Exercice 18, § 2

Soit $G$ un groupe topologique séparé opérant continûment dans un espace topologique séparé $X$; on dit que $G$ est propre en un point $x_0 \in X$ si l’orbite $G.x_0$ est fermée dans $X$ et si $G$ opère proprement dans $G.x_0$ (III, p. 27).

a) Soit $G$ un groupe topologique localement compact opérant continûment dans un espace uniforme séparé $X$. On suppose que l’ensemble des homéomorphismes $x \mapsto s.x$ de $X$ pour $s \in G$ est équicontinu. Montrer que si $G$ est propre en un point $x_0 \in X$, il existe un voisinage $V$ de $x_0$ tel que l’ensemble des $s \in G$ pour lesquels $s.V \cap V \neq \varnothing$ soit relativement compact dans $G$ (cf. III, p. 31, prop. 7). En déduire que l’ensemble $D$ des points de $X$ où $G$ est propre est ouvert dans $X$ et que $G$ opère proprement dans $D$. Si en outre $X$ est localement compact, montrer que $D$ est à la fois ouvert et fermé dans $X$ (utiliser X, p. 12, cor. 2).

b) Dans le plan numérique $\mathbf{R}^2$, soit $E$ l’ensemble formé de l’origine $(0, 0)$ et des points $(0, 2^{-n})$ pour $n$ entier $\geq 0$. Pour tout entier $n \in \mathbf{Z}$ différent de 0, on désigne par $u_n$ la restriction à $E$ d’une application linéaire affine de $\mathbf{R}^2$ dans lui-même telle que $u_n(0, 0) = (n, 0)$ et $u_n(0, 2^{-|n|}) = (0, \theta^n)$, où $\theta$ est un nombre irrationnel tel que $0 < \theta < 1$; soit $X$ le sous-espace (localement compact) de $\mathbf{R}^2$ réunion de $E$ et des $u_n(E)$ pour $n \in \mathbf{Z}, n \neq 0$. On désigne en outre par $u_0$ l’application identique de $E$ sur lui-même, et on définit $u_n$ ($n \in \mathbf{Z}$) dans tout l’espace $X$ en posant $u_n(u_m(x)) = u_{n+m}(x)$ pour tout $x \in E$ et tout $m \in \mathbf{Z}$; l’ensemble $G$ des $u_n$ est un groupe d’homéomorphismes de $X$, que l’on munit de la topologie discrète, de sorte que $G$ opère continûment dans $X$. Montrer que $G$ est propre en tout point de $X$, mais n’est pas équicontinu et n’opère pas proprement dans $X$.

c) Soit $X$ le sous-espace (non localement compact) de $\mathbf{R}^2$ (identifié à $\mathbf{C}$), réunion du demi-plan $y > 0$ et de l’origine. On définit un homéomorphisme $u$ de $X$ sur lui-même en posant $u(0, 0) = (0, 0)$, et $u(re^{i\omega}) = re^{i\omega'}$, avec $\omega' = \omega/2$ pour $0 < \omega \leq \pi/2$, $\omega' = \omega - \pi/4$ pour $\pi/2 \leq \omega \leq 3\pi/4$, $\omega' = 2\omega - \pi$ pour $3\pi/4 \leq \omega < \pi$ ($r > 0, 0 < \omega < \pi$). Soit $G$ le groupe monogène d’homéomorphismes de $X$ engendré par $u$, que l’on munit de la topologie discrète. Montrer que $G$ est équicontinu dans $X$ et que l’ensemble des points de $X$ où $G$ est propre est le demi-plan $y > 0$.

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