首先考虑$\mathscr{S} = \{ T \}$的特殊情况，即$\mathscr{F}_\mathscr{S}(T; Y) = \mathscr{F}_u(T; Y)$。对于$Y$中的每个随行人员$V$，条件$(f(., x), f(., x')) \in W(V)$表示所有$t \in T$的$(f(t, x), f(t, x')) \in V$。因此，说 $x \to f(., x)$ 在 $x_0$ 处连续（或一致连续）相当于说，对于 $Y$ 的每个随行人员 $V$，$X$ 中存在 $x_0$ 的邻域 $U$（或称说）。随行人员 $M$ $X$) 使得关系 $x \in U$ [分别。 $(x, x') \in M$] 意味着$(f(t, x), f(t, x_0)) \in V$ [分别。对于所有$t \in T$，命题是从定义1和2得出的$(f(t, x), f(t, x')) \in V$]。在一般情况下，我们必须表达，对于每个$A \in \mathscr{S}$，$X$的映射$x \to f(., x)|A$到$\mathscr{F}_u(A; Y)$是连续的$x_0$（一致连续），凭借§ 1, no. 2；根据上文所述，这相当于说，对于每个 $A \in \mathscr{S}$，$H_A$ 在 $x_0$ 处等连续（或一致等连续）。

命题 1 允许我们将定义 1 和 2 翻译成形式，有时有用，通过应用将其翻译成$T = H$ 和 $f$ 是映射 $(h, x) \to h(x)$ 的情况，将 $H \times X$ 翻译成$Y$；由于 $f(., x)$ 是 $H$ 的映射 $h \to h(x)$ 到 $Y$，我们看到：

特别是，如果$X$是紧的，则$X$到$\mathscr{F}_u(H; Y)$的每个连续映射都是一致连续的（章II, § 4, no. 1，定理2）。因此：

现在假设我们有集合$T$，拓扑空间$X$，均匀空间$Y$和映射$f : T \times X \to Y$。让$\tilde{f}$表示$X$的映射$x \to f(., x)$到$\mathscr{F}_u(T; Y)$，并让我们考虑$T \times \mathscr{F}_u(T; Y)$的典范映射$\theta : (t, g) \to g(t)$到$Y$。很明显图表

（其中 $i_T$ 是 T 的恒等映射）是可交换的。现在假设 T 被赋予拓扑，并且对于每个 $x \in X$，映射 $f(., x) : t \to f(t., x)$ 是连续的；然后我们可以在上面的图表中通过$\mathscr{C}_u(T; Y)$来替换$\mathscr{F}_u(T; Y)$。但我们知道$\theta$是从§ 1, no. 6、命题9连续而来；因此，如果 $\tilde{f}$ 是连续的，则$f$ 是连续的。由于$\tilde{f}$的连续性可以借助命题1来表达，我们得到以下结果：

1) 对于每个$x \in X$，部分映射$t \to f(t, x)$是连续的。

2) 当 t 贯穿 T 时，映射 $x \to f(t, x)$ 形式 $\mathscr{F}(X; Y)$ 的等连续子集。

具体地，取T为$\mathscr{F}(X; Y)$的子集H，f为$H \times X$的典范映射$(h, x) \to h(x)$代入Y；推论3的条件1)意味着H比逐点收敛具有拓扑更细，条件2)意味着H是等连续的。因此：

更直观地，这表达了这样一个事实：如果$h \in H$*逐点*收敛到$h_0 \in H$，并且如果$x \in X$收敛到$x_0$，那么$h(x)$收敛到$h_0(x_0)$。

我们必须证明，对于 Z 中的每个 $x \in X$，$H \times \mathscr{C}(X; Y)$ 的映射 $(u, v) \to u(v(x))$ 是连续的。现在$v \to v(x)$在H（§ 1, no. 2，注6）上连续，由推论4可知$(u, y) \to u(y)$是$H \times Y$到Z的连续映射；由于$(u, v) \to u(v(x))$是$(u, y) \to u(y)$和$(u, v) \to (u, v(x))$的合成，所以结果得证。

以下命题及其推论是命题1的推论3和4的类似物，对于映射的一致等连续集合：

1) 映射 x → f(t, x) (t ∈ T) 形式 $\mathscr{F}(X; Y)$ 的一致等连续子集。

2) 映射 t → f(t, x) (x ∈ X) 形式 $\mathscr{F}(T; Y)$ 的一致等连续子集。

很容易看出条件是必要的。相反，假设他们感到满意。设W为Y的随从；则存在 T 的随行人员 U 和 X 的随行人员 V，使得：

1) $(t', t'') \in U$ 意味着，对于每个 $x \in X$，

2) $(x', x'') \in V$ 意味着对于每个 $t \in T$，

现在很清楚，关系“$(t', t'') \in U$和$(x', x'') \in V$”暗示了$(f(t', x'), f(t'', x'')) \in \hat{W}$、从而的结果。

