Bourbaki

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

3. 制服结构群

1. 拓扑群上的左右一致

在拓扑群 G 中，我们可以通过如下操作感知定义“足够接近点”的概念，从而定义统一结构的可能性：如果x和y是G的任意两个点，我们将翻译应用于两个点，将其中一个（例如x）发送到单位元素e；然后，x 和 y 的“接近度”在某种意义上可以通过 y 翻译成的 e 的邻域 V 来评估。这种平移包括将 x 和 y 乘以x−1x^{-1}，可以在右侧或左侧进行，我们将看到，在任何一种情况下，我们都可以有效地获得 G 上的均匀性，该一致性与 G 的拓扑兼容。让我们以在右侧进行平移的情况为例；那么对于 e 的每个邻域 V 都有对 (x,y)∈G×G(x, y) \in G \times G 的对应集合 VdV_d 使得yx−1∈Vyx^{-1} \in V。令Gd\mathfrak{G}_d为集合VdV_d的族，因为V穿过e的邻域过滤器B\mathfrak{B}。那么Gd\mathfrak{G}_d就是随行人员的基本系统（章II, § 1, no. 1）。因为从e∈Ve \in V开始，G×GG \times G的对角线Δ\Delta对于每个V∈BV \in \mathfrak{B}都包含在VdV_d中，因此Gd\mathfrak{G}_d是一个过滤器基并且满足公理(U1′)(U'_1)；由于关系yx−1∈Vyx^{-1} \in V和xy−1∈V−1xy^{-1} \in V^{-1}是等价的，我们有V‾d1=(V−1)d\overline{V}_d^1 = (V^{-1})_d，因此通过(GVII_{\text{II}})得到V‾d1∈Gd\overline{V}_d^1 \in \mathfrak{G}_d，因此满足(U'II_{\text{II}})；最后，关系zx−1∈Vzx^{-1} \in V和yz−1∈Vyz^{-1} \in V意味着yx−1∈V.Vyx^{-1} \in V.V；因此Vd∘VdV_d \circ V_d包含在(V.V)d_d中，并且(GVI_{\text{I}})表明Gd\mathfrak{G}_d满足(U'III_{\text{III}})。

Gd\mathfrak{G}_d定义的均匀性与G的拓扑兼容，因为关系、y∈Vd(x)y \in V_d(x)和y∈V.xy \in V.x等价于定义；其他字Vd(x)=V.xV_d(x) = V.x。

当翻译在左边时，论证是类似的，因此我们可以做出以下定义：

定义 1 0BJX

拓扑群 G 上的右（左）均匀性是通过对单位元素 e、集合的每个邻域 V 进行对应获得基本系统周边的均匀性Vd_d（分别Vs_s）对(x,y)(x, y)，使得yx−1∈Vyx^{-1} \in V（分别x−1y∈Vx^{-1}y \in V）。

引用了 4 · 被以下引用 1

引用了 推论 1, II § 1, 推论 3, II § 1, 定理 1, II § 4, 习题 4, § 3

被以下引用 命题 2

如果V贯穿e的邻域的基本系统，则集合Vd_d（分别Vs_s）形式右随行人员的基本系统 （左）均匀性。

到制服空间的拓扑上的每个命题，还有群的拓扑上的对应命题；根据定义 1 和公式 Vd(x)=V.x, Vd(A)=V.A, Vs(x)=x.V, Vs(A)=A.V,V_d(x) = V.x,\ V_d(A) = V.A,\ V_s(x) = x.V,\ V_s(A) = A.V, 进行翻译，即定义的直接的推论。对于例，如果A是G的任何非空子集，那么我们有（章II, § 1, no. 2，推论1到命题2）

A‾=⋂V∈BV.A=⋂V∈BA.V. \overline{A} = \bigcap_{V \in \mathfrak{B}} V.A = \bigcap_{V \in \mathfrak{B}} A.V.

