习题 31, § 2

(a) 设A为诺特环，m为A的极大理想，p为m中包含的素理想；表明，如果 A 相对于 m-adic 拓扑的豪斯多夫补全 \hat{A} 为整环，则 p 的符号幂 p^{(n)} 的滤波器基相对于 A 上的 m-adic 拓扑趋于 0。（约化对于 A 是局部的情况；设 q 为 $\hat{A}$ 的素理想，其在 A 上的迹为 p，并且对于所有 $n > 0$ 令 $c_n \notin p$ 使得 $c_n p^{(n)} \subset p^n$ 证明$c_n p^{(n)} \hat{A} \subset q^{(n)}$； 使用习题 29 (e) 和章 III, § 2, no. 7、命题 8。）

(b) 令 A 为诺特环，n 为 A 的理想，p 为 Ass(A/n) 中的最小素理想，$m_0, m$ 包含于 p 的两个最大理想；设 A(n)、A(m_0)、A(m) 分别表示 A 对于 n-adic、$m_0$-adic、m-adic 拓扑的 Hausdorff 完备性。 设 z 为 A(n) 的元素，其中 A(m_0) 中的典范像为零。 Show that if A(m) is an integral domain, the canonical image of z in A(m) is also zero. (Take z as the limit of a sequence $(x_n)$ of elements of A such that $x_n - x_m \in n^m$ for $n \geq m$ and $x_n \in m_0^n$; deduce that $x_m$ belongs to the closure of $n^m$ with respect to the $m_0$-adic topology; using Exercise 8, conclude that $x_m \in p^{(m)}$ for all m and complete with the aid of (a).)

(c) 设 A 为 Zariski 环，r 为 A 的定义理想；假设 Spec(A) 是连通的，并且对于 A 的每个最大理想 m，A 相对于 m 进数拓扑的豪斯多夫完成 A(m) 为整环。然后证明 A 相对于 r 进数拓扑的完成$\hat{A}$ 是整环。 （表明对于 A 的每个最大理想 m，典范同态 $\hat{A} + A(m)$ 是单射的。为此，我们可以假设 r 是有限数素理想的交，这些素理想在 Ass(A/r) 中是最小的，令 $r = p_1 \cap p_2 \cap \cdots \cap p_s$；证明 Spec(A) 上的假设意味着对于每个 i 存在一个最大理想m, 包含于 $(p_1 \cap \ldots \cap p_{i-1}) + p_i$。使用 (b) 证明，如果 A(m) 中 $z \in \hat{A}$ 的典范像为零，并且对于例 $p_1 \subset m$，则每个 A(m_i) 中 z 的典范像为零，则结论对于 A 的每个最大理想 m'，A(m') 中 z 的典范像是零。）