 ⊂ A r = A 0 a r , a r A 0 L r ⊂ A 0 a r L r ⊂ A 0 N r ⊂ N r 因此 L, 是 M, 的子 A, 模块；此外，
a N r ⊂ N ∩ a M r = N ∩ M r + 1 = N r + 1
aN_r \subset N \cap aM_r = N \cap M_{r+1} = N_{r+1}
a N r ⊂ N ∩ a M r = N ∩ M r + 1 = N r + 1 因此序列( L r ) r ≥ 0 (L_r)_{r \geq 0} ( L r ) r ≥ 0 n ≥ 0 n \geq 0 n ≥ 0 L r = L n L_r = L_n L r = L n r ≥ n r \geq n r ≥ n r ≤ n r \leq n r ≤ n ( m r , s ) 1 ≤ s ≤ k r (m_{r,s})_{1 \leq s \leq k_r} ( m r , s ) 1 ≤ s ≤ k r L r L_r L r 1 ≤ s ≤ k r 1 \leq s \leq k_r 1 ≤ s ≤ k r a r m r , s a^r m_{r,s} a r m r , s 0 ≤ r ≤ n 0 \leq r \leq n 0 ≤ r ≤ n r r r M r = a r M 0 M_r = a^r M_0 M r = a r M 0 N r = a r L r N_r = a^r L_r N r = a r L r r r r L r L_r L r r ≤ n r \leq n r ≤ n
N r = a r L r = ∑ s = 1 k r a r A 0 m r , s ⊂ ∑ s = 1 k r A 0 a r m r s ,
N_r = a^r L_r = \sum_{s=1}^{k_r} a^r A_0 m_{r,s} \subset \sum_{s=1}^{k_r} A_0 a^r m_{rs},
N r = a r L r = s = 1 ∑ k r a r A 0 m r , s ⊂ s = 1 ∑ k r A 0 a r m r s , 并且，对于r > n r > n r > n
N r = a r L n = ∑ s = 1 k n a r A 0 m n , s ⊂ ∑ s = 1 k n A 0 a r m n , s ⊂ ∑ s = 1 k n A 0 a r − n ⋅ ( a n m n , s )
N_r = a^r L_n = \sum_{s=1}^{k_n} a^r A_0 m_{n,s} \subset \sum_{s=1}^{k_n} A_0 a^r m_{n,s} \subset \sum_{s=1}^{k_n} A_0 a^{r-n} \cdot (a^n m_{n,s})
N r = a r L n = s = 1 ∑ k n a r A 0 m n , s ⊂ s = 1 ∑ k n A 0 a r m n , s ⊂ s = 1 ∑ k n A 0 a r − n ⋅ ( a n m n , s ) 完成证明 (cf. 习题 10)。
推出 1（希尔伯特定理） 04EI
对于每个交换律诺特环 C、多项式环 C[X] 都是诺特* (cf. 习题 10)。
引用了 1 · 被以下引用 1 引用了 习题 10, § 2
被以下引用 推出 2
这样的代数同构于多项式代数 C[X_1, ..., X_n] (§ 1, no. 1) 的商。
设 A 为型 N \mathbf{N} N ( A n ) (A_n) ( A n ) A n A_n A n
引用了 2 · 被以下引用 2 引用了 推论, III § 1 , 推出 3
被以下引用 习题 1, § 1 , 习题 5, § 2
根据推论3，条件是充分的。反之，假设A是诺特； m = ∑ n ≥ 1 A n m = \sum_{n \geq 1} A_n m = ∑ n ≥ 1 A n A / m A/m A / m A n A_n A n
gr(A) 是由 m / m 2 m/m^2 m / m 2 ( A / m ) (A/m) ( A / m )
对于每个可交换的诺特环 C 和每个整数 n > 0，形式幂级数 C [ [ X 1 , … , X n ] ] \mathbf{C}[[X_1, \ldots, X_n]] C [[ X 1 , … , X n ]]
引用了 6 引用了 推论 , 推出 5 , 例 4 , 命题 12 , 推论 2 , 推出 3
这是从推论 5 和 no. 6 得出的，推论到命题 6，因为如果 m 是形式幂级数的A = C [ [ X 1 , … , X n ] ] A = \mathbf{C}[[X_1, \ldots, X_n]] A = C [[ X 1 , … , X n ]] A / m A/m A / m m / m 2 m/m^2 m / m 2 C " \mathbf{C}" C "
注
(1) 如果 C 是交换域，则推论 2、3 和 6 特别适用。
\* (2) 设 g 在可交换的诺特环 C 上为李代数，并假设 g 是有限生成的 C 模。令 g 的包络代数 U 为 no. 3、例 4 中定义的递增过滤 ( U n ) (U_n) ( U n ) S ( g ) \mathscr{S}(g) S ( g )
11. 完整的 m-ADIC 环和逆极限
我们在no. 6中看到，如果A是交换环并且m是A的理想，使得A是Hausdorf并且与m进数拓扑完成，则拓扑环A A A A i = A / m i + 1 ( i ∈ N ) A_i = A/m^{i+1} \ (i \in \mathbf{N}) A i = A / m i + 1 ( i ∈ N )
h i j : A / m j + 1 → A / m i + 1 ( i ≤ j ) ;
h_{ij}: A/m^{j+1} \to A/m^{i+1} \quad (i \leq j);
h ij : A / m j + 1 → A / m i + 1 ( i ≤ j ) ; 注 h i j h_{ij} h ij n i j n_{ij} n ij
n i j = m i + 1 / m j + 1 = ( m / m j + 1 ) i + 1 =
n_{ij} = m^{i+1}/m^{j+1} = (m/m^{j+1})^{i+1} =
n ij = m i + 1 / m j + 1 = ( m / m j + 1 ) i + 1 = 特别是( n 0 j ) j + 1 = 0 (n_{0j})^{j+1} = 0 ( n 0 j ) j + 1 = 0
令( A i , h i j ) (A_i, h_{ij}) ( A i , h ij ) N \mathbf{N} N ( M i , u i j ) (M_i, u_{ij}) ( M i , u ij ) ( A i , h i j ) (A_i, h_{ij}) ( A i , h ij ) n j n_j n j h 0 j : A → A h_{0j}: A \to A h 0 j : A → A A = lim A i A = \lim A_i A = lim A i M = lim M i M = \lim M_i M = lim M i
引用了 3 · 被以下引用 4 引用了 推论, TG II § 3 , 推出 1, TG II § 3 , 推论 3
被以下引用 习题 12, § 2 , 习题 27, § 2 , 推论 1 , 习题 7, § 4
(a) 对于所有 i ∈ N i \in \mathbf{N} i ∈ N h i i h_{ii} h ii i ≤ j i \leq j i ≤ j h i j h_{ij} h ij u i j u_{ij} u ij i ≤ j i \leq j i ≤ j h i j h_{ij} h ij u i j u_{ij} u ij n j i + 1 n_j^{i+1} n j i + 1 n j i + 1 M j n_j^{i+1} M_j n j i + 1 M j
