Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

1. 制服空间

1. 制服定义结构

定义 1 0BCY

均匀结构*（或*均匀性*）*在集合*XX*是结构由集合*U\mathfrak{U}*的子集*X×XX \times X*满足公理*(F1)(\mathrm{F}_1)*和* (FII)(\mathrm{F}_{\mathrm{II}}) of 章 I, § 6, no. 1 并且还满足以下公理：

引用了 1

引用了 I § 6. 过滤器

(U₁) 每集合属于到 U\mathfrak{U} 包含对角线 Δ\Delta。

(U2) 如果 V∈UV \in \mathfrak{U} 则 V‾−1∈U\overline{V}^{-1} \in \mathfrak{U}。

(U₃) 对于每个 V∈UV \in \mathfrak{U} 存在 W∈UW \in \mathfrak{U} 使得 W∘W⊂VW \circ W \subset V。

!图2

U\mathfrak{U}的集合称为U\mathfrak{U}在XX上定义的均匀性的周围。具有均匀性的集合称为均匀空间。

如果VV是XX上的均匀性的随行，我们可以用说来表达关系(x,x′)∈V(x, x') \in V“xx和x′x'是VV-闭”。

注 1 0BCZ

为了使语言更具表现力，我们可以在某些叙述中使用表达式“xx足够接近yy”和“xx和yy尽可能接近”。对于例，我们可以说关系

只要 xx 和 yy 足够接近，如果存在随行人员 VV，使得关系 (x,y)∈V(x, y) \in V 蕴含R{x,y}R \{ x, y \}，则 R {x,y}\{ x, y \} 为真。

注 2 0BD0

公理 (U_{II}) 和 (U_{III}) 的合取等价于以下公理（假设一致结构的其他公理）：

(U_a) 对于每个V∈UV \in \mathfrak{U}，存在W∈UW \in \mathfrak{U}使得W∘W‾⊂VW \circ \overline{W} \subset V(*)。

显然 (U_{II}) 和 (U_{III}) 意味着 (U_a)。相反，如果 (U_a) 满足，我们有 W‾=Δ∘W⊂V\overline{W} = \Delta \circ W \subset V，通过 (U_I)；因此 W⊂V‾W \subset \overline{V} ，因此 [by (F_1)] V‾∈U\overline{V} \in \mathfrak{U}。设 W′=W∩W‾W' = W \cap \overline{W}；然后根据刚刚证明的公理(F_{II})W′∈UW' \in \mathfrak{U}，我们有W′∘W′⊂W∘W‾⊂VW' \circ W' \subset W \circ \overline{W} \subset V。

Throughout this chapter we shall write V‾2\overline{V}^2 instead of V∘VV \circ V, and in general V‾n−1=V‾∘V=V∘V‾n−1\overline{V}^{n-1} = \overline{V} \circ V = V \circ \overline{V}^{n-1}, for each integer n>1n > 1 and each subset VV of X×XX \times X.

注 3 0BD1

如果XX不为空，则公理（U_I）意味着U\mathfrak{U}中没有集合为空，因此U\mathfrak{U}是X×XX \times X上的过滤器。 空集上只有一种一致性，即U={∅}\mathfrak{U} = \{ \emptyset \}。

定义 2 0BD2

均匀性的基本随从系统是任何随从集合B\mathfrak{B}，使得每个随从包含集合属于到B\mathfrak{B}。

引用了 5 · 被以下引用 1

引用了 I § 6. 过滤器, 命题 3, I § 6, II § 3. 完成空间, III § 6. 拓扑群与运算符；拓扑环，划分环和域, IX § 3. 可度量群、有价值域、规范空间和代数

被以下引用 IX § 1. 伪测量学家族的均匀性的产生；统一空间

公理（U_{III}）表明，如果nn是任何整数>0> 0并且VV贯穿基本的随从系统，则集合V‾n\overline{V}^n又是形式基本的随从系统。

使得 V=V‾1V = \overline{V}^1 的周围VV 称为对称。如果 VV 是任意环绕体，则 V∩V‾1V \cap \overline{V}^1 和 V∪V‾1V \cup \overline{V}^1 是对称环绕体，公理 (F_{II}) 和 (U_{II}) 表明对称环绕体形式是基本的系统环绕体。

X×XX \times X 子集集合 B\mathfrak{B}是XX上一致的基本随行系统当且仅当B\mathfrak{B}满足章I, § 6, no. 3的公理（B_I），并且还满足以下条件公理：

