Bài tập 31, § 2

a) Cho $A$ là một vành Noether, $m$ là một iđêan cực đại của $A$, $p$ là một iđêan nguyên tố được chứa trong $m$; bây giờ chứng minh rằng nếu phép hoàn thành tách biệt $\hat{A}$ của $A$ đối với tôpô $m$-adic là nguyên, cơ sở lọc của các lũy thừa ký hiệu $p^{(n)}$ của $p$ tiến tới $0$ đối với tôpô $m$-adic trong $A$. (Rút gọn về trường hợp $A$ là địa phương; gọi $q$ là một iđêan nguyên tố của $\hat{A}$ có vết trên $A$ là $p$, và với mọi $n > 0$, lấy $c_n \notin p$ sao cho $c_n p^{(n)} \subset p^n$; bây giờ chứng minh rằng ta có $c_n p^{(n)} \hat{A} \subset q^{(n)}$. Sử dụng Bài tập 29 e), cũng như Chương III, § 2, No. 7, Mệnh đề 8.)

b) Cho $A$ là một vành Noether, $n$ là một iđêan của $A$, $p$ là một iđêan nguyên tố cực tiểu trong $\operatorname{Ass}(A/n)$, $m_0, m$ là hai iđêan cực đại của $A$ chứa $p$; ký hiệu bởi $A(n), A(m_0), A(m)$ các phép hoàn thành tách biệt của $A$ tương ứng đối với các tôpô $n$-adic, $m_0$-adic, $m$-adic. Cho $z$ là một phần tử của $A(n)$ có ảnh chính tắc trong $A(m_0)$ là không. Bây giờ chứng minh rằng nếu $A(m)$ là nguyên, thì ảnh chính tắc của $z$ trong $A(m)$ cũng là không. (Lấy $z$ là giới hạn của một dãy $(x_n)$ các phần tử của $A$ sao cho $x_n - x_m \in n^m$ với $n \geq m$, và $x_n \in m_0^n$; suy ra rằng $x_m$ thuộc bao đóng của $n^m$ đối với tôpô $m_0$-adic; sử dụng Bài tập 8, kết luận rằng $x_m \in p^{(m)}$ với mọi $m$; hoàn tất bằng a.)

c) Cho $A$ là một vành Zariski, $r$ là một iđêan định nghĩa của $A$; giả sử rằng $\operatorname{Spec}(A)$ là liên thông và với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, phép hoàn thiện tách rời $A(m)$ của $A$ đối với tôpô $m$-adic là nguyên. Bây giờ chứng minh rằng phép hoàn thiện $\hat{A}$ của $A$ đối với tôpô $r$-adic là nguyên. (Bây giờ chứng minh rằng với mọi iđêan cực đại $m$ của $A$, đồng cấu chính tắc $\hat{A} \to A(m)$ là đơn ánh. Vì mục đích này, có thể giả sử rằng $r$ là giao của một số hữu hạn các iđêan nguyên tố, cực tiểu trong $\operatorname{Ass}(A/r)$, cụ thể là $r = p_1 \cap p_2 \cap \ldots \cap p_s$; bây giờ chứng minh rằng giả thiết về $\operatorname{Spec}(A)$ kéo theo với mỗi $i$ sự tồn tại của một iđêan cực đại $m_i$ chứa $(p_1 \cap \ldots \cap p_{i-1}) + p_i$. Sử dụng $b$, bây giờ chứng minh rằng nếu ảnh chính tắc của $z \in \hat{A}$ trong $A(m)$ là không và nếu, chẳng hạn, $p_1 \subset m$, thì ảnh chính tắc của $z$ trong mỗi $A(m_i)$ là không, rồi kết luận rằng ảnh chính tắc của $z$ trong $A(m')$ là không với mọi iđêan cực đại $m'$ của $A$.)