Exercice 5, § 1

Soit $X$ un espace topologique; on dit qu’un ensemble $S$ de parties de $X$ est saturé s’il satisfait aux conditions $(F'_1)$ et $(F'_{11})$ de $X$, p. 3, et si l’adhérence de tout ensemble de $S$ appartient à $S$. a) Montrer que si $X$ est un espace normal (IX, p. 41), $S$ un ensemble saturé de parties de $X$, qui est un recouvrement de $X$, l’ensemble $C(X; \mathbf{R})$ est dense dans l’espace $\tilde{C}_S(X; \mathbf{R})$ ($X$, p. 9, cor. 2), muni de la topologie de la $S$-convergence; en particulier $C(X; \mathbf{R})$ est dense dans $F_s(X; \mathbf{R}); C(X; \mathbf{R})$ n’est fermé dans $F_s(X; \mathbf{R})$ que si $X$ est discret. b) Soient $X$ un espace complètement régulier (IX, p. 8), $S_1$ et $S_2$ deux ensembles saturés de parties de $X$; on suppose $S_1 \subset S_2$ et $S_1 \neq S_2$. Montrer que sur $C(X; \mathbf{R})$, la topologie de la $S_1$-convergence est strictement moins fine que celle de la $S_2$-convergence.