a) 如果$X_\alpha$的每个点的稳定子是每个$\alpha \in I$的$G_\alpha$的紧凑子群，则$X$的每个点$x = (x_\alpha)$的稳定子是一个紧凑子群共$G$； $x$（相对于$G$）的轨道规范地同胚于$x_\alpha$（相对于$G_\alpha$）的轨道的逆极限；并且典范映射 $h : X/G \to \varprojlim X_\alpha/G_\alpha$ 是单射的。

b) 如果，对于每个$\alpha \in I$，$X_\alpha$（相对于$G_\alpha$）的点的每一个轨道都是紧致的，那么$X$（相对于$G$）的点的每一个轨道都是相对紧致的，并且$h$ 是满射的。如果$h$也是双射，那么$X$的点的每个轨道都是紧的。

令$x = (x_\alpha) \in X$，对于每个$\alpha \in I$，令$X'_\alpha = G_\alpha \cdot x_\alpha$为$x_\alpha$的轨道。如果$\alpha \leq \beta$，则从(i)和关系$g_{\alpha\beta}(x_\beta) = x_\alpha$得出$g_{\alpha\beta}(X'_\beta) \subset X'_\alpha$，因此$(X'_\alpha)$是$X_\alpha$的子集的逆系。对于每个 $\alpha \in I$ 令 $u_\alpha : G_\alpha \to X'_\alpha$ 为连续的映射 $s_\alpha \to s_\alpha \cdot x_\alpha$； 映射的$u_\alpha$形式逆系，$u = \varprojlim u_\alpha$是$G$的连续映射$s \to s.x$到$X$的子空间$X' = \varprojlim X'_\alpha$。 a) 的假设意味着$\overline{u}_\alpha(y_\alpha)$ 对于每个$y_\alpha \in X'_\alpha$ 都是紧凑的。由于$u_\alpha$也是满射，所以满足章I, § 9, no. 6、命题8的条件、推论2，因此a)的前两个断言成立。因此，如果对于每个$\alpha \in I$，$x = (x_\alpha)$和$y = (y_\alpha)$使得$x_\alpha$和$y_\alpha$属于相对于$G_\alpha$相同的轨道，则$x$和$y$ 属于与轨道相对于 $G$ 而言，因此 $h$ 是单射的。

同样，b)的假设意味着典范映射$v_\alpha : X_\alpha \to X_\alpha/G_\alpha$的逆系满足章I, § 9, no. 6的条件、命题8，推论2，因此其逆极限$v = \varprojlim v_\alpha : X \to \varprojlim X_\alpha/G_\alpha$为满射，并且$\varprojlim X_\alpha / G_\alpha$的每个点的v下的逆像是紧的。由于 v 因式分解为

其中 $\psi$ 是典范映射，b) 的断言如下。

因为满足 a) 和 b) 的假设，因为 $G_\alpha$ 的每个闭子群都是紧致的，并且 $u_\alpha : s_\alpha \to s_\alpha \cdot x_\alpha$ 是紧致空间到 Hausdorff 空间的连续映射。

对于假设 a) 满足，对于每个$\alpha$ $X'_\alpha = X_\alpha$。

$h$ 是双射的事实来自推论 1，由替换 $X_\alpha$ $G_\alpha$ 应用的，以及 $G_\alpha$ $K_\alpha$ 通过*右* 翻译（§ 2, no. 5）操作。令$\varphi$为典范映射$G \to G/K$，对于每个$\alpha$，令$f_\alpha$为典范映射$G \to G_\alpha$。如果对于每个$\alpha$，$V_\alpha$都经过$G_\alpha$的单位元素$e_\alpha$的开邻域的基本系统，则集合$V = \overline{f}_\alpha^{-1}(V_\alpha)$（$\alpha$和$V_\alpha$变量） $G$（章I, § 4, no. 4、命题9）和集合$\varphi(V.K)$中的形式邻域的基本系统或单位元素$e$ 形式 $G/K$ $\varphi(e)$ 的邻域的基本系统。我们要证明$h(\varphi(e))$的$h$包含邻域下有$\varphi(V.K)$的像，即$G_\beta$中存在$\beta \geq \alpha$和$e_\beta$的邻域$W_\beta$这样那个$\overline{f}_\beta^{-1}(W_\beta . K_\beta) \subset V.K$。现在，关系$x \in V.K$等价于$K$中存在$y$，使得$f_\alpha(xy^{-1}) \in V_\alpha$，即$f_\alpha(x) \in V_\alpha \cdot f_\alpha(K)$；这样$V.K = \overline{f}_\alpha^{-1}(V_\alpha \cdot f_\alpha(K))$。让$U_\alpha = V_\alpha \cdot f_\alpha(K)$；我们将看到存在$\beta \geq \alpha$，如果我们放入$U_\beta = \overline{f}_{\alpha \beta}^{-1}(U_\alpha)$，我们就有$K_\beta \subset U_\beta$；然后，$G_\beta$中存在$e_\beta$的邻域$W_\beta$，使得$W_\beta . K_\beta \subset U_\beta$（章II, § 4, no. 3，命题4的推论），这将建立所需的关系