然后： (i) A A A M M M h i : A → A i h_i : A \to A_i h i : A → A i u i : M → M i u_i : M \to M_i u i : M → M i M 0 M_0 M 0 M M M
准确地说，M 的每个有限子集 S 使得 u 0 ( S ) u_0(S) u 0 ( S )
(i)中的断言遵循一般拓扑、章II, § 3, no. 5、命题10的推论以及定理1的推论1。
对于所有i ∈ N i \in \mathbf{N} i ∈ N m i + 1 = K e r ( h i ) , N i + 1 = K e r ( u i ) m_{i+1} = \mathrm{Ker}(h_i), N_{i+1} = \mathrm{Ker}(u_i) m i + 1 = Ker ( h i ) , N i + 1 = Ker ( u i )
m i + 1 = lim k ≥ 0 h i , t + k − 1 ( 0 ) = lim ← n i + 1 t + k
m_{i+1} = \lim_{k \geq 0} h_{i,t+k}^{-1}(0) = \lim_{\leftarrow} n_{i+1}^{t+k}
m i + 1 = k ≥ 0 lim h i , t + k − 1 ( 0 ) = ← lim n i + 1 t + k 和N i + 1 = lim ← n i + k t + 1 M i + k N_{i+1} = \lim_{\leftarrow} n_{i+k}^{t+1} M_{i+k} N i + 1 = lim ← n i + k t + 1 M i + k h i + k h_{i+k} h i + k u i + k u_{i+k} u i + k
h i + k ( m i + 1 ) = n i + k t + 1 , u i + k ( N i + 1 ) = n i + k t + 1 M i + k .
h_{i+k}(m_{i+1}) = n_{i+k}^{t+1}, \quad u_{i+k}(N_{i+1}) = n_{i+k}^{t+1} M_{i+k}.
h i + k ( m i + 1 ) = n i + k t + 1 , u i + k ( N i + 1 ) = n i + k t + 1 M i + k . 让我们证明m i N j ⊂ N i + j m_i N_j \subset N_{i+j} m i N j ⊂ N i + j i ≥ 1 i \geq 1 i ≥ 1 j ≥ 1 j \geq 1 j ≥ 1 u i + j − 1 ( m i N j ) = 0 u_{i+j-1}(m_i N_j) = 0 u i + j − 1 ( m i N j ) = 0
u i + j − 1 ( m i N j ) = h i + j − 1 ( m i ) u i + j − 1 ( N j )
u_{i+j-1}(m_i N_j) = h_{i+j-1}(m_i) u_{i+j-1}(N_j)
u i + j − 1 ( m i N j ) = h i + j − 1 ( m i ) u i + j − 1 ( N j ) 等于n i + j − 1 t ′ ( n i + j − 1 t ′ M i + j − 1 ) = 0 n_{i+j-1}^{t'}(n_{i+j-1}^{t'} M_{i+j-1}) = 0 n i + j − 1 t ′ ( n i + j − 1 t ′ M i + j − 1 ) = 0 k ≥ 0 k \geq 0 k ≥ 0 n k k + 1 n_k^{k+1} n k k + 1 h k k h_{kk} h k k m i m j ⊂ m i + j m_i m_j \subset m_{i+j} m i m j ⊂ m i + j i ≤ 0 i \leq 0 i ≤ 0 m i = A m_i = A m i = A N i = M N_i = M N i = M ( m i ) i ∈ Z (m_i)_{i \in \mathbf{Z}} ( m i ) i ∈ Z ( N i ) i ∈ Z (N_i)_{i \in \mathbf{Z}} ( N i ) i ∈ Z a a a h 1 ( a ) = n 1 h_1(a) = n_1 h 1 ( a ) = n 1 M ′ M' M ′
N i = a i M ′ + N i + 1 for i ≥ 0.
N_i = a^i M' + N_{i+1} \quad \text{for } i \geq 0.
N i = a i M ′ + N i + 1 for i ≥ 0. 让我们写a i = h i ( a ) , M i ′ = u i ( M ′ ) a_i = h_i(a), M'_i = u_i(M') a i = h i ( a ) , M i ′ = u i ( M ′ )
u i ( N i ) = a i i M i ′ .
u_i(N_i) = a_i^i M'_i.
u i ( N i ) = a i i M i ′ . 如果 i = 0 i = 0 i = 0 N 0 = M N_0 = M N 0 = M M 0 ′ = M M'_0 = M M 0 ′ = M i ≥ 1 i \geq 1 i ≥ 1 u i ( N i ) = n i i M i u_i(N_i) = n_i^i M_i u i ( N i ) = n i i M i h 1 i h_{1i} h 1 i h 0 i = h 01 ∘ h 1 i h_{0i} = h_{01} \circ h_{1i} h 0 i = h 01 ∘ h 1 i h i h_i h i h 1 i h_{1i} h 1 i n i n_i n i h 1 h_1 h 1 n 1 n_1 n 1 n i = h 1 i ( n 1 ) n_i = h_{1i}(n_1) n i = h 1 i ( n 1 )
h 1 i ( a i ) = h 1 ( a ) = n 1 = h 1 i ( n i )
h_{1i}(a_i) = h_1(a) = n_1 = h_{1i}(n_i)
h 1 i ( a i ) = h 1 ( a ) = n 1 = h 1 i ( n i ) 并且，由于h 1 i h_{1i} h 1 i n i 2 n_i^2 n i 2 n i ⊂ a i + n i 2 n_i \subset a_i + n_i^2 n i ⊂ a i + n i 2 a i ⊂ n i a_i \subset n_i a i ⊂ n i n i = a i + n i 2 n_i = a_i + n_i^2 n i = a i + n i 2 u 0 i ( M i ′ ) = u 0 ( M ′ ) = M , = u 0 i ( M i ) u_{0i}(M'_i) = u_0(M') = M, = u_{0i}(M_i) u 0 i ( M i ′ ) = u 0 ( M ′ ) = M , = u 0 i ( M i ) K e r ( u 0 i ) = n i M i \mathrm{Ker}(u_{0i}) = n_i M_i Ker ( u 0 i ) = n i M i M i = M i ′ + n i M i M_i = M'_i + n_i M_i M i = M i ′ + n i M i
n i i M i = ( a i + n i 2 ) i ( M i ′ + n i M i ) .