(U'_I) B\mathfrak{B} 包含对角线 Δ\Delta 的每集合。

(U'_II) 对于每个V∈BV \in \mathfrak{B}，都存在V′∈BV' \in \mathfrak{B}，使得V′⊂V‾1V' \subset \overline{V}^1。

(U'_III) 对于每个V∈BV \in \mathfrak{B}，都存在W∈BW \in \mathfrak{B}，使得W‾2⊂V\overline{W}^2 \subset V。

如果XX不为空，则XX上制服结构的随行人员的基本系统是由该结构的随行人员形成的过滤器的基（章I, § 6, no. 3，命题3）。

(*) 我们记得（集合理论，R，§ 3，第4和10），如果VV和WW是X×XX \times X中的两个子集，则对(x,y)∈X×X(x, y) \in X \times X中的集合，使得对于一些z∈Xz \in X，(x,z)∈W(x, z) \in W和(z,y)∈V(z, y) \in V由V∘WV \circ W或VWVW表示，并且对(x,y)∈X×X(x, y) \in X \times X的集合使得(y,x)∈V(y, x) \in V由V‾1\overline{V}^1表示。

例的均匀性。 \* 1) 在实数的集合 R\mathbf{R} 上，我们可以定义一个均匀性，称为*加性均匀性*，如下：对于每个 α>0\alpha > 0 令 VαV_\alpha 为所有R×R\mathbf{R} \times \mathbf{R} 由……组成的子集对(x,y)(x, y)使得∣x−y∣<α|x - y| < \alpha；由于α\alpha贯穿所有实数>0> 0中的集合，VαV_\alpha形式是R\mathbf{R}上加法均匀性的基本系统。类似地，我们可以在有理数的集合Q\mathbf{Q}上实现定义均匀性（再次称为*加性均匀性*）；我们将研究这些结构，以及*群*上的类似制服结构、章III和IV。 \* 2) 令XX为集合，并令RR为XX上的*等价关系*；设CC为RR在X×XX \times X中的图。然后Δ⊂C\Delta \subset C和C2=C−1=C\overset{2}{C} = \overset{-1}{C} = C； （*集合理论，R，§ 5, no. 1*）； X×XX \times X的子集的集合仅由集合CC组成，因此是XX上均匀性的基本随行人员系统。特别是，如果我们将RR视为等式的关系，那么C=ΔC = \Delta和相应的一致性的随行人员是X×XX \times X的*所有子集*，其中包含Δ\Delta；这种均匀性被称为XX上的*离散*均匀性，而赋予这种均匀性的集合XX被称为*离散均匀性空间*。 3) 在有理整数的集合Z\mathbf{Z}上，我们可以得到定义的一致性，这在数的理论中很重要，如下：给定素数数pp，令WnW_n为所有的集合对(x,y)∈Z×Z(x, y) \in \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}使得x≡y(modpn)x \equiv y \pmod{p^n}，对于每个整数n>0n > 0。很容易验证集合WnW_n（对于固定的pp）形式是Z\mathbf{Z}上均匀性的基本系统，称为*pp-adic*均匀性（cf.章） III, § 6、习题 23 及章 IX, § 3, no. 2）。

根据一般定义（*集合理论，R，§ 8, no. 5*），如果XX和X′X'是两个集合，每个集合都具有均匀性，其随行人员的集合是UU和U′U'分别地，如果g(U)=U′g(U) = U'，则XX到X′X'的双射ff是XX到X′X'均匀性的*同构*，其中g=f×fg = f \times f。

对于例，如果XX和X′X'是两个等价的集合，则XX的每一个双射到X′X'上都是XX的离散均匀性的同构到X′X'。

2. 制服拓扑空间

命题 1 0BD3

令XX为集合赋予统一的结构UU，并且对于每个x∈Xx \in X令B(x)\mathfrak{B}(x)为子集V(x)V(x)的集合或X(∗)X (*)，其中VV贯穿UU随行人员集合。然后XX上有一个唯一的拓扑，这样，对于每个x∈Xx \in X，B(x)\mathfrak{B}(x)是拓扑中xx的邻域过滤器。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 I § 1. 营业集合、邻域、休息集合, II § 3. 完成空间

被以下引用 定义 3

我们必须证明章 I, § 1, no. 2 的 B(x)\mathfrak{B}(x) 满足条件 (V_I)、(V_{II})、(V_{III}) 和 (V_{IV})。前三个都是如此

