§ 7. Limits · 一般拓扑

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7. Limits

1. 过滤器的极限

定义 1 0B5B

令 $X$ 为拓扑空间， $\mathfrak{F}$ 为 $X$ 上的过滤器。点 $x \in X$ 据说是 $\mathfrak{F}$ 的极限点（或简称极限），如果 $\mathfrak{F}$ 是更细比邻域过滤 $x$ 的 $\mathfrak{B}(x)$ ； $\mathfrak{F}$ 也被称为收敛（或将收敛）到 $x$ 。点 $x$ 据说是滤波器基 $\mathfrak{B}$ 在 $X$ 上的极限，*并且* $\mathfrak{B}$ 据说收敛到 $x$ ，*如果滤波器的基是* $\mathfrak{B}$ 收敛到 $x$ 。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 4, I § 6

被以下引用命题 1

这个定义与 § 6, no. 3 的命题 4 一起给出以下标准：

命题 1 0B5C

A filter base* $\mathfrak{B}$ on a topological space $X$ converges to $x$ if and only if every set of a fundamental system of neighbourhoods of $x$ contains a set of $\mathfrak{B}$ .

引用了 4

引用了 I § 1. 营业集合、邻域、休息集合, 命题 3, I § 2, 定义 1, I § 6. 过滤器

根据§ 1, no. 2中引入的术语，我们可以用以下方式陈述命题1：当且仅当 $\mathfrak{B}$ 有集合*尽可能接近* $x$ 时， $\mathfrak{B}$ 收敛于 $x$ 。

如果过滤器 $\mathfrak{F}$ 收敛到 $x$ ，则由于定义 1，每个过滤器*更细*比 $\mathfrak{F}$ 也会收敛到 $x$ 。同样，如果 $X$ 的拓扑被*粗略*拓扑替换， $x$ 的邻域过滤器被*粗化*过滤器（ $\S$ 2、no. 2、命题3）取代，因此在这个新的拓扑中 $\mathfrak{F}$ 仍然收敛到 $x$ 。

因此我们可以说*更细拓扑，这个拓扑*中的收敛滤波器越少。特别是，在离散拓扑中，唯一的收敛滤波器是邻域滤波器，因为这些是 $X$ （ $\S$ 6，no. 4）上的普通超滤波器。

令 $\Phi$ 为 $X$ 上滤波器的集合，所有这些都收敛到相同的点 $x$ ；邻域过滤器 $\mathfrak{B}(x)$ 比 $\Phi$ 的所有过滤器更粗糙，因此也比这些过滤器的*交* $\mathfrak{J}$ 更粗糙；在其他字中， $\mathfrak{J}$ 也收敛于 $x$ 。

命题 2 0B5D

过滤器* $\mathfrak{F}$ 在拓扑空间 $X$ 收敛到点 $x$ 当且仅当每个更细比 $\mathfrak{F}$ 收敛到 $x$ 。

引用了 2

引用了命题 7, I § 6, I § 8. 豪斯多夫空间和常规空间

这是前面的注的直接的推论和§ 6, no. 4的命题7。

一般来说，一个过滤器可以有*几个不同的极限点*；我们将在§ 8, no. 1回到这个问题。

2. 过滤器基的集群点

定义 2 0B5E

在拓扑空间* $X$ 中，*点* $x$ 是过滤器基 $\mathfrak{B}$ 在 $X$ 上的集群点，如果它位于 $\mathfrak{B}$ 的所有集合的闭包中。

引用了 1

引用了推论, I § 6

如果 $x$ 是过滤器基 $\mathfrak{B}$ 的集群点，则由于§ 6, no. 3，它也是每个“等效”过滤器基的集群点，推论到命题4；特别地， $x$ 是*过滤器*的集群点，其基是 $\mathfrak{B}$ 。

命题 3 0B5F

点 x 是滤波器基 B 的簇点当且仅当 x 的邻域的基本系统的每个集合满足 B 的每个集合。

引用了 1

引用了推论 2, I § 6

这立即从定义开始。

这个命题和§ 6, no. 2的推论2到命题1表明性质“x是过滤器 $\mathfrak{F}$ 的簇点”等价于性质“存在一个比 $\mathfrak{F}$ 和邻域过滤器都更细的过滤器x”。其他字：

