条件显然是必要的。反之，如果满足，则令$(V_n)$为$e$的邻域的基本系统；如果$U_n$表示对$(x, y) \in G \times G$的集合使得$x^{-1}y \in V_n$，则$U_n$形式是$G$的左均匀性的可数基数系统；由于该均匀性是 Hausdorff，因此从 § 2, no. 4, 定理 1 可以得出它是可度量的。对于 $G$ 的右均匀性也是如此。

如果拓扑群 $G$ 的拓扑可度量，则称其为“可度量”。 命题 1 那么表明它的两个均匀性是可度量的。

可以借助以下概念来锐化此结果：

假设$e$的邻域的基本系统$(V_n)$由对称的邻域组成，使得每个$n$都有$V_{n+1}^3 \subset V_n$。那么左均匀性的相应的周边$U_n$是对称周边，使得$U_{n+1} \subset U_n$。 方法用于§ 1, no. 4 命题 2 的证明允许我们从$(U_n)$ 的序列构造，到$G$ 上的度量$d$ 与左均匀性兼容$G$；并且由于对于每个 $z \in G$ 映射 $(x, y) \to (zx, zy)$ 都留下每个 $U_n$ 不变量，$d$ 的定义表明它是左不变度量。这个方法也适用于正确的均匀性。

注，如果$G$的两个均匀性不同，则度量$d$不是右不变的，因此一般来说$d(x^{-1}, y^{-1}) \neq d(x, y)$。

特别是，如果$G$是可度量的阿贝尔的群，则其均匀性由不变度量$d$定义：如果$G$是相加的，我们有

我们经常将$d(0, x)$写为$|x|$（或$||x|$）；那么我们有

函数$|x|$满足以下三个条件：

a) $|-x| = |x|$ 对于所有 $x \in G$。

b) $|x + y| \leq |x| + |y|$ 适用于所有 $x \in G$ 和所有 $y \in G$。

c) $|x| = 0$当且仅当$x = 0$。

反之：

函数 $d(x, y)$ 是 $G$ 的度量，因为关系 $d(x, y) = 0$ 等价于 c) 的 $x = y$；通过 a) 我们有 $d(x, y) = d(y, x)$；和

由b）。此外，由于$(x + z) - (y + z) = x - y$，$d$ 是不变的。 对于每个实数$x > 0$，令$V_x$为所有$x \in G$的集合，使得$|x| < x$；那么$V_x$形式是$0$的邻域的基本系统$\mathfrak{S}$对于拓扑$\mathscr{T}$，并且由于$d$是不变的，所以$a + \mathfrak{S}$是系统的基本系统邻域 / $a$ 为拓扑 $\mathscr{T}$，每个$a \in G$。根据a)，$V_x$是对称的，根据b)，我们有$V_a + V_x \subset V_{2a}$；因此拓扑$\mathscr{T}$与$G$（章III, § 1, no. 2）的群结构兼容。紧接着是命题的最后一个部分。

条件 a'、b' 和 c' 相当于 c) 与条件一起

因为a'和b'清楚地暗示了b')；相反，在 b') 中取 $x = 0$ 并使用 c)，我们看到 $|-y| \leq |y|$； 替换 $y$ by $-y$ 由此得出 $|-y| = |y|$，即 a)； b') 中的替换 $y$ by $-y$ 然后我们得到 b')。

命题的第一个部分是G/H的单位元素在G/H中具有邻域的可数基数系统这一事实的推论；因为如果 (V_n) 是 G 中 e 的邻域的基数系统，则 G/H 中集合 V_n 的典范像 $\dot{V}_n$ 形式 G/H 的单位元素的邻域的基数系统 （章III, § 2, no. 6，命题17）。

如果 G 是完备的，为了证明 G/H 是完备的，通过 § 2, no. 6、命题 9，足以证明每个柯西序列 $(\dot{x}_n)$（相对于 G/H 的左均匀性）是收敛的。如有必要，我们可以通过经过到$(\dot{x}_n)$的子序列假设，对于指标$p, q$的每个对，使得$p \geq n$和$q \geq n$，我们有$\dot{x}_p^{-1}\dot{x}_q \in \dot{V}_n$；这意味着对于点$y \in \dot{x}_p, z \in \dot{x}_q$中的每个对，我们有$y^{-1}z \in HV_n = V_nH$；因此，对于每个$y \in \dot{x}_p$，$\dot{x}_q$的交和$y$的邻域$yV_n$不为空。假设选择序列(V_n)，使得$V_{n+1}^2 \subset V_n$，并且定义归纳G的点的序列$(x_n)$，使得$x_n \in \dot{x}_n$和$x_{n+1} \in x_n V_n$；根据上述内容，这是可能的。接下来是归纳，对于每个$p > 0$，我们有$x_{n+p} \in x_n V_n V_{n+1} \ldots V_{n+p-1} \subset x_n V_{n-1}$。因此序列$(x_n)$是G中的柯西序列，因此收敛到点$a$；紧接着G/H中$a$的典范像$\dot{a}$是序列$(\dot{x}_n)$的极限。

