Exercice 31, § 2

a) Soient $A$ un anneau noethérien, $m$ un idéal maximal de $A$, $p$ un idéal premier contenu dans $m$; montrer que si le séparé complété $\hat{A}$ de $A$ pour la topologie $m$-adique est intègre, la base de filtre des puissances symboliques $p^{(n)}$ de $p$ tend vers $0$ pour la topologie $m$-adique dans $A$. (Se ramener au cas où $A$ est local ; soient $q$ un idéal premier de $\hat{A}$ dont la trace sur $A$ soit $p$, et pour tout $n > 0$, soit $c_n \notin p$ tel que $c_n p^{(n)} \subset p^n$; montrer que l’on a $c_n p^{(n)} \hat{A} \subset q^{(n)}$. Utiliser l’exerc. 29 e), ainsi que le chap. III, § 2, no 7, prop. 8.)

b) Soient $A$ un anneau noethérien, $n$ un idéal de $A$, $p$ un idéal premier minimal dans $\operatorname{Ass}(A/n)$, $m_0, m$ deux idéaux maximaux de $A$ contenant $p$; désignons par $A(n), A(m_0), A(m)$ les séparés complétés de $A$ pour les topologies $n$-adique, $m_0$-adique, $m$-adique respectivement. Soit $z$ un élément de $A(n)$ dont l’image canonique dans $A(m_0)$ est nulle. Montrer que si $A(m)$ est intègre, l’image canonique de $z$ dans $A(m)$ est nulle aussi. (Prendre $z$ comme limite d’une suite $(x_n)$ d’éléments de $A$ telle que $x_n - x_m \in n^m$ pour $n \geq m$, et $x_n \in m_0^n$; en déduire que $x_m$ appartient à l’adhérence de $n^m$ pour la topologie $m_0$-adique ; en utilisant l’exerc. 8, en conclure que $x_m \in p^{(m)}$ pour tout $m$; achever à l’aide de $a$.)

c) Soient $A$ un anneau de Zariski, $r$ un idéal de définition de $A$; on suppose que $\operatorname{Spec}(A)$ est connexe et que pour tout idéal maximal $m$ de $A$, le séparé complété $A(m)$ de $A$ pour la topologie $m$-adique est intègre. Montrer alors que le complété $\hat{A}$ de $A$ pour la topologie $r$-adique est intègre. (Montrer que pour tout idéal maximal $m$ de $A$, l’homomorphisme canonique $\hat{A} \to A(m)$ est injectif. Pour cela, on peut supposer que $r$ est intersection d’un nombre fini d’idéaux premiers, minimaux dans $\operatorname{Ass}(A/r)$, soit $r = p_1 \cap p_2 \cap \ldots \cap p_s$; montrer que l’hypothèse sur $\operatorname{Spec}(A)$ entraîne pour chaque $i$ l’existence d’un idéal maximum $m_i$ contenant $(p_1 \cap \ldots \cap p_{i-1}) + p_i$. En utilisant $b$, montrer que si l’image canonique de $z \in \hat{A}$ dans $A(m)$ est nulle et si par exemple $p_1 \subset m$, alors l’image canonique de $z$ dans chacun des $A(m_i)$ est nulle, puis conclure que l’image canonique de $z$ dans $A(m')$ est nulle pour tout idéal maximal $m'$ de $A$.)