Bài tập 23, § 6

Nếu $p$ là một số nguyên tố bất kỳ và $x$ là một số hữu tỉ khác không bất kỳ, ký hiệu $v_p(x)$ là số mũ của $p$ trong phân tích của $x$ thành các thừa số nguyên tố. Ánh xạ $v_p$ từ $\mathbf{Q}^*$ vào $\mathbf{Z}$ được gọi là định giá $p$-adic trên $\mathbf{Q}$. Tập hợp tất cả các $x \in \mathbf{Q}$ sao cho hoặc $x = 0$ hoặc $v_p(x) \geq m$ (với một $m \in \mathbf{Z}$ nào đó) là iđêan phân thức $(p^m)$ của $\mathbf{Q}$.

a) Chứng minh rằng các iđêan $(p^m)\ (m \in \mathbf{Z})$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của o trong $\mathbf{Q}$ đối với một tôpô địa phương bị chặn ngược (Bài tập 22) $\mathfrak{T}_p$ trên $\mathbf{Q}$, được gọi là tôpô $p$-adic. Bao đầy $\mathbf{Q}_p$ của $\mathbf{Q}$ trong tôpô này là một trường được gọi là trường $p$-adic, các phần tử của nó được gọi là các số $p$-adic. Bao đóng $\mathbf{Z}_p$ của $\mathbf{Z}$ trong $\mathbf{Q}_p$ là một miền iđêan chính compact mở trong $\mathbf{Q}_p$, trong đó $\mathfrak{p} = p\mathbf{Z}_p$ là iđêan nguyên tố khác không duy nhất; $\mathbf{Z}_p/\mathfrak{p}$ đẳng cấu với trường nguyên tố $\mathbf{F}_p = \mathbf{Z}/(p)$, và tổng quát hơn nhóm thương cộng tính $\mathfrak{p}^m/\mathfrak{p}^n$ đẳng cấu với

Các phần tử của $\mathbf{Z}_p$ được gọi là các số nguyên $p$-adic.

b) Chứng minh rằng mọi đồng cấu liên tục của nhóm cộng tính $\mathbf{Q}_p$ vào chính nó đều có dạng $x \to ax$, trong đó $a \in \mathbf{Q}_p$ [nếu $f$ là một đồng cấu như vậy, chứng minh rằng $f(rx) = rf(x)$ với mọi $r \in \mathbf{Q}$, rồi chuyển qua giới hạn trong $\mathbf{Q}_p$].

c) Chứng minh rằng mọi nhóm con compact $G \neq \{0\}$ của nhóm cộng tính $\mathbf{Q}_p$ trùng với một trong các $\mathfrak{p}^n$ ($n \in \mathbf{Z}$), và rằng không có nhóm con đóng không compact nào của nhóm cộng tính $\mathbf{Q}_p$, ngoại trừ chính $\mathbf{Q}_p$. [Cho $m$ là số nguyên lớn nhất sao cho $G \subset \mathfrak{p}^m$; bằng cách xét nhóm thương $(G + \mathfrak{p}^n)/\mathfrak{p}^n$ với $n > m$, chứng minh rằng $G + \mathfrak{p}^n = \mathfrak{p}^m$, rồi sử dụng công thức (1) của § 3, no. 1].