特别地，取T为$\mathscr{F}(X; Y)$的子集H，具有一致收敛的一致性，取f为典范映射$(h, x) \to h(x)$；那么命题 2 的条件 2) 就自动满足，因为对于 Y 的每个随行人员 W，对 $(h', h'')$ 的集合，使得所有 $x \in X$ 的 $(h'(x), h''(x)) \in W$ 都是由定义制服的随行人员H 的结构。因此只需表达条件 1)；其他字：

这是定义1和2的直接的推论和$Y$随从的定义。

我们记得图表

是可交换的，其中 $i$ 和 $j$ 是典范映射；此外，$X$（分别为$Y$）的均匀度在$i$（分别为$j$）和$\hat{X}$（分别为$\hat{Y}$）的均匀度下为逆像。因此，$H$ 是一致等连续的，当且仅当映射 $u \to j \circ u$ 下的像一致等连续（命题 3），并且我们可能已经将自己限制在 $Y$ 是 Hausdorff 且完备的情况；此外，如果$\tilde{H}$一致等连续，那么$H$也是一致等连续的，因为它是映射$\hat{u} \to \hat{u} \circ i$下$\tilde{H}$的像；因此，当$Y = \hat{Y}$时，仍然需要证明逆命题。令$V$为$Y$的封闭随从；到假设时，有$X$的随从$U$，这样关系$(x, x') \in U$和$u \in H$意味着$(u(x), u(x')) \in V$。现在，如果$U'$是$i \times i$下$U$的像，则$\hat{X} \times \hat{X}$中$U'$的闭包$\overline{U'}$是$\hat{X}$的随从（章II, § 3, no. 7，命题） 12); 假设意味着，每当$(z, z') \in U'$和$u \in H$时，我们就有$(\hat{u}(z), \hat{u}(z')) \in V$。由于 $V$ 是闭集且 $\hat{u}$ 是连续的，因此对于所有 $(t, t') \in \overline{U'}$ 和所有 $u \in H$，我们也有 $(\hat{u}(t), \hat{u}(t')) \in V$；这样就完成了证明。

只要证明 a) 蕴涵 c) 就足够了。设$V'$为单位元素$e'$之$G'$之邻域；那么，到假设时，$G$中有$e$的邻域$V$，使得$u(V) \subset V'$适用于所有$u \in H$；因为 $H$ 的元素是同态，关系 $x^{-1} y \in V$ 意味着我们有

条件就足够了，微不足道。为了表明这是必要的，考虑 $Y$ 的随行人员 $V$，它在 $Y \times Y$ 关闭；通过假设，$X$中有$x_0$的邻域$U$（分别是$X$的随行人员$M$），这样关系$x \in U$（分别是$(x', x'') \in M$）意味着$(h(x_0), h(x)) \in V$ [分别。 $(h(x'), h(x'')) \in V$] 对于所有$h \in H$。由于$V$已关闭，映射$h \in \mathscr{F}(X; Y)$，其中满足关系$(h(x_0), h(x)) \in V$适用于所有$x \in U$[分别。 关系 $(h(x'), h(x'')) \in V$ 对于所有 $(x', x'') \in M$] 形式 $\mathscr{F}_s(X; Y)$ 的封闭子集（§ 1, no. 2，注 6）；由于此关闭子集包含$H$，它包含$\overline{H}$。因此，结果是，由于 $Y$ 形式的封闭随从成为基本的系统随从（章 II, § 1, no. 2、命题 2，推论 2）。

足以证明$H$上的最后一个均匀度比第一个均匀度更细；在其他字中，给定 $Y$ 的随行人员 $V$ 和 $X$ 的紧致（或预紧致）子集 $A$，存在 $Y$ 的随行人员 $W$ 和有限子集 $F$ $D$使得关系

意味着

首先假设 $A$ 是紧致的且 $H$ 等连续。给定$Y$的对称随行$W$，每个点$x \in X$都有邻域$U(x)$，这样关系$x' \in U(x)$意味着所有$u \in H$的$(u(x),\ u(x')) \in W$。因此，我们可以通过开集合$U_i$的有限数覆盖紧集$A$，这样，对于相同集合$U_i$的点$x',\ x''$的每个对，我们有$(u(x'),\ u(x'')) \in \hat{W}$ 对于所有 $u \in H$。令$a_i$为$D \cap U_i$的点，令$F$为$a_i$的集合，并假设(2)为真；那么对于每个$x \in A$，都存在指标 $i$，使得$a_i$和$x$属于到相同的集合$U_i$，因此我们有$(u(x),\ u(a_i)) \in \hat{W}$和$(v(a'),\ v(x)) \in \hat{W}$；因此，只要选择$W$使得$\hat{W} \subset V$，（2）就意味着（3）。

如果 $A$ 是预紧的且 $H$ 一致等连续，则我们应用命题 4 of no. 2； $i(A)$在$\hat{X}$中紧凑，$i(D)$在$\hat{X}$中密集，并且$Y$的随从在映射$j \times j$下是$\hat{Y}$的逆像就足够了注。