n_i^i M_i = (a_i + n_i^2)^i (M'_i + n_i M_i).
n i i M i = ( a i + n i 2 ) i ( M i ′ + n i M i ) . 现在，a i k n i i + 1 − k ⊂ n i i + 1 = 0 a_i^k n_i^{i+1-k} \subset n_i^{i+1} = 0 a i k n i i + 1 − k ⊂ n i i + 1 = 0 0 ≤ k ≤ i 0 \leq k \leq i 0 ≤ k ≤ i u i ( N i ) = n i M i = a i i M i ′ u_i(N_i) = n_i M_i = a_i^i M'_i u i ( N i ) = n i M i = a i i M i ′
此外m 1 = h 1 ( n 1 ) m_1 = h_1(n_1) m 1 = h 1 ( n 1 ) a ⊂ m 1 a \subset m_1 a ⊂ m 1 a i ⊂ m 1 i ⊂ m i a^i \subset m_1^i \subset m_i a i ⊂ m 1 i ⊂ m i
N i ⊂ m i M ′ + N i + 1 N_i \subset m_i M' + N_{i+1} N i ⊂ m i M ′ + N i + 1 m i M ⊂ N i m_i M \subset N_i m i M ⊂ N i i ≥ 0 i \geq 0 i ≥ 0 N i = m i M ′ + N i + 1 N_i = m_i M' + N_{i+1} N i = m i M ′ + N i + 1 M ′ = M M' = M M ′ = M
使用记号和命题14的假设，进一步假设M 0 M_0 M 0 A A A A A A n 1 n_1 n 1 m 1 m_1 m 1 h 1 h_1 h 1 A A A M M M m 1 m_1 m 1 h i h_i h i u i u_i u i i ≥ 0 i \geq 0 i ≥ 0 m 1 i + 1 m_1^{i+1} m 1 i + 1 m 1 i + 1 M m_1^{i+1} M m 1 i + 1 M m 1 / m 1 2 m_1 / m_1^2 m 1 / m 1 2 A A A
引用了 2 · 被以下引用 1 引用了 命题 14 , 推论 3
被以下引用 推论 2
我们保留命题 14 证明记号；这里的假设允许我们假设理想的 a a a i ≥ 0 i \geq 0 i ≥ 0 j ≥ 0 j \geq 0 j ≥ 0 N i + j = a j ( a i M ) + N i + j + 1 ⊂ m j ( a i M ) + N i + j + 1 N_{i+j} = a^j(a^i M) + N_{i+j+1} \subset m_j(a^i M) + N_{i+j+1} N i + j = a j ( a i M ) + N i + j + 1 ⊂ m j ( a i M ) + N i + j + 1 m j ( a i M ) ⊂ m j m i M ⊂ m i + j M ⊂ N i + j m_j(a^i M) \subset m_j m_i M \subset m_{i+j} M \subset N_{i+j} m j ( a i M ) ⊂ m j m i M ⊂ m i + j M ⊂ N i + j
N i + j = m j ( a i M ) + N i + j + 1 .
N_{i+j} = m_j(a^i M) + N_{i+j+1}.
N i + j = m j ( a i M ) + N i + j + 1 . 由于 a a a M M M A A A a i M a^i M a i M N i N_i N i N i j = N i N_{ij} = N_i N ij = N i ( N i j ) j ∈ Z (N_{ij})_{j \in \mathbf{Z}} ( N ij ) j ∈ Z j < 0 j < 0 j < 0 N i j = N i + j N_{ij} = N_{i+j} N ij = N i + j j ≥ 0 j \geq 0 j ≥ 0 N i = a i M N_i = a^i M N i = a i M N i ⊂ m 1 i M N_i \subset m_1^i M N i ⊂ m 1 i M m 1 i M ⊂ m i M ⊂ N i m_1^i M \subset m_i M \subset N_i m 1 i M ⊂ m i M ⊂ N i N i = m 1 i M N_i = m_1^i M N i = m 1 i M M = A M = A M = A u i j = h i j u_{ij} = h_{ij} u ij = h ij m i = m 1 i m_i = m_1^i m i = m 1 i m 1 = a + m 1 2 m_1 = a + m_1^2 m 1 = a + m 1 2
条件是必要的，因为 A A A A A A
12. 已过滤的模的 HAUSDOFF 完成
令G G G ( G n ) (G_n) ( G n ) G G G G G G G ^ \hat{G} G ^ G / G n G/G_n G / G n i : G → G ^ i : G \to \hat{G} i : G → G ^ lim ← G / G n \lim \leftarrow G/G_n lim ← G / G n G G G G ^ \hat{G} G ^ G G G { 0 } \{0\} { 0 } ⋂ G n \bigcap G_n ⋂ G n G n G_n G n G G G G ^ n \hat{G}_n G ^ n G ^ \hat{G} G ^ i ( G n ) i(G_n) i ( G n ) G G G G ^ \hat{G} G ^
G , = i − 1 ( G ^ n ) = i − 1 ( G ^ n ∩ i ( G ) ) .
G, = i^{-1}(\hat{G}_n) = i^{-1}(\hat{G}_n \cap i(G)).
G , = i − 1 ( G ^ n ) = i − 1 ( G ^ n ∩ i ( G )) . Moreover, the G ^ n \hat{G}_n G ^ n G ^ \hat{G} G ^ General Topology , Chapter 111, § 3, no. 4, Proposition 7) and are therefore normal open subgroups of G ^ \hat{G} G ^ G ^ \hat{G} G ^ ( G ^ n ) (\hat{G}_n) ( G ^ n ) i ( G ) i(G) i ( G ) G ^ \hat{G} G ^ G ^ n \hat{G}_n G ^ n
G ^ = i ( G ) ⋅ G ^ n
\hat{G} = i(G) \cdot \hat{G}_n
G ^ = i ( G ) ⋅ G ^ n 和类似地
= i ( G n − 1 ) ⋅ G ^ n .
= i(G_{n-1}) \cdot \hat{G}_n.
= i ( G n − 1 ) ⋅ G ^ n . 我们从 (18) 和 (19) 推断，当且仅当 ( G n ) (G_n) ( G n ) ( G ^ n ) (\hat{G}_n) ( G ^ n )
第二个同构定理（代数，章I, § 6, no. 13，定理6（d））和方程（18），（19）和（20）表明典范同态
G n − 1 / G n → G ^ n − 1 / G ^ n , G / G n → G ^ / G ^ n ,
G_{n-1}/G_n \to \hat{G}_{n-1}/\hat{G}_n, \quad G/G_n \to \hat{G}/\hat{G}_n,
G n − 1 / G n → G ^ n − 1 / G ^ n , G / G n → G ^ / G ^ n , 是双射的，因此典范同态也是双射的
gr ( G ) → gr ( G ^ ) .