我们继续进行*归谬法*：对于每个$\beta \geq \alpha$，让$M_\beta$表示$K_\beta \cap G U_\beta$；由于$f_{\beta \gamma}^{-1}(U_\beta) = U_\gamma$如果$\alpha \leq \beta \leq \gamma$，$G_\beta$的紧凑子集的$M_\beta$形式逆系（对于$\beta \geq \alpha$）。如果它们都非空，那么它们的逆极限 $M$ 也将非空（章 I, § 9, no. 6，命题 8）。显然$M \subset K$和$f_\alpha(M) \subset M_\alpha$；但这是荒谬的，因为$f_\alpha(K) \subset U_\alpha$，因此证明是完整的。

(AP) 对于每个 $\alpha \in I$，$H_\alpha$ 在 $G$ 中闭合，并且$G$ 包含中的单位元素 $e$ 的每个邻域在$H_\alpha$ 之一中闭合（在其他字中，形成过滤器基由$H_\alpha$收敛到$e$）。

那么映射$i : G \to \tilde{G} = \varprojlim G / H_\alpha$是$G$到$i(G)$的严格态射； $\tilde{G}$ 是 Hausdorff，$i(G)$ 是$\tilde{G}$ 的稠密；最后$i$的核是$G$中$\{e\}$的闭包。如果在加法中 $H_\alpha$ 之一是完整的，则 $i$ 是满射的。

显然，$G_\alpha = G / H_\alpha$ 是 Hausdorff（§ 2, no. 5，命题 13），因此 $\tilde{G}$ 也是豪斯多夫（$\prod_{\alpha \in I} G_\alpha$ 的子空间）。 $i$的核$H$是$H_\alpha$的交，因此是$G$的闭子群。由于 $e$ 包含的每个邻域都有一些 $H_\alpha$，因此它有包含 $H$，因此 [§ 3, no. 1, 公式 (1)] $H$ 是 $\{e\}$ 的闭包。接下来让我们证明$i(G)$在$\tilde{G}$中是稠密的。设$f_\alpha$为典范映射$\tilde{G} \to G_\alpha$，即投影$pr_\alpha$的限制到$\tilde{G}$； $\varphi_\alpha = f_\alpha \circ i$ 是典范映射 $G \to G/H_\alpha$。如果$U$是$\tilde{G}$的任何非空开集合，则$G_\alpha$中存在指标$\alpha \in I$和非空开集合$U_\alpha$，使得$\overline{f}_\alpha^{-1}(U_\alpha) \subset U$（章） I, § 4, no. 4、命题9)；因此

但由于$\varphi_\alpha$是满射，$\overline{i}^{-1}(U)$不为空，因此$i(G) \cap U \neq \emptyset$。

要看到$i$是$G$到$i(G)$的严格态射，请考虑$G$中$e$的邻域$V$。 $G$中有$e$的邻域$W$使得$W^2 \subset V$，以及指标$\alpha \in I$使得$H_\alpha \subset W$；由此可见$V$包含于$WH_\alpha = \overline{\varphi}_\alpha(\varphi_\alpha(W)) = \overline{i}^{-1}(\overline{f}_\alpha^{-1}(\varphi_\alpha(W)))$。由于$\overline{f}_\alpha(\varphi_\alpha(W))$是$\tilde{G}$中单位元素的邻域，因此结果如下。