() 我们回忆一下（集合理论，R，§ 3, no. 7*），如果VV是X×XX \times X中的任何子集并且xx是XX中的任何元素，那么V(x)V(x)表示集合所有y∈Xy \in X使得(x,y)∈V(x, y) \in V。

这些条件紧随U\mathfrak{U}满足(FI), (FII)(\mathbf{F}_I),\ (\mathbf{F}_{II})和(UI)(\mathbf{U}_I)的随行人员。对于(VIV)(\mathbf{V}_{IV})，令VV为U\mathfrak{U}的随从，WW为U\mathfrak{U}的随从，使得W˙⊂V\dot{W} \subset V；那么如果(x,y)∈W(x, y) \in W和(y,z)∈W(y, z) \in W我们有(x,z)∈V(x, z) \in V，那么W(y)⊂V(x)W(y) \subset V(x)对于所有y∈W(x)y \in W(x)，因此V(x)∈B(y)V(x) \in \mathfrak{B}(y)对于所有y∈W(x)y \in W(x)。这样就完成了证明。

定义 3 0BD4

命题 1 中定义的拓扑称为拓扑，由统一结构 U\mathfrak{U} 诱发。

引用了 1

引用了 命题 1

例 1 0BD5

由实数的集合上的加性均匀性引起的拓扑是实直线的拓扑（章I, § 1, no. 2）；类似地，由有理数的集合上的加性均匀性引起的拓扑是有理线的拓扑。

引用了 1

引用了 I § 1. 营业集合、邻域、休息集合

例 2 0BD6

在任意集合 XX、拓扑上，由离散均匀性 (no. 1、例 2) 引起的离散拓扑。

以后，当我们谈到制服空间XX的拓扑时，我们总是指由空间制服结构引起的拓扑，除非则明确说明相反。将这个拓扑放在集合XX上获得的拓扑空间是有时，称为拓扑空间*底层*所讨论的制服空间。对于例，当我们说一致的空间是*Hausdorff*，或*紧凑*，或*局部紧凑*等时，我们的意思是底层拓扑空间有这个性质。

如果XX和X′X'是两个一致空间，则XX的一致结构到X′X'的一致同构ff也是XX的*同胚* X′X'；我们说XX是制服空间XX到制服空间X′X'的*同构*。应该注意的是，XX到X′X'的同胚不一定是XX一致的结构到X′X'的同构。

在其他字中，相同集合XX上的*不同*均匀性可以诱导相同的拓扑。 对于例，在 ]0、+∞[ 上，加法* 和 乘法 均匀性（不同：章 III, § 6、习题 17）诱导相同拓扑。* 对于另一个例，请参见 § 2, no. 2、注 1。

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了 习题 17, § 6, 注 1, II § 2

被以下引用 注 1, II § 2, 例, II § 2

命题 2 0BD7

令XX为制服空间。对于XX的每个对称随行VV和X×XX \times X的每个子集MM，VMVVMV是乘积空间X×XX \times X中MM的邻域，并且闭包空间中的MM由公式*给出

M‾=⋂V∈SVMV \overline{M} = \bigcap_{V \in \mathscr{S}} VMV

其中 S\mathscr{S} 表示集合的对称随行人员 XX。

被以下引用 5

被以下引用 推论 2, 命题 3, 定理 2, II § 4, 定理 3, II § 4, 命题 6, X § 2

设VV是XX的对称周边。 关系(x,y)∈VMV(x, y) \in VMV表示MM有元素(p,q)(p, q)使得(x,p)∈V(x, p) \in V和(q,y)∈V(q, y) \in V：在其他字（VV对称）x∈V(p)x \in V(p)和y∈V(q)y \in V(q)，是(x,y)∈V(p)×V(q)(x, y) \in V(p) \times V(q)。由于V(p)×X(q)V(p) \times X(q)是X×XX \times X中(p,q)(p, q)的邻域，因此证明了命题的第一个部分。 关系(x,p)∈V,(y,q)∈V(x, p) \in V, (y, q) \in V也可以写成p∈V(x),q∈V(y)p \in V(x), q \in V(y)或(p,q)∈V(x)×V(y)(p, q) \in V(x) \times V(y)。由于VV贯穿S\mathscr{S}，集合V(x)×V(y)V(x) \times V(y)形式是X×XX \times X中(x,y)(x, y)的邻域的基本系统；因为如果U,U′U, U'是任意两个随行人员，则总有一个对称的随行人员V⊂U∩U′V \subset U \cap U'，因此V(x)×V(y)⊂U(x)×U′(y)V(x) \times V(y) \subset U(x) \times U'(y)。因此，对于每个 V∈SV \in \mathscr{S}，V(x)×V(y)V(x) \times V(y) 满足 MM 当且仅当 (x,y)∈M‾(x, y) \in \overline{M}，且公式 (1) 成立。

