令$u, v$为$\mathscr{F}_\mathscr{S}(X; Y)$的两个元素，使得$(u, v) \in W(A, V)$对应于$Y$的每个随行人员$V$以及每个$A \in \mathscr{S}$。由于$Y$是Hausdorff，因此在每个集合$A \in \mathscr{S}$上都有$u$和$v$重合，并且由于$\mathscr{S}$涵盖$X$，我们必须有$u = v$。

令$V$为$Y$的随从，令$A_i \in \mathscr{S}_i (i = 1, 2)$；那么从定义紧接着，$W(A_1 \times A_2, V)$ 通过规范的双射与 $W(A_1, W(A_2, V))$ 进行识别，结果是直接的。

b) 设$X, X'$为二集合；令$\mathscr{S}$（或$\mathscr{S}'$）为$X$（或$X'$）的子集集合；设$Y$为统一的空间；并令$g : X' \to X$为映射，使得对于每个$A' \in \mathscr{S}'$，$g(A')$包含在$\mathscr{S}$的集合的有限并中。那么$\mathscr{F}_\mathscr{S}(X, Y)$到$\mathscr{F}_{\mathscr{S}'}(X'; Y)$的映射$u \to u \circ g$是均匀连续的。

这些命题是描述的直接的推论，是no. 2、注1中给出的$\mathscr{S}$收敛的均匀性的基本系统； 证明的细节留给读者去了解。 命题 4 特别意味着：

由于$B$中的逐点收敛的结构比$\mathscr{S}$收敛更粗糙，因此足以表明对于每个$A \in \mathscr{S}$和$Y$的每个封闭周边$V$，$W(A, V)$在$B$中相对于点式收敛的拓扑是封闭的（章II, § 3, no. 3、命题7）。现在$W(A, V)$随着$x$贯穿$A$而在映射$(u, v) \to (u(x), v(x))$下为$V$逆像交；这些映射相对于逐点收敛的拓扑是连续的（no. 2，注6），结果如下。

这紧接着命题 5。

对于每个关于$\mathscr{G}_2$收敛的柯西滤波器也是关于$\mathscr{G}_1$收敛的柯西滤波器，我们可以应用推论1。

令$\Phi$为$\overline{H}$和定义映射$v : X \to Y$的柯西滤波器，如下所示。如果$x \in B$，$\Phi(x)$是$\overline{H(x)}$（no. 2，注 6）上的柯西滤波器，因此到假设它至少有一个极限点；取 $v(x)$ 为其中极限之一。如果$x \notin B$，取$v(x)$为$Y$中的任意点。通过$v$的定义，很明显$\Phi$在$B$中逐点收敛到$v$，因此$v$是$\mathscr{F}_{\mathscr{G}}(X; Y)$中$\Phi$的极限乘命题5。

特别地，如果$Y$完整，则对于每个$H \subset \mathscr{F}(X; Y)$，满足命题5的推论3中的假设；因此：

因为如果$u, v$是连续的$X$到$Y$的映射，$X$到$Y \times Y$的映射$x \mapsto (u(x), v(x))$是连续的，因此对于所有$x \in A$来说$(u(x), v(x)) \in V$意味着假设对于所有 $x \in \overline{A}$（章 I, § 2, no. 1，定理 1），$(u(x), v(x)) \in \overline{V} = V$。

如果$\bar{\mathscr{G}}$表示$\mathscr{G}$的集合$X$的闭包集合，命题6表明，$\mathscr{G}$的*在*$\mathscr{C}(X; Y)$、结构收敛，并且$\bar{\mathscr{G}}$-收敛性相同。

连续映射空间的 G 收敛

因为如果$(u, v)$属于对所有集合$W(A, V)$，其中$A \in \mathfrak{S}$和V是Y的随从，假设Y是Hausdorff告诉我们$u(x) = v(x)$对所有$x \in B$；如果$u$和$v$连续，则$u = v$乘以扩张的原理恒等式（章I, § 8, no. 1，命题2，推论1）。