命题 4 0B5G

点 x 是过滤器 $\mathfrak{F}$ 的簇点当且仅当存在一个比 $\mathfrak{F}$ 收敛到 x 的过滤器更细。

被以下引用 1

被以下引用推论 2, II § 3

特别是，过滤器 $\mathfrak{F}$ 的每个*极限点*都是 $\mathfrak{F}$ 的*集群点*。

推出 0B5H

当且仅当 x 是 $\mathfrak{U}$ 的簇点时，ultrafilter $\mathfrak{U}$ 收敛于点 x。

被以下引用 1

被以下引用定义 1, I § 9

如果x是过滤器 $\mathfrak{F}$ 的集群点，那么它也是每个比 $\mathfrak{F}$ *粗糙*的过滤器的集群点；同样，如果我们通过*粗化*拓扑对X进行替换拓扑，则x在新的拓扑中仍然是 $\mathfrak{F}$ 的集群点。

X 上过滤器基 $\mathfrak{B}$ 的集群点的集合由定义集合 $\bigcap_{M \in \mathfrak{B}} \overline{M}$ 、从而组成

命题 5 0B5I

拓扑空间X上过滤器基的集群点的集合在X中闭合。

被以下引用 1

被以下引用命题 8

命题 6 0B5J

令 $\mathfrak{B}$ 为拓扑空间X的子集A上的过滤器基。然后X属于到 $\overline{A}$ 中 $\mathfrak{B}$ 的每个簇点；相反， $\overline{A}$ 的每个点都是 A 上滤波器的极限点。

第一个断言是微不足道的；另一方面，如果 $x \in \overline{A}$ ，则X中x的邻域滤波器在A上的迹是A上的滤波器，显然收敛于x。

注 0B5K

拓扑空间上的过滤器不需要有集群点（并且*更不必说*没有极限点）；对于例，在*无限离散空间*中，有限子集的补集过滤器没有簇点。空间，其中每个过滤器都有一个簇点在数学中发挥着重要作用，我们将在§ 9中研究它们。

3. 极限点和点 OF 函数

定义 3 0B5L

设f为集合X的映射到拓扑空间Y，并令 $\mathfrak{F}$ 为X上的过滤器。如果 y 是极限点（分别是簇），则相对于过滤器 $\mathfrak{F}$ ，点 $y \in Y$ 被认为是 f 的极限点（或简称为极限）（分别是簇点）过滤器基 $f(\mathfrak{F})$ 的点）。

关系“y 是 f 相对于过滤器 $\mathfrak{F}$ 的极限”如果不存在混淆的风险，则写作 $\lim_{\mathfrak{F}} f = y$ 、 $\lim_{x, \mathfrak{F}} f(x) = y$ 或 $\lim_x f(x) = y$ 。

从定义 3 和命题 1 (no. 1) 和 3 (no. 2) 我们推导出以下判据：

命题 7 0B5M

点 $y \in Y$ 相对于过滤器 $\mathfrak{F}$ 是 $f$ 的极限当且仅当，对于 $Y$ 中 $y$ 的每个邻域 $V$ ，存在集合 $M \in \mathfrak{F}$ 使得 $f(M) \subset V$ （即 $\overline{f}(V) \in \mathfrak{F}$ 对应邻域 $V$ / $y$ ）。* *点 $y \in Y$ 是 $f$ 相对于 $\mathfrak{F}$ 的集群点当且仅当对于 $y$ 的每个邻域 $V$ 且每个 $M \in \mathfrak{F}$ 有点 $x \in M$ 这样 $f(x) \in V$ .

被以下引用 2

被以下引用 § 7. Limits, 命题 10

例 1 0B5N

一个拓扑空间的点 $(x_n)_{n \in \mathbf{N}}$ 序列是 $\mathbf{N}$ 映射 $n \to x_n$ 到 $X$ 。在数学分析中，经常使用极限点的概念和映射的集群点*相对于 $\mathbf{N}$ 上的Fréchet过滤器*（§ 6, no. 1）；如果相对于 Fréchet 滤波器， $y$ 是 $n \to x_n$ 的极限，则 $y$ 被称为序列* $(x_n)$ *极限 因为 n 趋于无穷大，我们写为 $\lim_{n \to \infty} x_n = y$ 。相对于 Fréchet 滤波器，映射 $n \to x_n$ 的集群点称为序列* $(x_n)$ 的*集群点。

Thus a point $y \in X$ is a limit (resp. cluster point) of a sequence $(x_n)$ of points of $X$ if it is a limit point (resp. cluster point) of the elementary filter associated with $(x_n)$ (§ 6, no. 8).