推论 1 0BD8

如果AA是XX的任意子集且VV是XX的任意对称周边，则V(A)V(A)是XX中AA的邻域，并且

引用了 5 · 被以下引用 1

引用了 命题 5, I § 4, 命题 7, I § 4, 推论, I § 4, 习题 3, § 1, 习题 2, § 1

被以下引用 定义 1, III § 3

A‾=⋂V∈SV(A)=⋂U∈UV(A) \overline{A} = \bigcap_{V \in \mathscr{S}} V(A) = \bigcap_{U \in \mathfrak{U}} V(A)

其中 U\mathfrak{U} 表示 XX 中所有随行人员的集合。

如果M=A×AM = A \times A，则对于任意V∈SV \in \mathscr{S}，VMV=V(A)×V(A)VMV = V(A) \times V(A)；对于关系“存在p∈Ap \in A使得(x,p)∈V(x, p) \in V”通过定义等价于x∈V(A)x \in V(A)。现在推论来自章 I, § 4, no. 2、命题 5 和 no. 3、命题 7。

据说V(A)V(A)是*AA的*V邻域。

如果VV是在X×XX \times X中*开放*的随行人员，则对于每个x∈Xx \in X，V(x)V(x)在XX中开放（章I, § 4, no. 2，命题4的推论），因而V(A)V(A)，是并 V(x)V(x) 因为xx 贯穿AA，在XX 中*开放*。另一方面，如果VV是X×XX \times X中的封闭随行体，则对于XX（习题3）的每个子集AA，V(A)V(A)不需要在XX中封闭。

还应该注意的是，由于VV贯穿XX随行人员的集合，集合V(A)V(A)不一定是形式XX中AA的邻域的基本系统 （习题2）。

推论 2 0BD9

XX随行人员在X×XX \times X形式的内部装饰（或关闭），以及XX随行人员的基本系统。

引用了 1 · 被以下引用 8

引用了 命题 2

被以下引用 推论 3, 命题 3, 命题 6, II § 2, 推出, II § 3, 推论 4, II § 3, 定理 2, II § 4, 定理 3, II § 4, 命题 6, X § 2

如果 VV 是 XX 的任意随缘，则存在对称随缘 WW，使得 W⊂VW \subset V；由于WW是WW（命题2）的邻域，VV的内部在X×XX \times X包含WW中，因此是一个随行人员。此外，我们有 W⊂W⊂W⊂VW \subset W \subset W \subset V 乘命题 2，因而 VV 包含随行人员结束。

推论 3 0BDA

每件制服空间满足公理*(OIII)(O_{III})。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 推论 2

被以下引用 命题 3, 定义 1, III § 3

如果xx是XX中的任意一个点，并且VV穿过在X×XX \times X关闭的XX的随行人员，则集合V(x)V(x)形式是系统的基本系统根据推论 2，XX 中的 xx 的邻域，并且它们在 XX 关闭（章 I, , no. 2，推论到命题 4）

命题 3 0BDB

制服空间XX是Hausdorff当且仅当其制服结构的所有随从中的交是X×XX \times X的对角线Δ\Delta。每件 Hausdorff 制服空间都是常规的。

引用了 4 · 被以下引用 1

引用了 命题 1, I § 8, 命题 2, 推论 2, 推论 3

被以下引用 命题 11, II § 3

后者叙述紧随推论3到命题2。我们已经看到，封闭的随行人员形式是随行人员的基本系统（命题2，推论2）；如果它们的交是Δ\Delta，那么Δ\Delta在X×XX \times X闭合，因而XX是豪斯多夫（章I, § 8, no. 1，命题1）。相反，如果XX是Hausdorff，那么对于每个点(x,y)∉Δ(x, y) \notin \Delta，都有一个XX的随从VV，使得y∉V(x)y \notin V(x)，或等效的(x,y)∉V(x, y) \notin V；因而，Δ\Delta 是所有随行人员的交。

如果制服空间XX是Hausdorff，我们说XX的制服结构是*Hausdorff*。如果B\mathfrak{B}是这个结构的基本随从系统；那么 XX 是 Hausdorff 当且仅当 B\mathfrak{B} 的所有集合中的交是 Δ\Delta。

习题

参见习题为 § 1。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。