Bài tập 5, § 1

Cho $X$ là một không gian tôpô. Một tập hợp $\mathscr{S}$ các tập con của $X$ được gọi là bão hòa nếu nó thỏa mãn các điều kiện $(F'_I)$ và $(F'_{II})$ của no. 2 và nếu bao đóng của mọi tập hợp của $\mathscr{S}$ đều thuộc $\mathscr{S}$.

a) Chứng minh rằng nếu $X$ là chuẩn tắc và nếu $\mathscr{S}$ là bão hòa và phủ $X$, thì tập hợp $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ là trù mật trong không gian $\tilde{\mathscr{C}}_{\mathscr{S}}(X; \mathbf{R})$ (no. 6, Định lý 2, Hệ quả 2) đối với tôpô hội tụ theo $\mathscr{S}$. Đặc biệt, $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ là trù mật trong $\mathscr{F}_s(X; \mathbf{R})$. $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ là đóng trong $\mathscr{F}_s(X; \mathbf{R})$ chỉ khi $X$ là rời rạc.

b) Cho $X$ là một không gian chính quy hoàn toàn (Chương IX, § 1, no. 5) và cho $\mathscr{S}_1, \mathscr{S}_2$ là hai tập hợp bão hòa các tập con của $X$, sao cho $\mathscr{S}_1 \subset \mathscr{S}_2$ và $\mathscr{S}_1 \neq \mathscr{S}_2$. Chứng minh rằng tôpô hội tụ theo $\mathscr{S}_1$ trên $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ là thực sự thô hơn tôpô hội tụ theo $\mathscr{S}_2$.