点 $y$ 是 $X$ 中序列 $(x_n)$ 的极限当且仅当，对于 $X$ 中 $y$ 的*每个*邻域 $V$ ，*除了有限的数之外序列* $(x_n)$ 中的项在 $V$ 中，即存在整数 $n_0$ ，使得所有 $n \geq n_0$ 都有 $x_n \in V$ 。同样， $y$ 是序列 $(x_n)$ 的集群点当且仅当，对于 $X$ 中 $y$ 的*每个*邻域 $V$ 和*每个*整数 $n_0$ ，有整数 $n \geq n_0$ 使得 $x_n \in V$ 。

引用了 1

引用了 I § 6. 过滤器

例 2 0B5O

更一般地，令 $f$ 是*有向*集合 $A$ 到拓扑空间 $X$ 的映射。如果相对于 $A$ 的*截面过滤器*， $x \in X$ 是 $f$ 的极限（分别是簇点），则 $x$ 被称为*极限*（分别是*簇点*） $f$ 相对于有向集合 $A$ ，我们写为 $x = \lim_{z \in A} f(z)$ 。

如果相对于 $X$ 上的过滤器 $\mathfrak{F}$ ， $y$ 是映射 $f : X \to Y$ 的极限（分别是集群点），则 $y$ 仍然是 $f$ 的极限（分别是集群点）相对于 $\mathfrak{F}$ ，如果我们通过*粗略*拓扑对 $Y$ 进行替换拓扑，或者如果我们通过*更细*（或*粗略*）过滤器对替换进行过滤 $\mathfrak{F}$ 。

命题 8 0B5P

令 $f$ 为集合 $X$ 的映射变成拓扑空间 $Y$ ；那么 $y \in Y$ 是 $f$ 相对于 $\mathfrak{F}$ 的集群点当且仅当 $X$ 上有一个过滤器 $\mathfrak{G}$ ，它比 $\mathfrak{F}$ 更细并且 $y$ 是 $f$ 的极限关于 $\mathfrak{G}$ .

引用了 4

引用了 I § 6. 过滤器, 命题 1, I § 6, 推论 2, I § 6, 命题 5

因为如果 $y$ 是 $f$ 相对于 $\mathfrak{F}$ 的集群点，并且如果 $\mathfrak{B}$ 是 $y$ 的邻域过滤器，则 $\overline{f}^{-1}(\mathfrak{B})$ 是 $X$ 上的过滤器基，因为每集合 $\overline{f}^{-1}(\mathfrak{B})$ 满足 $\mathfrak{F}$ （§ 6, no. 6）的每一个集合。这个注还表明， $X$ 上有一个过滤器 $\mathfrak{G}$ ，它比 $\mathfrak{F}$ 和带有基 $\overline{f}^{-1}(\mathfrak{B})$ 的过滤器更细（§ 6, no. 2，命题1，推论2），因此 $y$ 相对于 $\mathfrak{G}$ 是 $f$ 的极限点。

最后注意，如果 $f$ 是集合 $X$ 的映射进入拓扑空间 $Y$ ，则 $f$ 的集群点的集合相对于 $X$ 上的过滤器 $\mathfrak{F}$ 是“封闭”的 $Y$ (no. 2, 命题 5) 并且可能为空。

注 0B5Q

如果相对于 $X$ 上的过滤器 $\mathfrak{F}$ ， $y \in Y$ 是映射 $f : X \to Y$ 的极限（分别是簇点），则 $y$ 也是每个的极限（分别是簇点）函数 $g : X \to Y$ 与 $f$ 相对于 $\mathfrak{F}$ (§ 6, no. 9) 具有*相同的胚芽*；相对于 $\mathfrak{F}$ ， $y$ 据说是*极限*（分别是*簇点*）*胚芽* $\tilde{f}$ *的* $f$ 。

引用了 1

引用了 I § 6. 过滤器

4. 极限和连续性

设 $X, Y$ 为 $X$ 的两个拓扑空间、 $f$ 映射入 $Y$ 、 $\mathfrak{B}$ 邻域过滤在点 $a \in X$ $X$ 中。我们使用特殊的记号，而不是相对于过滤器 $\mathfrak{B}$ 并写入 $y = \lim_{\mathfrak{B}} f$ ， $y \in Y$ 是 $f$ 的极限，而不是说。

y = \lim_{i \in I} f(x),

我们说 $y$ 是* $f$ *在点* $a$ 的*极限，或者 $f(x)$ *倾向于* $y$ *作为* $x$ *倾向于* $a$ 。同样， $y$ 是 $f$ 相对于 $\mathfrak{B}$ 的集群点，而不是说，我们说 $y$ *是* $f$ *在点* $a$ 的集群点。