\operatorname{gr}(G) \to \operatorname{gr}(\hat{G}).
gr ( G ) → gr ( G ^ ) . 现在让A A A E E E A A A ( A n ) (A_n) ( A n ) ( E n ) (E_n) ( E n ) A A A E E E A A A E E E A A A A ^ \hat{A} A ^ E ^ \hat{E} E ^ A ^ \hat{A} A ^ i : A → A ^ i : A \to \hat{A} i : A → A ^ A A A i ( A m ) i ( A n ) ⊂ i ( A m + n ) i(A_m)i(A_n) \subset i(A_{m+n}) i ( A m ) i ( A n ) ⊂ i ( A m + n )
A ^ m A ^ n ⊂ A ^ m + n
\hat{A}_m \hat{A}_n \subset \hat{A}_{m+n}
A ^ m A ^ n ⊂ A ^ m + n 因为A n A_n A n A ^ \hat{A} A ^ i ( A n ) i(A_n) i ( A n )
A ^ m E ^ n ⊂ E ^ m + n ;
\hat{A}_m \hat{E}_n \subset \hat{E}_{m+n};
A ^ m E ^ n ⊂ E ^ m + n ; 其他字：
令A A A E E E A A A A A A E E E ( A n ) , ( E n ) (A_n), (E_n) ( A n ) , ( E n ) ( A ^ n ) (\hat{A}_n) ( A ^ n ) A ^ \hat{A} A ^ ( E ^ n ) (\hat{E}_n) ( E ^ n ) A ^ \hat{A} A ^ E ^ \hat{E} E ^ A ^ \hat{A} A ^ E ^ \hat{E} E ^ Z \mathbf{Z} Z gr ( A ) → gr ( A ^ ) \operatorname{gr}(A) \to \operatorname{gr}(\hat{A}) gr ( A ) → gr ( A ^ ) gr ( E ) → gr ( E ^ ) \operatorname{gr}(E) \to \operatorname{gr}(\hat{E}) gr ( E ) → gr ( E ^ ) gr ( A ) \operatorname{gr}(A) gr ( A )
引用了 1 · 被以下引用 2 引用了 命题 12, II § 3
被以下引用 推论 2 , III § 4. 完整提升环
接下来，对于每个制服空间X X X j X j_X j X X X X X ^ \hat{X} X ^ X 0 = j X ( X ) X_0 = j_X(X) X 0 = j X ( X ) X ^ \hat{X} X ^ X X X X X X X 0 X_0 X 0 j X j_X j X
章II, § 3, no. 7、命题12)。还记得，对于每个均匀连续的映射f : X → Y f : X \to Y f : X → Y f ^ \hat{f} f ^ X ^ \hat{X} X ^ Y ^ \hat{Y} Y ^ f ^ ∘ j X = j Y ∘ f \hat{f} \circ j_X = j_Y \circ f f ^ ∘ j X = j Y ∘ f X X X Y Y Y E \mathscr{E} E X ^ \hat{X} X ^ Y ^ \hat{Y} Y ^ f ^ \hat{f} f ^ X X X Y ^ \hat{Y} Y ^
令X → f Y → g Z X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{g} Z X f Y g Z X , Y , Z X, Y, Z X , Y , Z E X , Y , Z \mathscr{E} X, Y, Z E X , Y , Z X ^ → f ^ Y ^ → g ^ Z ^ \hat{X} \xrightarrow{\hat{f}} \hat{Y} \xrightarrow{\hat{g}} \hat{Z} X ^ f ^ Y ^ g ^ Z ^
引用了 5 · 被以下引用 3 引用了 A II § 1. 。 模 , 注 2, TG III § 2 , 注 3, TG III § 2 , 命题 1, TG IX § 3 , 推论 1, TG IX § 3
被以下引用 命题 16 , 命题 17 , 定理 3, III § 3
令N 1 , N g N_1, N_g N 1 , N g g g g
f = f 3 ∘ f 2 ∘ f 1
f = f_3 \circ f_2 \circ f_1
f = f 3 ∘ f 2 ∘ f 1 其中f 1 f_1 f 1 X → X / N f X \to X/N_f X → X / N f f 2 f_2 f 2 X / N f X/N_f X / N f N N N f 3 f_3 f 3 N → Y N \to Y N → Y f 2 f_2 f 2 ( X / N f ) ∗ (X/N_f)^* ( X / N f ) ∗ N ^ g \hat{N}_g N ^ g f 1 f_1 f 1 N N N Y ^ \hat{Y} Y ^ f ^ 1 \hat{f}_1 f ^ 1 f ^ \hat{f} f ^ g 1 g_1 g 1 Y → Y / N g Y \to Y/N_g Y → Y / N g g ^ 1 \hat{g}_1 g ^ 1 N ^ g \hat{N}_g N ^ g g ^ \hat{g} g ^ X ^ → f ^ Y ^ → g ^ Z ^ \hat{X} \xrightarrow{\hat{f}} \hat{Y} \xrightarrow{\hat{g}} \hat{Z} X ^ f ^ Y ^ g ^ Z ^ Y = X / N Y = X/N Y = X / N N N N X X X f : X → Y f : X \to Y f : X → Y f ^ \hat{f} f ^ N ^ \hat{N} N ^
设f 0 : X 0 → Y 0 f_0 : X_0 \to Y_0 f 0 : X 0 → Y 0 f f f X 0 X_0 X 0 j X j_X j X j Y j_Y j Y X X X X X X Y Y Y Y 0 Y_0 Y 0 f 0 f_0 f 0 X 0 X_0 X 0 Y 0 Y_0 Y 0 f ^ 0 = f ^ \hat{f}_0 = \hat{f} f ^ 0 = f ^ N ^ 0 ′ \hat{N}_0' N ^ 0 ′ X X X N 0 ′ N_0' N 0 ′ f 0 f_0 f 0 N ^ 0 ′ = N ^ \hat{N}_0' = \hat{N} N ^ 0 ′ = N ^ N 0 ′ N_0' N 0 ′ N 0 = j X ( N ) N_0 = j_X(N) N 0 = j X ( N ) N 0 ′ N_0' N 0 ′ N 0 N_0 N 0 X X X N ‾ 0 \overline{N}_0 N 0
u = j X − 1 ( X 0 − N ‾ 0 ) = X − j X − 1 ( N ‾ 0 )
u = j_X^{-1}(X_0 - \overline{N}_0) = X - j_X^{-1}(\overline{N}_0)
u = j X − 1 ( X 0 − N 0 ) = X − j X − 1 ( N 0 ) 是X X X N N N f f f V = f ( U ) V = f(U) V = f ( U ) Y Y Y Y Y Y e ′ e' e ′ e ′ e' e ′ j Y ( V ) j_Y(V) j Y ( V ) Y 0 Y_0 Y 0 j Y ( V ) = f 0 ( X 0 − N ‾ 0 ) j_Y(V) = f_0(X_0 - \overline{N}_0) j Y ( V ) = f 0 ( X 0 − N 0 ) N 0 ′ ⊂ N ‾ 0 N'_0 \subset \overline{N}_0 N 0 ′ ⊂ N 0
令A A A A , A, A , E E E A A A E n E_n E n E E E E n = A n E E_n = A_n E E n = A n E A A A A , A, A , E E E i : E → E ^ i : E \to \hat{E} i : E → E ^ n ∈ Z n \in \mathbf{Z} n ∈ Z
8 n = A ^ n E ^ = A ^ n i ( E ) and E ^ = A ^ . i ( E ) .
