Bài tập 18, § 2

Cho $G$ là một nhóm tôpô Hausdorff tác động liên tục trên một không gian tôpô Hausdorff $X$. $G$ được gọi là thực sự tại một điểm $x_0 \in X$ nếu quỹ đạo $G.x_0$ là đóng trong $X$ và nếu $G$ tác động thực sự trên $G.x_0$ (chương III, § 4, no. 1).

a) Cho $G$ là một nhóm tôpô compact địa phương tác động liên tục trên một không gian đều Hausdorff $X$. Giả sử rằng tập hợp các tự đồng phôi $x \to s.x$ của $X$, khi $s$ chạy qua $G$, là đồng liên tục. Chứng minh rằng nếu $G$ là thực sự tại một điểm $x_0 \in X$, thì tồn tại một lân cận $V$ của $x_0$ sao cho tập hợp các phần tử $s \in G$ sao cho $s.V \cap V \neq \varnothing$ là tương đối compact trong $G$ (xem chương III, § 4, no. 4, mệnh đề 7). Suy ra rằng tập hợp $D$ các điểm của $X$ tại đó $G$ là thực sự là mở trong $X$ và rằng $G$ tác động thực sự trên $D$. Nếu thêm vào đó $X$ là compact địa phương, hãy chứng minh rằng $D$ vừa mở vừa đóng trong $X$ (dùng no. 1, mệnh đề 1, hệ quả 2).

b) Trong mặt phẳng thực $\mathbf{R}^2$, cho $E$ là tập hợp gồm gốc tọa độ $(0, 0)$ và các điểm $(0, 2^{-n})$ khi $n$ chạy qua các số nguyên $\geqslant 0$. Với mỗi $n \in \mathbf{Z}$ sao cho $n \neq 0$ cho $u_n$ là hạn chế vào $E$ của một ánh xạ tuyến tính afin từ $\mathbf{R}^2$ vào chính nó, sao cho $u_n(0, 0) = (n, 0)$, và $u_n(0, 2^{-|n|}) = (0, \theta^n)$ trong đó $\theta$ là một số vô tỉ sao cho $0 < \theta < 1$. Cho $X$ là không gian con (địa phương compact) của $\mathbf{R}^2$ là hợp của $E$ và các tập hợp $u_n(E)$ với $n \in \mathbf{Z}, n \neq 0$. Hơn nữa, cho $u_0$ là ánh xạ đồng nhất của $E$, và mở rộng $u_n$ ($n \in \mathbf{Z}$) lên toàn bộ $X$ bằng cách đặt $u_n(u_m(x)) = u_{n+m}(x)$ với mọi $x \in E$ và mọi $m \in \mathbf{Z}$. Tập hợp $G$ gồm các ánh xạ $u_n$ là một nhóm các đồng phôi của $X$ được trang bị một tôpô rời rạc sao cho $G$ hoạt động liên tục trên $X$. Chứng minh rằng $G$ là thực sự tại mọi điểm của $X$, nhưng không đẳng liên tục và không hoạt động thực sự trên $X$.

c) Cho $X$ là không gian con (không địa phương compact) của $\mathbf{R}^2$ (đồng nhất với $\mathbf{C}$) là hợp của nửa mặt phẳng $y > 0$ và gốc tọa độ. Định nghĩa một đồng phôi $u$ của $X$ lên chính nó bằng cách đặt $u(0, 0) = (0, 0)$ và $u(re^{i\omega}) = re^{i\omega'}$ trong đó $\omega' = \frac{1}{2}\omega$ nếu $0 < \omega \leqslant \frac{1}{2}\pi$, $\omega' = \omega - \frac{1}{4}\pi$ với $\frac{1}{2}\pi \leqslant \omega \leqslant \frac{3}{4}\pi$, $\omega' = 2\omega - \pi$ với $\frac{3}{4}\pi \leqslant \omega < \pi$ ($r < 0, 0 < \omega < \pi$). Cho $G$ là nhóm các đồng phôi của $X$ sinh bởi $u$, và trang bị cho $G$ tôpô rời rạc. Chứng minh rằng $G$ là đẳng liên tục trên $X$ và tập hợp các điểm của $X$ tại đó $G$ là thực sự là nửa mặt phẳng $y > 0$.