考虑定义的连续性 (§ 2, no. 1, 定义 1) 命题 7 of no. 3表明：

命题 9 0B5R

映射* $f$ 拓扑空间 $X$ 到拓扑空间 $Y$ 在点 $a \in X$ 当且仅当 $\lim_{i \in I} f(x) = f(a)$ 。

被以下引用 6

被以下引用命题 10, 推论 1, 例 3, III § 1, 注, III § 6, 命题 10, IX § 2, 定理 4, X § 3

推论 1 0B5S

设* $X, Y$ 为 $X$ 的两个拓扑空间、 $f$ 映射进入 $Y$ ，在点 $a \in X$ 连续； 然后，对于每个过滤器基 $\mathfrak{B}$ 在 $X$ 上收敛到 $a$ ，*过滤器基* $f(\mathfrak{B})$ 收敛到 $f(a)$ 。 相反，如果对于每个超滤器 $\mathfrak{U}$ 在 $X$ 收敛到 $a$ ，*超滤器基* $f(\mathfrak{U})$ 收敛到 $f(a)$ ，*则* $f$ 在 $a$ 处连续。

引用了 3 · 被以下引用 6

引用了命题 5, I § 6, 命题 7, I § 6, 命题 9

被以下引用命题 10, 例 3, III § 1, 命题 5, III § 5, 注, III § 6, 命题 10, IX § 2, 定理 4, X § 3

第一个断言是命题9的直接的推论。为了证明第二个 $f$ 在 $a$ 不连续；那么Y中存在 $f(a)$ 的邻域W，使得 $\overline{f}^{-1}(W)$ 不属于到X中 $a$ 的邻域的过滤器 $\mathfrak{B}$ 。因此（§ 6, no. 4，命题 7）存在超滤器 $\mathfrak{U}$ ，更细比 $\mathfrak{B}$ ，它没有包含 $\overline{f}^{-1}(W)$ ，因此包含其补码 $A = X - \overline{f}^{-1}(W)$ （§ 6, no. 4，命题5);由于 $f(A) \cap W = \varnothing$ ， $f(\mathfrak{U})$ 不会收敛到 $f(a)$ 。

推论 2 0B5T

设g为集合Z的映射，形成拓扑空间X，其相对于Z上的过滤器 $\mathfrak{F}$ 有极限a；那么如果映射 $f : X \to Y$ 在 a 处连续，则合成 $f \circ g$ 的 $f(a)$ 相对于 $\mathfrak{F}$ 为极限点。

5. 极限相对于子空间

令X，Y为两个拓扑空间，令A为X的子集，令 $a \in X$ 为A的*闭包*的点（但不一定在A中）。令 $\mathfrak{F}$ 为X中 $a$ 的邻域过滤器A上的*迹*。如果 $f$ 是A到Y的映射，那么 $y \in Y$ 相对于 $\mathfrak{F}$ 是 $f$ 的极限并写成 $y = \lim_{\mathfrak{F}} f$ ，而不是说，我们写

y = \lim_{x \to a, x \in A} f(x)

我们说 $y$ 是 f 在 a 处的 极限，相对于子空间 A，或者说 $f(x)$ 趋向 y，而 x 趋向于 a，而留在 A 中。则我们有 $y \in f(A)$ 。

如果 $A = \mathbf{C}\{a\}$ 其中 $a$ 不是 X 的孤立点，那么我们写

y = \lim_{x \to a, x \neq a} f(x)

而不是 $y = \lim_{x \to a, x \in A} f(x)$ 。

我们对簇点进行类似的定义。

如果 $f$ 是映射 $g : X \to Y$ 到A的*限制*，我们说 $g$ 有极限（分别是簇点） $y$ 相对于A在点 $a \in \overline{A}$ ，如果 $y$ 是 $a$ 处 $f$ 的极限（分别是簇点），相对于 A。

令 B 为 A 的子集，令 $a \in X$ 为 B 闭包的点；如果 $y$ 是 $a$ 处的极限，*相对于*A，映射 $f : A \to Y$ ，则 $y$ 也是 $f$ 在 $a$ 处的极限，*相对于*B；逆命题不一定是真的。

但是，如果 V 是点 $a \in \overline{A}$ X 中的邻域，并且如果 $f$ 在 $a$ 处有极限 $y$ ，*相对于* $V \cap A$ ，则 $y$ 仍然是 $f$ 在 $a$ 的极限，*相对于* A。