H 是 G 的正规子群（章 III, § 2, no. 3、命题 8），命题 4 表明 G/H 是完备的。另外，如果$\varphi$是G到G/H上的典范映射，很明显$\varphi(G_0)$在G/H中是稠密的。因此，结果来自章 III, § 2, no. 7、命题 21。

令 G、G' 为两个 Hausdorff 阿贝尔的拓扑群和 $\hat{G}, \hat{G}'$ 它们各自的完成。我们记得（章III, § 3, no. 3，命题5），如果$u$是G到G'中的连续同态，那么$u$是一致连续的并且扩展唯一到$\hat{G}$的连续同态到$\hat{G}'$，余下的我们用$\hat{u}$表示

(*) 存在不可度量的完整群 G 包含一个封闭的子群 H，使得 G/H 不完整。

其中小节。 图表

其中 $i, i'$ 是典范嵌入) 是可交换的。如果$v$是$G'$的连续同态到豪斯多夫阿贝尔的拓扑群$G''$，并且如果$w = v \circ u$，则紧接着$\hat{w} = \hat{v} \circ \hat{u}$。

令$H$为$G$的闭子群，并令$E = G/H$。令$j : H \to G$和$p : G \to E$为典范映射。设$\overline{H}$为$H$在$\hat{G}$的闭包； $\overline{H}$是一个完整的群，我们用$H$的完成$\hat{H}$来完成认同。 $j$到$\hat{H}$的连续扩张$\hat{j}$显然是$\hat{G}$中$\hat{H}$的典范嵌入。

假设从现在开始$G$是可度量的。那么$E = GH$到$\hat{G}\hat{H}$的典范映射是$E$到完整群$\hat{G}/\hat{H}$的稠密子群的拓扑同构（推论1），因此我们可以将认同$\hat{G}\hat{H}$与$\hat{E}$以及$p$到$\hat{G}$的连续扩张$\hat{p}$以及$\hat{G}$的典范映射到$\hat{G}/\hat{H}$。

令 $u = j \circ v \circ p$ 为 $u$ 的规范因式分解，其中 $v$ 是拓扑群 $G/N$ 到拓扑群 $u(G) = P$ 的同构。我们有$\hat{u} = \hat{j} \circ \hat{v} \circ \hat{p}$，我们已经看到$\hat{p}$是$\hat{G}$到$\hat{G}\hat{N}$的典范映射，$\hat{j}$是$\hat{P}$到$\hat{G}$的典范映射。另一方面，$\hat{v}$是$\hat{G}/\hat{N}$的同构到$\hat{P}$（章III, § 3, no. 4，命题5），从而结果。

因为如果我们输入$N = u(G) = \overline{v}(0)$，则根据推论2，$\hat{N}$既是$\hat{u}$的像又是$\hat{v}$的核。

条件是必要的，对于所有$x \in K$中的集合，使得$|x|_1 < 1$与所有$x$中的集合相同，使得对于由绝对值$|x|_1$定义的拓扑， $\lim_{n \to \infty} x^n = 0$。

反过来假设$|x|_1 < 1 \Longrightarrow |x|_2 < 1$。然后$|x|_1 > 1 \Longrightarrow |x|_2 > 1$，因为$|x^{-1}|_1 < 1$，因此$|x^{-1}|_2 < 1$。由于到假设，绝对值$|x|_1$并无不当，因此存在$x_0 \in K$使得$|x_0|_1 > 1$。设 $a = |x_0|_1, b = |x_0|_2$ 并设 $\rho = \log b / \log a > 0$。设$x \in K^*$并放入$|x|_1 = |x_0|_1^\gamma$。如果$m$和$n$是整数，使得$n > 0$和$m/n > \gamma$，则$|x|_1 < |x_0|_1^{m/n}$，因此$|x^n x_0^{-m}|_1 < 1$；因此$|x^n x_0^{-m}|_2 < 1, |x|_2 < |x_0|_2^{m/n}$。类似地，如果$m/n < \gamma$，我们看到$|x|_2 > |x_0|_2^{m/n}$；因此$|x|_2 = |x_0|_2^\gamma$；其他字

即$|x|_2 = |x|^p_1$。 It is now clear that the neighbourhoods of zero for the topologies defined on $K$ by $|x|_1$ and $|x|_2$ are identical.