8_n = \hat{A}_n \hat{E} = \hat{A}_n i(E) \quad \text{and} \quad \hat{E} = \hat{A}.i(E).
8 n = A ^ n E ^ = A ^ n i ( E ) and E ^ = A ^ . i ( E ) . *特别是
E ^ \hat{E} E ^ 是有限生成的
A ^ \hat{A} A ^ 模块。
引用了 3 · 被以下引用 5 引用了 引理 2 , 推论 2, TG II § 3 , 命题 24, TG III § 2
被以下引用 推论 1 , 推论 2 , III § 3. 诺特环上的$\mathfrak{m}$-adic 拓扑 , 定理 3, III § 3 , 推论, VII § 4
The equation A n E = E n A_n E = E_n A n E = E n A A A 8 , A ^ n E ^ ⊂ 8 8, \hat{A}_n \hat{E} \subset 8 8 , A ^ n E ^ ⊂ 8 A ^ n E ^ ⊃ A ^ n i ( E ) \hat{A}_n \hat{E} \supset \hat{A}_n i(E) A ^ n E ^ ⊃ A ^ n i ( E ) u : L → E u : L \to E u : L → E L = A s I L = A_s^I L = A s I I I I L L L L n = A n I L_n = A_n^I L n = A n I L L L L ^ = A ^ s I \hat{L} = \hat{A}_s^I L ^ = A ^ s I L ^ n = A ^ n I \hat{L}_n = \hat{A}_n^I L ^ n = A ^ n I j : L → L ^ j : L \to \hat{L} j : L → L ^ ( e i ) i ∈ I (e_i)_{i \in I} ( e i ) i ∈ I L L L ∑ i ∈ I a i j ( e i ) \sum_{i \in I} a_{ij}(e_i) ∑ i ∈ I a ij ( e i ) a i ∈ A ^ a_i \in \hat{A} a i ∈ A ^ i ∈ I i \in I i ∈ I L ^ n \hat{L}_n L ^ n a i ∈ A ^ n a_i \in \hat{A}_n a i ∈ A ^ n i i i L ^ n = A ^ n . j ( L ) \hat{L}_n = \hat{A}_n . j(L) L ^ n = A ^ n . j ( L ) u ( L ^ n ) = A n E = E n u(\hat{L}_n) = A_n E = E_n u ( L ^ n ) = A n E = E n u u u L L L E E E u ^ : L ^ → E ^ \hat{u} : \hat{L} \to \hat{E} u ^ : L ^ → E ^ L ^ n \hat{L}_n L ^ n u ^ ( L ^ n ) \hat{u}(\hat{L}_n) u ^ ( L ^ n ) E ^ \hat{E} E ^ u ^ ( L ^ n ) = A ^ n u ^ ( j ( L ) ) = A ^ n i ( E ) \hat{u}(\hat{L}_n) = \hat{A}_n \hat{u}(j(L)) = \hat{A}_n i(E) u ^ ( L ^ n ) = A ^ n u ^ ( j ( L )) = A ^ n i ( E ) i ( E n ) ⊂ A n i ( E ) ⊂ A ^ n i ( E ) i(E_n) \subset A_n i(E) \subset \hat{A}_n i(E) i ( E n ) ⊂ A n i ( E ) ⊂ A ^ n i ( E ) E ^ n ⊂ A ^ n i ( E ) ⊂ A ^ n E ^ ⊂ E ^ n \hat{E}_n \subset \hat{A}_n i(E) \subset \hat{A}_n \hat{E} \subset \hat{E}_n E ^ n ⊂ A ^ n i ( E ) ⊂ A ^ n E ^ ⊂ E ^ n E ^ n = A ^ n E ^ = A ^ n i ( E ) \hat{E}_n = \hat{A}_n \hat{E} = \hat{A}_n i(E) E ^ n = A ^ n E ^ = A ^ n i ( E ) n = 0 n = 0 n = 0
由于典范映射 A → A ^ A \to \hat{A} A → A ^ E ^ = i ( E ) \hat{E} = i(E) E ^ = i ( E )
令A A A m m m A A A A ^ \hat{A} A ^ A A A m m m A ^ \hat{A} A ^ n > 0 n > 0 n > 0 m ^ n = ( m ^ ) n = m n . A ^ \hat{m}^n = (\hat{m})^n = m^n . \hat{A} m ^ n = ( m ^ ) n = m n . A ^ m ^ \hat{m} m ^
引用了 9 · 被以下引用 2 引用了 例 3 , 命题 16 , 习题 12, § 2 , 命题 15 , 命题 25, TG III § 2 , 推论 , A IV § 5. 。对称张量和多项式映射 , 例 1 , A VII § 1. 。 主理想整环
被以下引用 引理 3 , 命题 8, III § 3
让我们写出A n = m n A_n = m^n A n = m n A A A m p A n = m n + p m^p A_n = m^{n+p} m p A n = m n + p A A A m m m m m m A A A A n A_n A n
将命题 16 应用于其他字 m ^ n = m n . A ^ \hat{m}^n = m^n . \hat{A} m ^ n = m n . A ^ E = A n E = A_n E = A n A ^ n = A ^ . A n \hat{A}_n = \hat{A}.A_n A ^ n = A ^ . A n m = m . A ^ m = m . \hat{A} m = m . A ^
( m ^ ) n = m n . A ^ = A ^ . A n
(\hat{m})^n = m^n . \hat{A} = \hat{A}.A_n
( m ^ ) n = m n . A ^ = A ^ . A n （cf.习题12）。
过滤环的 Hausdorff 补全的例
(1) 令A A A N \mathbf{N} N ( A n ) n ≥ 0 (A_n)_{n \geq 0} ( A n ) n ≥ 0 A A A B = ∏ n ∈ N A n B = \prod_{n \in \mathbf{N}} A_n B = ∏ n ∈ N A n B B B A A A A A A B B B A A A B B B B B B A A A A ^ \hat{A} A ^ A A A A n ′ = ∑ i > n A i A'_n = \sum_{i > n} A_i A n ′ = ∑ i > n A i A n ′ A'_n A n ′ B B B B B B x = ( x i ) ∈ B x = (x_i) \in B x = ( x i ) ∈ B x i = 0 x_i = 0 x i = 0 i ≤ n i \leq n i ≤ n x = ( x i ) , y = ( y i ) x = (x_i), y = (y_i) x = ( x i ) , y = ( y i ) B B B z = ( z i ) z = (z_i) z = ( z i ) n > 0 n > 0 n > 0 x ≡ x n ′ x \equiv x'_n x ≡ x n ′ B n B_n B n y ≡ y n ′ y \equiv y'_n y ≡ y n ′ B n B_n B n x n ′ = ( x i ) 0 ≤ i ≤ n x'_n = (x_i)_{0 \leq i \leq n} x n ′ = ( x i ) 0 ≤ i ≤ n y n ′ = ( y i ) 0 ≤ i ≤ n y'_n = (y_i)_{0 \leq i \leq n} y n ′ = ( y i ) 0 ≤ i ≤ n z ≡ x n ′ y n ′ z \equiv x'_n y'_n z ≡ x n ′ y n ′ B n B_n B n x n ′ x'_n x n ′ y n ′ y'_n y n ′ A A A n ∈ N n \in \mathbf{N} n ∈ N
z n = ∑ j = 0 n x j y n − j .
