习题 23, § 6

如果$p$是任何素数数并且$x$是任何非零有理数数，则令$v_p(x)$表示$x$的分解中$p$到素数因子的指数。 $\mathbf{Q}^*$到$\mathbf{Z}$的映射$v_p$被称为$\mathbf{Q}$的$p$-adic估值。所有$x \in \mathbf{Q}$中的集合，使得$x = 0$或$v_p(x) \geq m$（对于某些$m \in \mathbf{Z}$）是$\mathbf{Q}$的分数理想$(p^m)$。

a) 表明理想$(p^m)\ (m \in \mathbf{Z})$形式是$\mathbf{Q}$中o的邻域的基本系统对于$\mathbf{Q}$上的局部逆行拓扑(习题22)$\mathfrak{T}_p$，称为$p$-adic 拓扑。这个拓扑中$\mathbf{Q}$的补全$\mathbf{Q}_p$是域，称为$p$-adic 域，其元素称为$p$-adic 数。 $\mathbf{Q}_p$中$\mathbf{Z}$的闭包$\mathbf{Z}_p$是$\mathbf{Q}_p$中的紧开主理想整环，其中$\mathfrak{p} = p\mathbf{Z}_p$是唯一的非零素理想； $\mathbf{Z}_p/\mathfrak{p}$ 同构于素数域 $\mathbf{F}_p = \mathbf{Z}/(p)$，更一般地，加法商群 $\mathfrak{p}^m/\mathfrak{p}^n$ 同构于

$\mathbf{Z}_p$中的元素称为$p$-adic 整数。

b) 证明加法群 $\mathbf{Q}_p$ 的每一个连续同态本身都是形式 $x \to ax$，其中 $a \in \mathbf{Q}_p$ [如果 $f$ 是这样的同态，则证明对于所有 $r \in \mathbf{Q}$ $f(rx) = rf(x)$，然后传递给极限在$\mathbf{Q}_p$]。

c) 证明加法群$\mathbf{Q}_p$的每个紧致子群$G \neq \{0\}$与$\mathfrak{p}^n$（$n \in \mathbf{Z}$）之一相同，并且加法群$\mathbf{Q}_p$不存在非紧闭闭子群，除了$\mathbf{Q}_p$本身。 [令$m$为最大的整数，使得$G \subset \mathfrak{p}^m$；通过考虑商群$(G + \mathfrak{p}^n)/\mathfrak{p}^n$对于$n > m$，证明$G + \mathfrak{p}^n = \mathfrak{p}^m$，然后使用§ 3, no. 1的公式(1)]。