相反，如果$|x|$是$K$上的任何绝对值，则对于所有$p$，函数$|x|^p$是$K$上的绝对值（相当于$|x|$），使得$0 < p \leq 1$。我们只需验证不等式$|x + y|^p \leq |x|^p + |y|^p$；并且由于 $|x + y|^p \leq (|x| + |y|)^p$ 就足以证明，如果 $a > 0$ 和 $b > 0$，对于任何 $p$ ，我们有 $(a + b)^p \leq a^p + b^p$ 使得 $0 < p \leq 1$ 。如果我们把$c = a/(a + b)$和$d = b/(a + b)$放进去，就有$c + d = 1$，要证明的不等式就是$c^p + d^p \geq 1$；但这紧随关系、$c^p \geq c$和$d^p \geq d$而来，它们自$0 < c \leq 1$、$0 < d \leq 1$、$0 < p \leq 1$起有效。

因此，$r > 0$的值的集合使得$|x|^r$是绝对值，值是$\mathbf{R}$的有限或无限区间，其左端点为$0$；如果它是有限的，那么它显然是封闭的；因为如果我们对$K$中的任何$x, y$和所有$r$有$|x + y|^r \leq |x|^r + |y|^r$使得$0 < r < r_0$，那么通过连续性不等式对于$r = r_0$仍然有效。如果$|x|^r$对于所有$r > 0$来说是绝对值，那么我们有

对于 $K$ 和所有 $r > 0$ 中的所有 $x$ 和 $y$。现在，如果$a, b$是两个实数$\geq 0$，我们就有$\lim_{r \to \infty} (a^r + b^r)^{1/c} = \sup (a, b)$；因为，假设例$a \geq b$，我们有$a \leq (a^r + b^r)^{1/r} \leq 2^{1/r} a$，让$r \to + \infty$得出结果。

因此，如果 $|x|^r$ 是所有 $r > 0$ 的绝对值，我们有

可以用说表示，$v(x) = -\log |x| \ (x \neq 0)$是$K$的估值。

令 $\mathfrak{F}$ 为 $K$ 上的柯西滤波器（相对于加法均匀性），它不具有 $0$ 作为集群点；要证明 $\hat{K}$ 是除环，只需确定映射 $x \to x^{-1}$ 下$\mathfrak{F}$ 的像是柯西滤波器基 (章 III, § 6, no. 8, 命题 7)。现在，到假设时，存在实数 $\alpha > 0$ 和集合 $A \in \mathfrak{F}$，使得 $|x| \geq \alpha$ 对于所有 $x \in A$；另一方面，对于每个$\varepsilon > 0$，都存在集合$B \in \mathfrak{F}$，使得所有$x \in B$都存在$B \subset A$和$|x - y| \leq \varepsilon$。

和$y \in B$；因此

接下来是命题的第一个部分。不变度量$|x - y| = d(x, y)$扩展通过连续性到$\hat{K}$（§ 2, no. 1，命题1）上的度量，其中$\hat{K}$的定义拓扑并且通过扩张的原理不变身份；我们继续用 $d(x, y)$ 表示这个不变度量。如果我们用$|x| = d(0, x)$代替$x \in \hat{K}$，很明显，通过函数$|x|$在$K$上的连续性，$|x|$是扩张，因此是$\hat{K}$上的绝对值乘以扩张的原理身份。

(I)

对于所有$x \in E$。

这些不等式是足够的，因为从关系$a . p(x) \leq q(x)$可以得出，对于每个$r > 0$，具有中心o和半径$ar$（相对于范数$q$）的封闭球包含在具有中心o和半径$r$的封闭球中（相对于范数$p$）；因此，$q$定义的拓扑比$p$定义的拓扑为更细。类似地，不等式$q(x) \leq b . p(x)$表明$p$定义的拓扑比$q$定义的更细小，因此$p$和$q$是等价的。

现在让我们证明不等式 (I) 是必要的。如果 $q$ 定义的拓扑比 $p$ 定义的拓扑更细，则单位相对于 $p$ 的球包含中心 o 且半径为 $\alpha > 0$ 的闭球$q$；即，关系$q(x) \leq \alpha$意味着$p(x) \leq 1$。如果$t_0 \in K$使得$0 < |t_0| < 1$，那么对于$E$中的每个$x \neq o$，都有一个唯一的有理数整数$k$使得$\alpha |t_0| < q(t_0^k x) \leq \alpha$；因此$p(t_0^k x) \leq 1$，因此

因此，对于所有$x \neq o$，我们有$a = \alpha |t_0|$，因此$a . p(x) \leq q(x)$，并且这个不等式在$x = o$时也有效。类似地，我们证明，如果$p$定义的拓扑比$q$定义的更细小，则存在$b > 0$使得$q(x) \leq b . p(x)$。