z_n = \sum_{j=0}^n x_j y_{n-j}.
z n = j = 0 ∑ n x j y n − j . 特别是，我们再次获得no. 6的命题 6的推论：如果C C C C [ X 1 , … , X r ] C[X_1, \ldots, X_r] C [ X 1 , … , X r ] C [ [ X 1 , … , X r ] ] C[[X_1, \ldots, X_r]] C [[ X 1 , … , X r ]]
(2) 设K K K K K K r r r K [ [ X 1 , … , X r ] ] K[[X_1, \ldots, X_r]] K [[ X 1 , … , X r ]]
(3) 令a a a A A A a a a ( a n ) (a^n) ( a n ) A A A g r ( A ) = g r ( A ^ ) \mathrm{gr}(A) = \mathrm{gr}(\hat{A}) gr ( A ) = gr ( A ^ ) ( A / a ) [ X ] (A/a)[X] ( A / a ) [ X ] A = Z A = \mathbf{Z} A = Z Z \mathbf{Z} Z n > 1 n > 1 n > 1 Z n \mathbf{Z}_n Z n n n n
Z / n k Z \mathbf{Z}/n^k \mathbf{Z} Z / n k Z ∑ i = 0 k − 1 a i n i \sum_{i=0}^{k-1} a_i n^i ∑ i = 0 k − 1 a i n i 0 ≤ a i ≤ n − 1 0 \leq a_i \leq n - 1 0 ≤ a i ≤ n − 1 i i i Z / n k − 1 Z \mathbf{Z}/n^{k-1} \mathbf{Z} Z / n k − 1 Z ∑ i = 0 k − 2 a i n i \sum_{i=0}^{k-2} a_i n^i ∑ i = 0 k − 2 a i n i Z Z Z lim ← Z / n k Z \lim_{\leftarrow} \mathbf{Z}/n^k \mathbf{Z} lim ← Z / n k Z Z Z Z ∑ i = 0 ∞ a i n i \sum_{i=0}^{\infty} a_i n^i ∑ i = 0 ∞ a i n i 0 ≤ a i < n 0 \leq a_i < n 0 ≤ a i < n Z \mathbf{Z} Z
13. 半局部环的 HAUSDOFF 完成
令A A A ( m λ ) λ ∈ L (m_{\lambda})_{\lambda \in L} ( m λ ) λ ∈ L A A A A A A m λ m_{\lambda} m λ m μ m_{\mu} m μ λ ≠ μ \lambda \neq \mu λ = μ ≥ 0 \geq 0 ≥ 0 a s = ⋂ λ ∈ L m λ s ( λ ) a_s = \bigcap_{\lambda \in L} m_{\lambda}^{s(\lambda)} a s = ⋂ λ ∈ L m λ s ( λ ) s = ( s ( λ ) ) λ ∈ L s = (s(\lambda))_{\lambda \in L} s = ( s ( λ ) ) λ ∈ L λ \lambda λ m λ s ( λ ) m_{\lambda}^{s(\lambda)} m λ s ( λ ) s ( λ ) ≠ 0 s(\lambda) \neq 0 s ( λ ) = 0 a s a_s a s T \mathscr{T} T A A A A ^ \hat{A} A ^ A A A λ ∈ L \lambda \in L λ ∈ L A λ A_{\lambda} A λ A A A m λ m_{\lambda} m λ A ^ λ \hat{A}_{\lambda} A ^ λ u : A → ∏ λ ∈ L A λ u : A \to \prod_{\lambda \in L} A_{\lambda} u : A → ∏ λ ∈ L A λ u u u u ^ : \hat{u} : u ^ :
A ^ → ( ∏ λ ∈ L A λ ) ^ = ∏ λ ∈ L A ^ λ
\hat{A} \to \left( \prod_{\lambda \in L} A_{\lambda} \right)^{\hat{}} = \prod_{\lambda \in L} \hat{A}_{\lambda}
A ^ → ( λ ∈ L ∏ A λ ) ^ = λ ∈ L ∏ A ^ λ 引用了 4 · 被以下引用 3 引用了 III § 1. 有限生成的分级代数 , TG III § 6. 拓扑群与运算符；拓扑环，划分环和域 , 命题 3, II § 1 , 引理 2
被以下引用 习题 24, § 2 , 推论 , 命题 18
（一般拓扑、章III, § 6, no. 5和章II, § 3, no. 9，推论2至命题18）是拓扑环同构。
第一个断言源自一般拓扑、章III, § 6, no. 3、例3。让我们集合B = ∏ λ ∈ L A λ B = \prod_{\lambda \in L} A_{\lambda} B = ∏ λ ∈ L A λ A A A m λ m_{\lambda} m λ p r λ ∘ u \mathrm{pr}_{\lambda} \circ u pr λ ∘ u u u u u ( a s ) u(a_s) u ( a s ) B B B A A A B B B ⋂ λ ∈ L p r λ − 1 ( m λ s ( λ ) ) \bigcap_{\lambda \in L} \mathrm{pr}_{\lambda}^{-1}(m_{\lambda}^{s(\lambda)}) ⋂ λ ∈ L pr λ − 1 ( m λ s ( λ ) ) u u u A A A B B B A A A Δ \Delta Δ B B B b = ( a λ ) λ ∈ L b = (a_{\lambda})_{\lambda \in L} b = ( a λ ) λ ∈ L B B B B B B b + V b + V b + V b b b V = ⋂ λ ∈ L p r λ − 1 ( m λ s ( λ ) ) V = \bigcap_{\lambda \in L} \mathrm{pr}_{\lambda}^{-1}(m_{\lambda}^{s(\lambda)}) V = ⋂ λ ∈ L pr λ − 1 ( m λ s ( λ ) ) s = ( s ( λ ) ) λ ∈ L s = (s(\lambda))_{\lambda \in L} s = ( s ( λ ) ) λ ∈ L ≥ 0 \geq 0 ≥ 0 m λ s ( λ ) m_{\lambda}^{s(\lambda)} m λ s ( λ ) x ∈ A x \in A x ∈ A x ≡ a λ ( m o d m λ s ( λ ) ) x \equiv a_{\lambda} \pmod{m_{\lambda}^{s(\lambda)}} x ≡ a λ ( mod m λ s ( λ ) ) λ \lambda λ ( b + V ) ∩ A ≠ ∅ (b + V) \cap A \neq \varnothing ( b + V ) ∩ A = ∅ B / Δ B/\Delta B /Δ { 0 } \{0\} { 0 } 0 → A → u B , A → u B → B / Δ 0 \to A \xrightarrow{u} B, A \xrightarrow{u} B \to B/\Delta 0 → A u B , A u B → B /Δ u ^ \hat{u} u ^ A ^ \hat{A} A ^ B ^ \hat{B} B ^