设 $a$ 是X的*非孤立*点，因此 $a$ 位于 $\mathbf{C}\{a\}$ 的闭包中。那么映射 $f : X \to Y$ 在* $a$ *连续当且仅当我们有 $f(a) = \lim_{x \to a, x \neq a} f(x)$ ；这紧随定义而来。

6. 极限乘积空间和商空间

命题 10 0B5U

令 $X$ 为集合，令 $(Y_i)_{i \in I}$ 为空间的拓扑族，对于每个 $i \in I$ ，令 $f_i$ 为 $X$ 到 $Y_i$ 的映射。让 $X$ 被赋予最粗糙的拓扑 $\mathfrak{T}$ ，其中 $f_i$ 是连续的。那么，对于 $X$ 上的滤波器 $\mathfrak{F}$ 收敛到 $a \in X$ 的必要且充分的条件是，对于每个 $i \in I$ ，滤波器基 $f_i(\mathfrak{F})$ 应该收敛到 $Y_i$ 中的 $f_i(a)$ 。

引用了 4 · 被以下引用 3

引用了命题 4, I § 2, 命题 9, 推论 1, 命题 7

被以下引用引理 2, I § 10, 习题 13, § 9, 定义 2, X § 1

条件是必要的，因为 $f_i$ 是连续的（no. 4，命题 9，推论 1）。反之，假设满足条件，并令 $V$ 为 $a$ 在 $X$ 中的开邻域。通过 $\mathfrak{T}$ 的定义（§ 2, no. 3，命题 4），存在 $I$ 的有限子集 $J$ ，并且对于每个 $i \in J$ ，有 $Y_i$ 的开子集 $U_i$ ，这样 $f_i(a) \in U_i$ $i \in J$ $V$ 包含集合

\bigcap_{i \in J} f_i^{-1}(U_i).

假设意味着

f_i^{-1}(U_i) \in \mathfrak{F}

(no. 3, 命题 7)；由于

J

是有限的，因此

M = \bigcap_{i \in J} f_i^{-1}(U_i)

属于至

\mathfrak{F}

和

M \subset V

。这样就完成了证明。

推论 1 0B5V

乘积空间 $X = \prod_{i \in I} X_i$ 上的滤波器 $\mathfrak{F}$ 收敛到点 $x$ 当且仅当对于每个 $i \in I$ ，滤波器基 $\operatorname{pr}_i(\mathfrak{F})$ 收敛到 $\operatorname{pr}_i(x)$ 。

被以下引用 5

被以下引用引理 2, I § 10, 定理 3（吉洪诺夫）, I § 9, 命题 10, II § 3, 命题 10, IV § 5, 命题 11, IV § 5

推论 2 0B5W

令 $f = (f_i)$ 为集合 $X$ 的映射变成乘积空间 $Y = \prod_{i \in I} Y_i$ 。那么 $f$ 相对于 $X$ 上的过滤器 $\mathfrak{F}$ 具有极限 $y = (y_i)$ 当且仅当对于每个 $i \in I$ $f_i$ 相对于 $\mathfrak{F}$ 具有极限 $y_i$ 。

命题 11 0B5X

令 $R$ 为拓扑空间 $X$ 上的开等价关系，并令 $\varphi$ 为典范映射 $X \to X/R$ 。然后，对于每个 $x \in X$ 和 $X/R$ 上的每个过滤器基 $\mathfrak{B}'$ 收敛到 $\varphi(x)$ ， $X$ 上有一个过滤器基 $\mathfrak{B}$ 收敛到 $x$ 并且 $\varphi(\mathfrak{B})$ 是等价的到 $\mathfrak{B}'$ 。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了命题 5, I § 5

被以下引用习题 29, § 8

如果 $U$ 是 $X$ 中 $x$ 的任意邻域，则 $\varphi(U)$ 是 $X/R$ 中 $\varphi(x)$ 的邻域（§ 5, no. 3，命题5），因此有集合 $M' \in \mathfrak{B}'$ 使得 $M' \subset \varphi(U)$ ；如果我们放入 $M = U \cap \varphi^{-1}(M')$ ，则 $M' = \varphi(M)$ 。这表明，当 $M'$ 穿过 $\mathfrak{B}'$ 并且 $U$ 穿过 $x$ 的邻域过滤器时，集合 $U \cap \varphi^{-1}(M')$ 形式过滤器基 $\mathfrak{B}$ 在 $X$ 上；显然 $\mathfrak{B}$ 收敛于 $x$ ，并且 $\varphi(\mathfrak{B})$ 等价于 $\mathfrak{B}'$ 。

习题

参见习题为 § 7。