最后，假设有指标$\gamma \in I$使得$H_\gamma$完整。要证明$i$是满射，只需证明每个家庭$(T_\alpha)_{\alpha \in I} \in \tilde{G}$都有一个非空交即可。由于$T_\gamma$是从$H_\gamma$翻译而来，因此它是$G$的完整子空间（相对于左右均匀性）。此外，由于$G$包含中$e$的每个邻域$U$，$H_\alpha$、相应的集合$T_\alpha$之一都是$U_{d-}$（或$U_{s-}$）小，因此$T_\gamma$中包含的$T_\alpha$的集合是柯西滤波器基；因此它收敛于$T_\gamma$，并且由于$T_\alpha$在$G$中闭合（因为它们是$H_\alpha$的翻译），因此它们的交不为空。

Q.E.D.

对于$\tilde{G}$则完备（no. 2），命题2表明$i(G)$与与$G$相关的Hausdorff群同构；由于 $\tilde{G}$ 是稠密的，因此推论如下 ($§ 3$, no. 3, 命题 5)。特别是：

$G$ 的子群 $H_\alpha$ 是开路，因此也是闭路（$\S$ 2、no. 1，命题 4 的推论），$G/H_\alpha$ 是离散的（$\S$ 2、no. 6、命题 18）；因此推论1的条件得到满足。

对于本小节的其余部分，我们将假设$G$是*Hausdorff*并且$(H_\alpha)$是$G$的*紧凑*正常子群的族，它相对于关系$H_\alpha \supset H_\beta$并且满足条件（AP）；凭借命题 2、映射

那么是拓扑群*的*同构，它允许我们认同$G$和$\tilde{G}$。我们用$f_\alpha$典范映射$G \to G/H_\alpha$表示。

对于 $E$ 是集合 $EV$ 的交，其中 $V$ 穿过 $e$ 的邻域过滤器 [$\S$ 3, no. 1, 公式 (1)]，并且每个$e$ 包含和 $H_\alpha$ 中的邻域；从 $E \subset EH_\alpha$ 开始，从而结果。

a) 由于$H_\alpha$是紧的，$LH_\alpha$在$G$中闭（$\S$4，no. 1，命题1，推论1），因而$L_\alpha$在$G_\alpha$中闭。由于$i$识别拓扑群$G$和$\varprojlim G_\alpha$，并且由于$\varprojlim L_\alpha$可以用$\varprojlim G_\alpha$的（拓扑）子群识别，$i$识别子群$\bigcap_\alpha LH_\alpha$$G$与 $\varprojlim L_\alpha$，并证明第一个断言注 $L = \bigcap_\alpha LH_\alpha$ 乘以引理 1 就足够了。 另一方面，如果 $L$ 是正常的，那么对于每个 $\alpha \in I$ 映射 $f'_\alpha : G/L \to G_\alpha/L_\alpha$ 诱导$f_\alpha$ 是满射严格态射 ($\S$ 2, no. 8, 注 3)，其核是紧致的 $G/L$、典范像的*紧凑*正规子群 $H_\alpha L/L$ 子群 $H_\alpha$ 共 $G$。由于 $G/L$ 满足条件 (AP) (§ 2, no. 8, 命题 24) 的子群 $H_\alpha L/L$，并且由于 $G/L$ 是 Hausdorff，所以 a) 的最后一个断言是 的推论命题2.

b) 设$f'_{\alpha \beta}$为$f_{\alpha \beta}$到$L_\beta$($\alpha \leq \beta$)中的限制。那么$(L_\alpha, f'_{\alpha \beta})$就是拓扑群的逆系，其逆极限$L$可以与$G$的子群$G \cap \prod_\alpha L_\alpha$等同。到假设，$f'_{\alpha \beta}$是满射，它的核是$L_\beta$的紧子群$f_\beta(H_\alpha) \cap L_\beta$；因而（章I, § 9, no. 6，推论1到命题8）我们对所有$\alpha \in I$都有$L_\alpha = f_\alpha(L)$。如果$L'$是$G$的另一个闭集子群，使得$f_\alpha(L') = L_\alpha$对于所有$\alpha \in I$，则$L'H_\alpha = \overline{f'}_\alpha(L_\alpha)$，从而（引理1）$L' = \bigcap_\alpha L'H_\alpha = \bigcap_\alpha \overline{f'}_\alpha(L_\alpha) = L$。最后，b) 的最后一个断言由公式 $L = \bigcap_\alpha \overline{f'}_\alpha(L_\alpha)$ 得出，因为 $\overline{f'}_\alpha(L_\alpha)$ 现在是 $G$ 的正常子群。