再次（章 II, § 1, no. 2，推论 3 到命题 2），*每个 Hausdorff 群都是正则*。

拓扑群上的左右均匀性通常是不同的（参见习题 4）。显然，如果群是*可交换的*，则重合，那么Vd=VsV_d = V_s；如果群是*紧凑*（章II, § 4, no. 1，定理1），它们也重合。

一般来说，我们用GsG_s（或GdG_d）表示通过赋予集合 G 左（或右）均匀性而获得的*均匀空间*。

命题 1 0BJY

左平移和右平移是右均匀性自身的同构。

至于正确的翻译，结果很清楚，因为关系yx−1∈Vyx^{-1} \in V相当于(ya)(xa)−1∈V(ya)(xa)^{-1} \in V[在其他字，映射(x,y)→(xa,ya)(x, y) \to (xa, ya)留下VdV_d固定]。对于左翻译，结果来自(GVIII)(GV_{\text{III}})；对于yx−1∈Vyx^{-1} \in V当且仅当(ay)(ax)−1∈aVa−1(ay)(ax)^{-1} \in aV a^{-1}；因此x→axx \to ax在GdG_d上一致连续。

类似地，右平移和左平移是左均匀性自身的同构。

因此，对于GG的群结构、GG的拓扑以及GG的均匀性，GG的每个*内自同构* x→axa−1x \to axa^{-1}都是自同构。

命题 2 0BJZ

对称性* x→x−1x \to x^{-1} *右侧均匀度与左侧均匀度的同构。

引用了 1 · 被以下引用 3

引用了 定义 1

被以下引用 AC III § 2. 。过滤后的环和模的一般结果, 定义 2, 定理 2

这是定义 1 中的直接的推论。

读者应该注意，假设一致空间Gd×GdG_d \times G_d到一致空间GdG_d的映射(x,y)→xy(x, y) \to xy通常是一致连续的。类似地，对称性 x→x−1x \to x^{-1}（被视为 GdG_d 在 GdG_d 上的映射）通常不是一致连续的（参见习题 3 和 4）。

命题 3 0BK0

拓扑群* GG 到拓扑群 G′G' 的每个连续同态 ff 在被视为映射 of GdG_d 到 Gd′G'_d （或 of）时是一致连续的GsG_s*变成*Gs′G'_s）。

被以下引用 3

被以下引用 命题 5, 定理 2, 习题 3, § 7

因为如果V′V'是G′G'中单位元素的邻域，并且V=f‾−1(V′)V = \overline{f}^{-1}(V')，那么关系yx−1∈Vyx^{-1} \in V意味着

f(y)(f(x))−1=f(yx−1)∈V′. f(y)(f(x))^{-1} = f(yx^{-1}) \in V'.

2. 子群、商群和乘积群的均匀性

如果HH是拓扑群GG的子群，那么GG的右均匀性在HH上引起的均匀性正是拓扑群HH的右均匀性。

如果HH是GG的正常子群，并且如果φ\varphi是GG到G/HG/H的典范映射，我们得到商群G/HG/H右均匀性的基本系统：与G/HG/H的所有对(x˙,y˙)(\dot{x}, \dot{y})中的GG、集合中单位元素中的每个邻域VV相关联，使得x˙y˙−1∈φ(V)\dot{x}\dot{y}^{-1} \in \varphi(V)(§ 2, no. 6，命题) 17）。这个条件意味着至少有一个点x∈x˙x \in \dot{x}和至少一个点y∈y˙y \in \dot{y}使得yx−1∈Vyx^{-1} \in V[即这样(x,y)∈Vd(x, y) \in V_d]。特别是，如果NN是子集{e}\{e\}对GG的闭包，那么G/NG/N上的右均匀性同构于与GG上的右均匀性*相关联的豪斯多夫均匀性（cf.章） II, § 3, no. 8）。

最后，在拓扑群的族(Gi)(G_i)的乘积上，右均匀性是GiG_i右均匀性的*乘积* (cf. 章 II, , no. 6)

