习题 5, § 1

设$X$为拓扑空间。如果$X$的子集的集合$\mathscr{S}$满足条件$(F'_I)$和no. 2的$(F'_{II})$，并且如果$\mathscr{S}$属于的每个集合的闭包满足$\mathscr{S}$。

a) 证明如果 $X$ 是正规的且$\mathscr{S}$ 饱和并覆盖 $X$，则集合 $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 相对于拓扑是稠密的空间 $\tilde{\mathscr{C}}_{\mathscr{S}}(X; \mathbf{R})$（no. 6，定理 2，推论 2） $\mathscr{S}$-收敛。特别是，$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$在$\mathscr{F}_s(X; \mathbf{R})$中是稠密的。仅当$X$是离散的时，$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$在$\mathscr{F}_s(X; \mathbf{R})$中才闭合。

b) 令$X$为完全正则空间（章IX, § 1, no. 5），并令$\mathscr{S}_1, \mathscr{S}_2$为$X$的子集的两个饱和集合，使得$\mathscr{S}_1 \subset \mathscr{S}_2$和$\mathscr{S}_1 \neq \mathscr{S}_2$。证明 $\mathscr{S}_1$ 收敛于 $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 的拓扑严格比 $\mathscr{S}_2$ 收敛的拓扑更粗糙。