命题是以下引理中的推论：

一旦建立了引理，我们将为每个$\alpha \in I$拥有$f_\alpha(C) = C_\alpha$，并且由于$C$是$G$的闭子群（§ 2, no. 2，命题7），因此足以满足应用命题3a）。

为了证明引理，首先注意如果$C'$是$G'$中单位元素$e'$的分量，那么$\varphi(C) \subset C'$自$\varphi(C)$是连通的。假设$\varphi(C) \neq C'$。由于$C$是$G$的闭法线子群（§ 2, no. 2，命题7），$\varphi(C)$是$G'$的法线子群；如果 $\psi$ 是典范映射 $G' \to G'/\varphi(C)$，则 $\psi(C')$ 是连通的，并且不只由单位元素组成；因而$G'/\varphi(C)$的恒等分量并不单独由单位元素组成。但$G'/\varphi(C)$与$(G/H)/(HC/H)$同构的，因此与$G/HC$同构的，因此也与$(G/C)/(HC/C)$同构的（§ 2, no. 7，命题22和命题20的推论）。现在，$G/C$是Hausdorff并且完全断开（章I, § 11, no. 5，命题9），并且$HC/C$是$G$的紧致法线子群$H$的典范像，是一个紧致子群共 $G/C$。因而，足以证明在额外的假设下引理2$G$是*完全断开的*，即$C = \{e\}$。

假设$C' \neq \{e'\}$； 替换$G$通过其完全断开的子群$\overline{f'}(C')$和包含$H$，我们可以假设$G'$是*连接的*并且不由单个点组成。

令$\mathfrak{M}$为$G$的闭子群$L$的集合，使得$LH = G$。 我们将证明按关系$\supset$排序的集合$\mathfrak{M}$是*归纳的*。 事实上，如果$\mathfrak{T}$是$\mathfrak{M}$的线性有序子集，那么对于集合$xH \cap L$和$L \in \mathfrak{T}$的每个$x \in G$集合来说，是一个由紧凑空间中封闭的集合形成的过滤器基 $xH$；因此这些集合中的交不为空，这表明子群$L \in \mathfrak{T}$属于到$\mathfrak{M}$中的交。 应用 Zorn 的引理，因此我们看到 $\mathfrak{M}$ 有一个*最小* 元素 $L_0$。 由于$H$是紧的，$G/H = L_0H/H$与$L_0/(L_0 \cap H)$同构的（§ 4, no. 1，命题 1，推论3）；由于 $L_0$ 是完全断开的，而 $L_0 \cap H$ 是紧致的，我们发现我们可以通过 $L_0$ 来实现替换 $G$；在其他字中，我们可以假设在加法中*不*存在闭合的子群$L \neq G$使得$LH = G$。

现在让$F$是单位元素的邻域的交，它们在$G$中都是开闭的，并且让我们证明$F$是$G$的闭子群。显然$F$在$G$是闭合的；因此只要证明$F^{-1}F \subset F$就足够了。但如果$x \in F$且$V$是$G$中$e$的开闭邻域，那么$xV$也是；否则，$e$将属于对$G$中$xV$的补$W$进行补充，这又是开闭的，我们应该有$x \notin W$；因此$x \notin F$，与假设相反。由此可见，集合$xV$的$xF$、交与$V$一样，贯穿$G$、包含$F$中$e$的开闭邻域；另外字、$x^{-1}F \subset F$，这就证明了我们的断言。由于 $G$ 与 $G \neq \{e\}$ 完全断开，因此我们有 $F \neq G$。但如果$V$是$G$中$e$的开闭邻域，那么$VH$在$G$中也是开闭的（§ 4, no. 1，推论1到命题1），因此$\varphi(V)$在$G/H$，这意味着$\varphi(V) = G/H$凭借假设。我们将从这个$FH = G$得到结论，这将给我们所需的矛盾并完成引理的证明。事实上，对于每个$x \in G$，$xH$满足$e$的每个邻域$V$，既开又闭，因此也满足这些邻域中的交$F$，因为集合$Vx \cap H$ 形式过滤器基由……组成封闭式集合位于紧凑型空间 $xH$ 中。

Q.E.D.