我们已经知道（§ 2, no. 1，命题 1）$\overline{H}$是$G$的子群。另外，如果$\alpha$是$G$上的任意运算符，则连续映射$x \to x^\alpha$下的$H$的像包含在$H$中，因此$\overline{H}$的像包含在$\overline{H}$中（章I, § 2, no. 1，定理1）。

令 $H$ 为具有算子的拓扑群 $G$ 的稳定法线子群。那么对于$G$上的每个算子$\alpha$，由$x \to x^\alpha$诱导的$G/H$的映射是连续的（§ 2, no. 8，注3），并且群的结构与$G/H$上的算子因此与$G/H$上的商拓扑兼容。

令$(G_i)_{i \in I}$为具有运算符的拓扑群族，其中每个$G_i$被假定具有相同的运算符集合$\Omega$。对于每个$\alpha \in \Omega$，$G = \prod_{i \in I} G_i$的映射$x \to ((\mathrm{pr}_i x)^\alpha)$自身是连续的（章I, § 4, no. 1，命题1），并且群的结构与$G$上的运算符兼容乘积拓扑于$G$。

如果 $G$ 是带有运算符的 Hausdorff 拓扑群，并且 $G$ 具有完成$\hat{G}$ (§ 3, no. 4)，则由 $G$ 上的运算符定义的 $G$ 的每个自同态 $x \to x^\alpha$ 可以通过连续性扩展为自同态共 $\hat{G}$（§ 3, no. 3、命题 5）。因此，$\hat{G}$具有带有运算符的拓扑群的结构，并且运算符集合对于$\hat{G}$和$G$是相同的。

对于映射$x \to (p_i(x))$是映射$(x_i) \to \sum_{i=1}^n x_i$的倒数。

由于$1 = \sum_{i=1}^n P_i$（其中$1$表示$E$的恒等映射），投影算子$p_i$中的$n - 1$在阶中连续就足够了，因此$n$也应该是连续的。

如果$E$是两个稳定子群$M, N$的拓扑直和，则$N$被称为$E$中$M$的“拓扑补”；当且仅当 $E/M$ 的典范映射是具有运算符的拓扑群的 同构 时，才是这种情况。

a) $M$ 在 $E$ 中有一个拓扑补集。

b) 在 $E$ 中存在连续的投影算子 $p$ $E$，使得 $p(E) = M$。

c) $M$的恒等映射可以扩展到$E$的连续线性映射到$M$。

由命题 2 可知，a) 蕴涵 b)，并且显然 b) 蕴含 c)。最后，如果$p$是$E$的连续线性映射到$M$，其中$M$的扩展恒等映射，则$p$是连续的投影算子，并且投影算子$p$和$1 - p$ 与直和分解 $E = M + N$ 相关联，其中$N = \overline{p}(0)$。

条件是*必要的*。因为我们有 $u(v(F)) = F$ 和 更不必说 $u(E) = F$；此外，如果$p = v \circ u$，则$p$是$E$自身的连续线性映射，使得$p^2 = p$；因此（命题 2 的推论）$p(E) = v(u(E)) = v(F)$ 在 $E$ 中具有拓扑补集 $\overline{p}(0)$；但从$u(p(x))) = u(x)$到假设，我们有$\overline{u}(0) = \overline{p}(0)$。最后，$E/\overline{u}(0)$到$F$的双射映射，与$u$相关，是$E/\overline{u}(0)$到$v(F)$的双射映射的合成，与$p$相关，以及限制 $u$至$v(F)$；由于$v$是连续的，所以这些映射都是同构，因此$u$是$E$到$F$的严格态射。

条件*足够*。因为如果$\varphi$是E到$E/\overline{u}^1(o)$上的典范同态，那么说$\overline{u}^1(o)$在E中具有拓扑补M就是说$\varphi$到M的限制是M到$E/\overline{u}^1(o)$上的同构。另一方面，由于$u = w \circ \varphi$，其中w是$E/\overline{u}^1(o)$到F的同构，我们看到u到M的限制是M到F的同构，因此逆同构v使得$u \circ v$是F到其自身的恒等映射。

条件是“足够的”，因为如果它们满足，我们可以通过将 u(E) 的同构的合成取到作为 u 的逆的 E 上，并将 F 的连续投影算子取到 u(E) 上，从而获得 u 的左逆 v。

条件是*必要的*。对于关系$v(u(x)) = x$显示$\overline{u}^1(o) = \{ o \}$；因此，u 是 E 到 u(E) 上的双射，并且由于 v 到 u(E) 的限制是连续的，因此 u 是 E 到 u(E) 上的同构。另一方面，如果我们将$q = u \circ v$，则q是F的连续线性映射到u(E)上，使得$q^2 = q$，这证明（命题2的推论）u(E)在F中具有拓扑补集。

证明与 § 2 中的命题 8 相同，n。 3：如果例$K$是$H$上的左理想，则映射$(z, x) \to zx$在$A \times A$和映射$H \times K$上连续到$K$；因此它映射$A \times K = \overline{H} \times K$变成$\overline{H}$。

令 $H$ 为拓扑环 $A$ 中的*双面*理想。通过与商群相同的论证，我们看到$A$的拓扑除以关系$x - y \in H$的*商*与$A/H$的环结构兼容。特别是，如果$A$不是豪斯多夫，那么$A$中$\{0\}$的闭包$N$是一个*封闭的双边理想*，通过命题5； 商环，即 Hausdorff ($\S$ 2, no. 5, 命题 13) 称为与* $A$ 伴随的 *Hausdorff 环。

设$(A_i)_{i \in I}$是拓扑环的族。在集合$A = \prod_{i \in I} A_i$上，$A_i$拓扑的*乘积*与$A_i$的环结构的乘积兼容（证明与乘积群相同）；这样定义的拓扑环$A$称为拓扑环$A_i$的*乘积*。