因为集合 $\overline{H}$ 与 no. 3 的命题 6 等连续（或一致等连续），因此包含在 $\mathscr{C}(X; Y)$ 中；结果直接来自以下事实：在 $\overline{H}$ 上，由于定理 1，所考虑的两种拓扑是相同的。

a) 对于每个$A \in \mathscr{S}$，限制的集合$H|A \subset \mathscr{F}(A; Y)$到$H$的函数的$A$是等连续的（或者一致等连续的）。

b) 对于每个 $x \in X$，点 $u(x)$ ($u \in H$) 中的集合 $H(x) \subset Y$ 是预紧的。

1) 让我们首先证明条件 a) 和 b) 是必要的。我们知道(§ 1, no. 2, 注 6)，$\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X; Y)$到$Y$的映射$u \to u(x)$是一致连续的；因此，如果 $H$ 是预紧的，$H(x)$ 也是预紧的（章 II, § 4, no. 2, 命题 2），这就证明了 b)。为了证明a)，考虑集合$A \in \mathscr{S}$、点$x_0 \in A$以及$Y$的随行人员$V$；由于$H$是预紧的，它可以被$W(A, V)$-小集合的有限数覆盖；在其他字中，有有限序列$(u_i)$ / 元素 / $H$，这样，对于每个$u \in H$，我们有

至少一个指标 $i$。

由于每个$u_i|A$在$x_0$处连续（或均匀连续），因此$A$中有$x_0$的邻域$U_i$（或$A$的随行人员$M_i$），使得

（分别这样

令$U$（或$M$）为$U_i$（或$M_i$）的交；它是$A$中$x_0$的邻域（分别是$A$的随行人员）。对于每个$u \in H$，有指标$i$，其中（4）成立；为$x_0$和$x$（分别为$x'$和$x''$）写出条件（4），并考虑（5）[分别。 (6)]，我们立即看到关系 $x \in U$ [分别。 $(x', x'') \in M$] 意味着$(u(x),\ u(x_0)) \in \overset{\circ}{V}$ [分别。 $(u(x'),\ u(x'')) \in \overset{\circ}{V}$]，每个$u \in H$；这就建立了a)。

2) 现在让我们证明，如果集合 $A \in \mathscr{S}$ 是紧致的（分别是预紧致的），则条件 a) 和 b) 是充分的。 条件 b) 意味着 $H$ 相对于逐点收敛的均匀性是预紧的 (章 II, § 4, no. 2, 命题 3)。但从条件a)和no. 4的定理1可以得出，在$H|A$上，$A$重合中点向收敛的一致性与$A$中一致收敛的一致性；因此$H|A$在$\mathscr{F}_u(A; Y)$中是预紧的，这意味着$H$相对于$\mathscr{S}$收敛的均匀性（§ 1, no. 2）是预紧的。

如果$Y$是预紧空间，则注自动满足定理2的条件b)。

设$\overline{H}$为$\mathscr{F}_s(X; Y)$中$H$的闭包。 $\overline{H}$ 等连续（或一致等连续）（no. 3、命题 6）。此外，我们有$\overline{H}(x) \subset \overline{H(x)}$（§ 1, no. 2，注6），因此$\overline{H}(x)$也相对紧凑；因此定理 2表明$\overline{H}$相对于$\mathscr{S}$收敛是预紧的，其中$\mathscr{S}$表示$X$的所有紧（或预紧）子集的集合。此外，由于 $\overline{H(x)}$ 是紧致的，因此是完备的，$\overline{H}$ 对于逐点收敛的均匀性（章 II, § 3, no. 5、命题 10 和 no. 4、命题 8）是完备的，因此对于 $\mathscr{S}$ 收敛的均匀性也是完备的（§ 1, no. 5，命题5，推论2）；因此 $\overline{H}$ 是紧致的，因为它是预紧致的、完备的和 Hausdorff (§ 1, no. 2, 命题 1)。

足以证明$H(x)$对于所有$x \in X$来说是相对紧的，因为我们可以应用推论1。由于$Y$是完整的，因此足以证明$H(x)$对于所有$x \in X$来说是预紧的。现在，如果$V$是$Y$的任何对称周边，则存在$x$的邻域$U$，使得$(u(x), u(x')) \in V$对于所有$x' \in U$和所有$u \in H$。到假设时，存在$x' \in U \cap D$，并且由于$H(x')$在$Y$中相对紧凑，因此存在点$y_k \in Y$的有限数，使得$H(x')$包含在集合的并中$V(y_k)$；因此$H(x)$包含在集合$V(y_k)$的并中，证明是完整的。

鉴于推论1，足以证明，如果$H$在$C_c(X; Y)$中相对紧，则$H$是等连续的。现在每个点$x \in X$都有一个紧邻域$A$，并且从定理2可以得出$H/A$是等连续的；这意味着$H$在$x$等连续，结果得到证明。