习题 18, § 2

令$G$为豪斯多夫拓扑群，在豪斯多夫拓扑空间$X$上连续运行。如果轨道 $G.x_0$ 在 $X$ 中闭合，并且 $G$ 在 $G.x_0$ 上正确运行 (章 III, § 4, no. 1)，则称$G$ 在点 $x_0 \in X$ 是正确的。

a) 令$G$为局部紧拓扑群，在豪斯多夫均匀空间$X$上连续运行。假设 $X$ 的同态 $x \to s.x$ 的集合，因为 $s$ 贯穿$G$，是等连续的。证明如果 $G$ 在点 $x_0 \in X$ 是正确的，则存在 $x_0$ 的邻域 $V$，使得元素 $s \in G$ 的集合使得 $s.V \cap V \neq \varnothing$ 在$G$（cf.章III, § 4, no. 4、命题7）。推出$G$正确的$X$的点的集合$D$在$X$开放，$G$在$D$正确运行。如果加法 $X$ 是局部紧致的，则证明 $D$ 在 $X$ 中既开又闭（使用 no. 1、命题 1，推出 2）。

b) 在实平面$\mathbf{R}^2$中，令$E$为原点$(0, 0)$的集合由……组成和点$(0, 2^{-n})$，因为$n$穿过整数$\geqslant 0$。对于每个$n \in \mathbf{Z}$，使得$n \neq 0$令$u_n$为$\mathbf{R}^2$的仿射线性映射到自身的限制到$E$，使得$u_n(0, 0) = (n, 0)$和$u_n(0, 2^{-|n|}) = (0, \theta^n)$，其中$\theta$是无理数数使得$0 < \theta < 1$。令$X$为$\mathbf{R}^2$的（局部紧凑）子空间，即$E$的并和$n \in \mathbf{Z}, n \neq 0$的集合$u_n(E)$。此外，让$u_0$表示$E$的恒等映射，并通过将$u_n(u_m(x)) = u_{n+m}(x)$表示为所有$x \in E$和所有$m \in \mathbf{Z}$，将扩展$u_n$（$n \in \mathbf{Z}$）表示为整个$X$。 映射 $u_n$的集合$G$是$X$同胚的群，给定一个离散的拓扑，使得$G$在$X$上连续运行。证明$G$在$X$的每个点都是正确的，但不是等连续的并且在$X$上不能正确运行。

c) 设$X$为$\mathbf{R}^2$（用$\mathbf{C}$标识）的（非局部紧凑）子空间，它是半平面$y > 0$和原点的并。通过将 $u(0, 0) = (0, 0)$ 和 $u(re^{i\omega}) = re^{i\omega'}$ 放入定义 $X$ 的同态$u$ 到其自身，其中$\omega' = \frac{1}{2}\omega$ 如果$0 < \omega \leqslant \frac{1}{2}\pi$，$\omega' = \omega - \frac{1}{4}\pi$ 对于$\frac{1}{2}\pi \leqslant \omega \leqslant \frac{3}{4}\pi$，$\omega' = 2\omega - \pi$ 对于$\frac{3}{4}\pi \leqslant \omega < \pi$ （$r < 0, 0 < \omega < \pi$）。令$G$为由$u$生成的$X$同胚的群，并赋予$G$离散的拓扑。证明$G$在$X$上等连续，且$X$的点在$G$适当的位置集合是半平面$y > 0$。