令$(x_0, y_0)$为$E \times F$的任意点，令$\mathfrak{U}, \mathfrak{B}$分别为$x_0, y_0$的邻域滤波器在A、B上的迹（$\mathfrak{U}, \mathfrak{B}$是滤波器，通过假设）。为了证明 f 可以通过连续性扩展，只需证明 $f(\mathfrak{U} \times \mathfrak{B})$ 是基于 G 的柯西滤波器（章 II, § 3, no. 6，命题 11）。考虑身份

我们将证明，通过在$\mathfrak{U} \times \mathfrak{B}$足够小的集合中取$(x, y)$和$(x', y')$，并适当选择$x_1$和$y_1$，我们可以使右侧的每个项变得非常小。设W为G中0的任意邻域；由于 f 在 $(0, 0) \in A \times B$ 处连续，因此存在集合 $U \in \mathfrak{B}$ 和集合 $V \in \mathfrak{B}$，使得只要 $x \in U, x' \in U, y \in V, y' \in V$ 就有 $f(x' - x, y' - y) \in W$。取点$x_1 \in U$和点$y_1 \in V$；那么对于 U 中的所有 $x, x'$ 和 V 中的所有 $y, y'$，我们将有

另一方面，部分映射$x \to f(x, y_1)$在A上连续；因而，有集合$U' \subset U$，属于到$\mathfrak{U}$，这样，每当$x$和$x'$属于到$U'$，我们就有$f(x' - x, y_1) \in W$。同样，存在$V' \subset V$属于到$\mathfrak{B}$，这样，只要$y$和$y'$属于到$V'$，我们就有$f(x_1, y' - y) \in W$。因而，如果$(x, y)$和$(x', y')$是$U' \times V'$中的任意两个点，那么

这就证明了f的扩张$\overline{f}$的存在性。 $\overline{f}$是$\mathbf{Z}$双线性的事实是恒等式扩张原理直接的推论（章I, § 8, no. 1，推论1到命题2）。

Q.E.D.

将此定理应用于豪斯多夫拓扑环 A，我们取E、F和G为$\hat{A}$，A和B为环 A，f为

(*) $f$ 被称为 $\mathbf{Z}$ 双线性，如果对于 A 的所有元素 $x, x'$ 和所有元素 $y, y' \in B$ 我们有

$\mathbf{Z}$双线性映射$(x, y) \to xy$，到假设是连续的。我们再次用$\hat{A} \times \hat{A}$上扩展的函数的$xy$值表示；这个函数是$\hat{A}$上合成的律，说它是$\mathbf{Z}$双线性意味着它相对于加法在两边都是可分配的；而且它也是*关联的*，由原理或扩张的恒等式组成。因而：

如果$A$是*可交换的*（分别*具有单位元素*），那么$\hat{A}$也是如此（扩张恒等式的原理）。

设$A$是拓扑环，不一定是Hausdorff；令$N$为$A$中$\{0\}$的闭包，令$A' = A/N$为与$A$相关的豪斯多夫环。那么$\hat{A}'$，即$A'$的完成，称为$A$的*豪斯多夫完成*，也用$\hat{A}$表示。如§ 3, no. 4，命题 8 所示，$A$ 的每个连续环同态 $u$ 具有*完整的 Hausdorff* 拓扑环 $C$ 都可以唯一因式分解为 $u = v \circ \varphi$，其中$v$是$\hat{A}$到$C$的连续同态，$\varphi$是$A$到$\hat{A}$的典范映射。如果$A, B$是两个拓扑环，并且$u : A \to B$是连续的同态，则存在唯一的连续同态$\hat{u} : \hat{A} \to \hat{B}$使得图表

是可交换的（$\varphi$ 和 $\psi$ 是典范映射）；我们只需将前面的结果应用到$\psi \circ u$即可。

存在拓扑划分环，其中条件不满足，并且其中环$\hat{K}$具有零因子（参见习题26）。此外，即使完成$\hat{K}$是拓扑除法环，也没有*先验*理由假设$\hat{K}$的*乘法*结构是*完备的*空间的结构。然而，对于除法环 K 来说，$\hat{K}$ 是*局部紧凑*（参见章 I, § 9, no. 7、命题 13 和章 III, § 3, no. 3、命题 4）以及拓扑 域；对于后者，我们有以下命题：

我们将证明，如果 $\mathfrak{F}$ 是关于 K* 上的*乘法* 结构的柯西滤波器，则 $\mathfrak{F}$ 是关于 K* 上的*加法* 结构的柯西滤波器，并且不收敛于 0；这将确定结果。设 U 为 K 中任何 0 的邻域，令 V 为 0 的闭邻域，使得 $V \subset U, VV \subset U$ [公理 (AV$_\text{II}$)] 和 $-1 \notin V$；那么到假设时，就有集合 $A \in \mathfrak{F}$，这样，对于所有 $x \in A$ 和 $y \in A$，我们就有 $x^{-1}y \in 1 + V$。设$a \in A$，然后$A \subset a + aV$，$a + aV$是一个闭集合，包含不为0；因而 0 不在 A 的闭包中，因此不是 $\mathfrak{F}$ 的簇点。令 W 为 0 的邻域，使得 $aW \subset V$ [公理 (AV$_\text{I}$)]；那么到假设就有集合$B \in \mathfrak{F}$这样$B \subset A$，并且对于所有$x \in B$和$y \in B$，我们有$x^{-1}y \in 1 + W$；因而$y - x \in xW \subset AW \subset aW + aVW$；但 K 是可交换的，因而 $aVW = aWV \subset VW \subset U$；从而$y - x \in U + U$和命题得证。