左均匀性也有类似的结果。

当且仅当每个因子 GiG_i 重合上的左右均匀性时，乘积群 ∏i∈IGi\prod_{i \in I} G_i 的左右均匀性相同。如果某些 GiG_i 是可交换的而其他是紧的，情况总是如此。

3. 完成群

定义 2 0BK1

如果拓扑群的左右均匀性是完整空间的结构，则称拓扑群是完整的。

引用了 4

引用了 命题 2, 命题 10, II § 3, 命题 8, II § 3, 命题 4, IX § 3

从 no. 1 的命题 2 开始，对于群来说，只要其一致性中的*一个*是完整的空间的结构就足够了。当且仅当其关联的 Hausdorff 群 (§ 2§\ 2, no. 6) 完备时，GG 才是完备的。

完整的群的每个*闭合* 子群都是完整的（章 II, § 3, no. 4、命题 8）。完整的群中的每一个乘积都是完整的（章II, § 3, no. 5，命题10）。

另一方面，如果GG是完整的群并且HH是GG的闭法线子群，则商群G/HG/H不一定是完整的（但是，参见章IX, § 3, no. 1， 命题4)。

命题 4 0BK2

如果在拓扑群 GG 中，ee 中存在邻域 VV 且其右均匀性或左均匀性是完整的，则 GG 是完整的。

引用了 1 · 被以下引用 5

引用了 推论 2, II § 3

被以下引用 命题 2, AC VII § 2, 命题 1, LIE III § 1, 推论 2, 命题 7, III § 6, 习题 13, § 1

假设对于例，VV关于右均匀性是完备的，并令F\mathfrak{F}是GdG_d上的柯西滤波器；那么F\mathfrak{F}包含一个VdV_d小集合MM，如果x1∈Mx_1 \in M我们因此有M⊂Vx1M \subset Vx_1。因此F\mathfrak{F}在GdG_d的完整子空间Vx1Vx_1上的迹是一个柯西滤波器，它收敛到点x0x_0；由于x0x_0是F\mathfrak{F}的集群点，因此它是F\mathfrak{F}的极限（章II, § 3, no. 2，推论2到命题5）。

推论 1 0BK3

局部紧凑群已完成。

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 定理 1, II § 4

被以下引用 IV § 3. 实数的域, 习题 13, § 1

对于每个紧凑型空间而言，其独特的一致性都是完整的（章 II, § 4, no. 1、定理 1）。

推论 2 0BK4

Hausdorff 拓扑群 GG 的每个局部紧致子群都在 GG 中闭合。

引用了 1

引用了 命题 8

对于每一个完整的 Hausdorff 制服子空间，空间都是封闭的 (章 II, , no. 4, 命题 8)

命题 5 0BK5

令G1G_1为拓扑群，让G2G_2为完整的Hausdorff拓扑群，并令H1H_1（或H2H_2）为G1G_1（或G2G_2）的稠密子群。那么H1H_1到H2H_2的每一个连续同态uu都可以唯一地扩展到G1G_1到G2G_2的连续同态uˉ\bar{u}。此外，如果G1G_1是豪斯多夫且完备，并且如果uu是H1H_1到H2H_2的同构，那么uˉ\bar{u}是G1G_1到G2G_2的同构。

引用了 4 · 被以下引用 7

引用了 推论 1（原理 / 扩张恒等式）, I § 8, 定理 2, II § 3, III § 2. 子群、商群、同态、均质空间、乘积群, 命题 3

被以下引用 命题 11, AC III § 2, 命题 6, 命题 8, 命题 9, 命题 1, III § 6, 推论 1, IX § 3, 推论 2, IX § 3