主要理想 ( x ) (x) ( x ) π ∈ P \pi \in P π ∈ P x x x x x x
如果在A = Z \mathbf{A} = \mathbf{Z} A = Z Z ^ \hat{\mathbf{Z}} Z ^ Z \mathbf{Z} Z Z \mathbf{Z} Z ≠ 0 \neq 0 = 0 p p p ∏ p ∈ P Z p \prod_{p \in P} \mathbf{Z}_p ∏ p ∈ P Z p
Remarks
(1) 显然，在命题 17 的条件下，拓扑 T \mathscr{T} T A \mathbf{A} A m λ m_\lambda m λ
(2) ∏ λ ∈ L A ^ λ \prod_{\lambda \in L} \hat{A}_\lambda ∏ λ ∈ L A ^ λ a a a a λ = p r λ ( a ) a_\lambda = \mathrm{pr}_\lambda(a) a λ = pr λ ( a ) A λ A_\lambda A λ A ^ λ \hat{A}_\lambda A ^ λ ∏ λ A ^ λ \prod_{\lambda} \hat{A}_\lambda ∏ λ A ^ λ a λ a_\lambda a λ A λ ′ A'_\lambda A λ ′ a ∩ A λ ′ a \cap A'_\lambda a ∩ A λ ′ a λ a_\lambda a λ ∏ λ a λ \prod_\lambda a_\lambda ∏ λ a λ ∏ λ A ^ λ \prod_\lambda \hat{A}_\lambda ∏ λ A ^ λ
令 A \mathbf{A} A ( m i ) 1 ≤ i ≤ q (m_i)_{1 \leq i \leq q} ( m i ) 1 ≤ i ≤ q A \mathbf{A} A m 1 m 2 … m q = m 1 ∩ m 2 ∩ … ∩ m q m_1 m_2 \ldots m_q = m_1 \cap m_2 \cap \ldots \cap m_q m 1 m 2 … m q = m 1 ∩ m 2 ∩ … ∩ m q S S S ⋂ i = 1 q ( A − m i ) \bigcap_{i=1}^q (\mathbf{A} - m_i) ⋂ i = 1 q ( A − m i ) A \mathbf{A} A r r r B = S − 1 A B = S^{-1} \mathbf{A} B = S − 1 A r B rB r B A n A_n A n ( m i A m i ) (m_i A_{m_i}) ( m i A m i ) u : A → B u : \mathbf{A} \to B u : A → B v i : B → A m i v_i : B \to A_{m_i} v i : B → A m i v v v ( v i ) : B → ∏ i = 1 q A n (v_i) : B \to \prod_{i=1}^q A_n ( v i ) : B → ∏ i = 1 q A n u u u v v v u ^ : A ^ → \hat{u} : \hat{\mathbf{A}} \to u ^ : A ^ → v ^ : B ^ → ∏ n ( A n ) ∗ \hat{v} : \hat{B} \to \prod_{n} (A_n)^* v ^ : B ^ → ∏ n ( A n ) ∗
引用了 6 · 被以下引用 1 引用了 推论 2, II § 2 , 命题 11, II § 2 , II § 2. 环和模分数 , 命题 11 , 命题 17 , 命题 9, II § 3
被以下引用 推出 5, III § 3
m i ∩ S = ∅ m_i \cap S = \varnothing m i ∩ S = ∅ 1 ≤ i ≤ q 1 \leq i \leq q 1 ≤ i ≤ q B B B m i ′ = m i B m'_i = m_i B m i ′ = m i B
r B = m 1 ′ ∩ m 2 ′ ∩ ⋯ ∩ m q ′
rB = m'_1 \cap m'_2 \cap \cdots \cap m'_q
r B = m 1 ′ ∩ m 2 ′ ∩ ⋯ ∩ m q ′ （章II, § 2, no. 4）；最后，B m i ′ = A i B_{m'_i} = A_i B m i ′ = A i u ˉ 1 ( r B ) = r \bar{u}^1(rB) = r u ˉ 1 ( r B ) = r v ˉ i 1 ( m i A m i ) ⊃ r B \bar{v}_i^1(m_iA_{m_i}) \supset rB v ˉ i 1 ( m i A m i ) ⊃ r B u u u v v v
w = v ∘ u : A → ∏ i = 1 4 A m i ,
w = v \circ u : A \to \prod_{i=1}^4 A_{m_i},
w = v ∘ u : A → i = 1 ∏ 4 A m i , w ^ \hat{w} w ^ A ^ \hat{A} A ^ ∏ i = 1 q A ^ m i \prod_{i=1}^q \hat{A}_{m_i} ∏ i = 1 q A ^ m i B B B m i ′ m'_i m i ′ v ^ \hat{v} v ^ u ^ \hat{u} u ^ m i m_i m i c c c r r r m i m_i m i A i A_i A i m i m_i m i ϕ : A → ∏ i = 1 q A \phi : A \to \prod_{i=1}^q A ϕ : A → ∏ i = 1 q A A A A ϕ ^ : A ^ → ∏ i = 1 4 A ^ i \hat{\phi} : \hat{A} \to \prod_{i=1}^4 \hat{A}_i ϕ ^ : A ^ → ∏ i = 1 4 A ^ i u i : A i → A m i u_i : A_i \to A_{m_i} u i : A i → A m i u ^ i : A ^ i → A ^ m i \hat{u}_i : \hat{A}_i \to \hat{A}_{m_i} u ^ i : A ^ i → A ^ m i n n n
