Exercice 23, § 6

Pour tout nombre premier $p$ et tout nombre rationnel $x \neq 0$, on désigne par $v_p(x)$ l’exposant de $p$ dans la décomposition de $x$ en facteurs premiers ; l’application $v_p$ de $\mathbf{Q}^*$ dans $\mathbf{Z}$ est appelée la valuation $p$-adique sur $\mathbf{Q}$; l’ensemble des $x \in \mathbf{Q}$ tels que $x = 0$ ou $v_p(x) \geq m$ (pour un $m \in \mathbf{Z}$) est l’idéal fractionnaire $(p^m)$ de $\mathbf{Q}$.

a) Montrer que les $(p^m)$ ($m \in \mathbf{Z}$) forment un système fondamental de voisinages de 0 dans $\mathbf{Q}$ pour une topologie localement rétrobornée (exerc. 22) $\mathscr{T}_p$ sur $\mathbf{Q}$, dite topologie $p$-adique. Le complété $\mathbf{Q}_p$ de $\mathbf{Q}$ pour cette topologie est un corps appelé corps $p$-adique, et ses éléments sont dits nombres $p$-adiques. L’adhérence $\mathbf{Z}_p$ de $\mathbf{Z}$ dans $\mathbf{Q}_p$ est un anneau principal compact ouvert dans $\mathbf{Q}_p$, dans lequel $\mathfrak{p} = p\mathbf{Z}_p$ est le seul idéal premier ; $\mathbf{Z}_p/\mathfrak{p}$ est isomorphe au corps premier $\mathbf{F}_p = \mathbf{Z}/(p)$, et plus généralement le groupe additif quotient $p^m/\mathfrak{p}^n$ est isomorphe à $\mathbf{Z}/(p^{n-m})$ ($m < n$). On dit que les éléments de $\mathbf{Z}_p$ sont les entiers $p$-adiques.

b) Montrer que tout homomorphisme continu du groupe additif $\mathbf{Q}_p$ dans lui-même est de la forme $x \mapsto ax$, où $a \in \mathbf{Q}_p$ (si $f$ est un tel homomorphisme, montrer que $f(rx) = rf(x)$ quel que soit $r \in \mathbf{Q}$, puis passer à la limite dans $\mathbf{Q}_p$).

c) Montrer que tout sous-groupe compact $G \neq \{0\}$ du groupe additif $\mathbf{Q}_p$ est identique à un $p^n$ ($n \in \mathbf{Z}$) et qu’il n’y a pas de sous-groupe additif fermé et non compact de $\mathbf{Q}_p$, distinct de $\mathbf{Q}_p$. (Soit $m$ le plus grand entier tel que $G \subset p^m$; en considérant le groupe quotient $(G + p^n)/p^n$ pour $n > m$, montrer que $G + p^n = p^m$ et conclure en utilisant la formule (1) de III, p. 20).