特别是，在 $C(X; Y)$ 上，X 的*密集* 子集中的点向收敛拓扑是 Hausdorff。

令$u_0 : X \to Y$位于$F_u(X; Y)$中H的闭包中。 对于 Y 的每个对称周边V，存在映射$u \in H$，使得$(u_0(x), u(x)) \in V$对于所有$x \in X$；另一方面，到假设时，存在集合 $M \in \mathfrak{T}$，使得只要 $x$ 和 $x'$ 在 M 中，就有 $(u(x), u(x')) \in V$。 由于$(u_0(x), u(x)) \in V$和$(u_0(x'), u(x')) \in V$，只要$x$和$x'$在M中，就可以得出$(u_0(x), u_0(x')) \in V$，因此$u_0(\mathfrak{T})$是Y上的柯西滤波器基。

如果V是X中$x_0$的邻域过滤器，则$u(x_0)$是$u(V)$的集群点；因此，当且仅当$u(V)$是Y上的柯西滤波器基时，$u$在$x_0$连续（章II, § 3, no. 2，命题5，推论2）。

因为 v 位于 $F_u(X; Y)$ 中 $u_\lambda$ 的集合的闭包中，因此凭借命题 8，$v(\mathfrak{T})$ 是 Y 上的柯西滤波器基；这表明 v 对于 $\mathfrak{T}$ 有极限 y，因为 Y 是完整的。让

X' = X \cup \{ \omega \} be the topological space associated with the filter $\mathscr{F}$ (Chapter I, § 6, no. 5), and extend $u_\lambda$ (resp. $v$) to a mapping $\bar{u}_\lambda$ (resp. $\bar{v}$) of $X'$ into $Y$ by putting $\bar{u}_\lambda(\omega) = y_\lambda$ [resp. $\bar{v}(\omega) = y$]. 则映射$\bar{u}_\lambda, \bar{v}$在$X'$上连续，$\bar{u}_\lambda$相对于$\mathscr{G}$在$X$均匀收敛到$\bar{v}$；由于 $X$ 在 $X'$ 中稠密，命题 6 的推论表明 $\bar{u}_\lambda$ 在 $X'$ 到 $\bar{v}$ 中均匀收敛，特别是 $y = \lim_{\mathscr{G}} y_\lambda$。

对于每个$x \in X$，$X$的映射到$Y$的集合在$x$连续，在$F_u(X; Y)$中闭合（命题8，推论1）；因此，这些集合中的交 $C(X; Y)$ 也被关闭。

这个结果可以用形式来表示，即*连续函数的均匀极限是连续的*。

因为，通过定理 2，$C_u(X; Y)$是均匀空间$F_u(X; Y)$的封闭均匀子空间，它由no. 5的定理1完成。

假设$u$位于$F_\mathscr{S}(X; Y)$中$\tilde{C}_\mathscr{S}(X; Y)$的闭包内；那么(no. 2)，对于每个$A \in \mathscr{S}$，$u|A$位于$F_u(A; Y)$中$C(A; Y)$的闭包中，因此连续定理2。

根据推论 2，足以证明，如果我们将 $\mathscr{S}$ 视为 $X$ 的紧凑子集的集合，则在考虑的两种情况下我们都有 $\tilde{C}_\mathscr{S}(X; Y) = C(X; Y)$。如果 $X$ 是局部紧致的，这一点是很清楚的。如果$X$是可度量的，并且$u : X \to Y$是映射，其限制对于$X$的每个紧凑子集是连续的，那么对于$x \in X$和$X$的点的每个序列$(z_n)$，收敛到$x$，我们有$u(x) = \lim_{n \to \infty} u(z_n)$，因此$u$在$x$连续（章IX, § 2, no. 6，命题10）。

注只要$x$的每个点都有一个邻域的“可数”基数系统，上述论点就适用。

令$f_0 : X \to Y$为连续映射，令$x_0$为$X$的点，令$V$为$Y$的随从。连续映射$f : X \to Y$的集合$T$，使得所有$x \in X$的$(f(x), f(x_0)) \in V$是$\mathscr{C}_u(X; Y)$中$f_0$的邻域。另一方面，由于$f_0$是连续的，$X$中存在$x_0$的邻域$U$，使得所有$x \in U$都有$(f_0(x), f_0(x_0)) \in V$。因此，每当$(f, x) \in T \times U$时，我们就有$(f(x), f(x_0)) \in V$，结果得证。