u i , n : A / m i n → A m i / m i n A m i
u_{i,n} : A/m_i^n \to A_{m_i}/m_i^n A_{m_i}
u i , n : A / m i n → A m i / m i n A m i 由 u i u_i u i A ^ i \hat{A}_i A ^ i A ^ m i \hat{A}_{m_i} A ^ m i A / m i n A/m_i^n A / m i n A m i / m i n A m i A_{m_i}/m_i^n A_{m_i} A m i / m i n A m i
注 (3)。我们看到整环A A A A ^ \hat{A} A ^
令A A A m m m A A A A A A m m m A ^ \hat{A} A ^ m m m
如果 a = ⋂ k ≥ 1 m k a = \bigcap_{k \geq 1} m^k a = ⋂ k ≥ 1 m k A ^ \hat{A} A ^ A A A A / a A/a A / a m / a m/a m / a A / a A/a A / a A A A m m m A / m A/m A / m A ^ / m ^ \hat{A}/\hat{m} A ^ / m ^ m m m A ^ \hat{A} A ^ A ^ \hat{A} A ^ ( m n ) ∗ (m^n)^* ( m n ) ∗
设A A A A A A G \mathscr{G} G x ∈ A x \in A x ∈ A lim n → m x n = 0 \lim_{n \to m} x^n = 0 lim n → m x n = 0 1 − x 1 - x 1 − x A A A ∑ n = 0 ∞ x n \sum_{n=0}^\infty x^n ∑ n = 0 ∞ x n a a a A A A lim n → ∞ x n = 0 \lim_{n \to \infty} x^n = 0 lim n → ∞ x n = 0 x ∈ a x \in a x ∈ a A \mathbf{A} A A / a \mathbf{A}/a A / a A \mathbf{A} A
引用了 3 · 被以下引用 3 引用了 定理 1（柯西准则）, TG III § 5 , 定理 1, A VIII § 6 , 推论 2
被以下引用 例 1, III § 3 , III § 4. 完整提升环 , 引理 2, III § 4
(一) 作为
( 1 − x ) ( 1 + x + ⋯ + x n ) = ( 1 + x + ⋯ + x n ) ( 1 − x ) = 1 − x n + 1 ,
(1 - x)(1 + x + \cdots + x^n) = (1 + x + \cdots + x^n)(1 - x) = 1 - x^{n+1},
( 1 − x ) ( 1 + x + ⋯ + x n ) = ( 1 + x + ⋯ + x n ) ( 1 − x ) = 1 − x n + 1 , 证明级数与一般项 x n x^n x n A \mathbf{A} A A \mathbf{A} A V ∈ S V \in \mathfrak{S} V ∈ S p > 0 p > 0 p > 0 n ≥ p n \geq p n ≥ p x n ∈ V x^n \in V x n ∈ V
x p + x p + 1 + … + x q ∈ V
x^p + x^{p+1} + \ldots + x^q \in V
x p + x p + 1 + … + x q ∈ V 对于所有q ≥ p q \geq p q ≥ p
(ii) 假设存在y ′ ∈ A y' \in \mathbf{A} y ′ ∈ A y y ′ ≡ 1 yy' \equiv 1 y y ′ ≡ 1 y ′ y ≡ 1 y'y \equiv 1 y ′ y ≡ 1 y y ′ yy' y y ′ y ′ y y'y y ′ y A \mathbf{A} A y y y A \mathbf{A} A x ∈ a x \in a x ∈ a 1 − x 1 - x 1 − x A \mathbf{A} A A \mathbf{A} A A \mathbf{A} A
建立了这个引理后，就足以将其应用于拓扑环A ^ \hat{\mathbf{A}} A ^ m ^ \hat{\mathfrak{m}} m ^ x ∈ m ^ x \in \hat{\mathfrak{m}} x ∈ m ^ x n ∈ ( m ^ ) n ⊂ ( m n ) ∧ x^n \in (\hat{\mathfrak{m}})^n \subset (\mathfrak{m}^n)^{\wedge} x n ∈ ( m ^ ) n ⊂ ( m n ) ∧ ( x n ) (x^n) ( x n )
如果我们取A = Z \mathbf{A} = \mathbf{Z} A = Z Z \mathbf{Z} Z p Z p\mathbf{Z} p Z p p p p p p Z p \mathbf{Z}_p Z p p Z p p\mathbf{Z}_p p Z p Z / p Z = F p \mathbf{Z}/p\mathbf{Z} = \mathbf{F}_p Z / p Z = F p Z ( p ) \mathbf{Z}_{(p)} Z ( p ) p Z ( p ) p\mathbf{Z}_{(p)} p Z ( p ) Z \mathbf{Z} Z Z \mathbf{Z} Z
令 A \mathbf{A} A m i m_i m i ( 1 ≤ i ≤ q ) (1 \leq i \leq q) ( 1 ≤ i ≤ q )
r = m 1 ∩ m 2 ∩ ⋯ ∩ m q
r = m_1 \cap m_2 \cap \cdots \cap m_q
r = m 1 ∩ m 2 ∩ ⋯ ∩ m q 引用了 1 · 被以下引用 3 引用了 II § 3. 局部环。从本地走向全球
被以下引用 习题 4, § 3 , 注, III § 4 , 习题 8, § 2
这是雅各布森激进的。 A \mathbf{A} A A ^ \hat{\mathbf{A}} A ^ ∏ i = 1 q A ^ m i \prod_{i=1}^q \hat{\mathbf{A}}_{m_i} ∏ i = 1 q A ^ m i A ^ m i \hat{\mathbf{A}}_{m_i} A ^ m i A m i \mathbf{A}_{m_i} A m i ( m i A m i ) (m_i \mathbf{A}_{m_i}) ( m i A m i )
习题
参见习题为 § 2 。