uˉ\bar{u} 相对于 H1H_1 和 H2H_2 (no. 1, 命题 3) 一致连续，因此将 G1G_1 的唯一扩张到映射 uˉ\bar{u} 接纳到G2G_2 相对于这些群 (章 II, § 3, no. 6, 定理 2) 的右一致性一致连续。此外，凭借扩张的原理恒等式（章I, § 8, no. 1，推论1到命题2），uˉ\bar{u}是G1G_1的同态变成G2G_2， 从而命题的第一个断言。为了证明第二个断言，只需将H2H_2的同构vv考虑到H1H_1，这是uu的逆，并且它的扩张vˉ\bar{v}到连续的同态就足够了G2G_2 变为G1G_1；由于扩张的唯一性，vˉ∘uˉ\bar{v} \circ \bar{u}和uˉ∘vˉ\bar{u} \circ \bar{v}分别是G1G_1和G2G_2的恒等映射，因此（集合理论，R，§ 2, no. 12）uˉ\bar{u}是双射。

注 0BK6

如果连续同态 uu 是双射的，则一般不得出 uˉ\bar{u} 是单射或满射 (cf. 习题 12)；但请参阅no. 5、命题 9。

引用了 2

引用了 习题 12, § 3, 命题 9

4. 完成拓扑群

令 GG 为 Hausdorff 拓扑群。均匀的空间GdG_d可以被认为是其补全G^d\hat{G}_d的密集子空间。我们将研究GG是否可以被视为完整Hausdorff群G′G'的稠密子群。如果是这样，那么一致的空间Gd′G'_d必须同构于G^d\hat{G}_d（章II, § 3, no. 6，推论定理2），因此我们必须能够在G^d\hat{G}_d上实现定义拓扑群结构， 诱导 GG 上的给定拓扑群结构。因此我们必须检查： 1）是否可以通过函数、xyxy和x−1x^{-1}分别将扩展连续到G^d×G^d\hat{G}_d \times \hat{G}_d和G^d\hat{G}_d； 2) 这样扩展的函数是否确实在G^d\hat{G}_d上做定义群结构（然后它们必然在G^d\hat{G}_d上定义拓扑群结构诱导GG上给定的结构）。接下来我们要确定3）当前面的运算可能时，它们定义的拓扑群是完整的。最后，我们将看到4）如果给定的条件存在完整的群满足，那么它在同构之前都是唯一的。

1) Extension of xyxy and x−1x^{-1} by continuity. 由于函数xyxy和x−1x^{-1}一般不是均匀连续的，我们不能应用均匀连续函数的扩张的定理（章II, § 3, no. 6，定理2）。 尽管如此，我们可以凭借章II, § 3, no. 6的命题11和以下命题来扩展xyxy：

命题 6 0BK7

令F\mathfrak{F}和G\mathfrak{G}为GdG_d上的两个柯西滤波器。那么映射(x,y)→xy(x, y) \to xy下的滤波器F×G\mathfrak{F} \times \mathfrak{G}的像就是GdG_d上的柯西滤波器基。

引用了 7

引用了 命题 11, II § 3, 习题 16, § 3, 命题 2, I § 8, 推论 1（原理 / 扩张恒等式）, I § 8, 推论, II § 3, 命题 9, 命题 5

让我们评估xyxy和x′y′x'y'在GdG_d中的“接近度”；在其他字，让我们形式乘积(x′y′)(xy)−1=x′y′y−1x−1(x'y')(xy)^{-1} = x'y'y^{-1}x^{-1}。对于每个a∈Ga \in G，我们也可以写成(x′y′)(xy)−1=(x′a−1)(ay′y−1a−1)(ax−1)(x'y')(xy)^{-1} = (x'a^{-1})(ay'y^{-1}a^{-1})(ax^{-1})。我们将看到，通过适当的aa的选择，当对(x,y)(x, y)和(x′,y′)(x', y')属于足够小到F×G\mathfrak{F} \times \mathfrak{G}的集合时，这个乘积的三个因子都非常小。令VV为GG中ee的任意邻域；然后是VdV_d-小集合A∈FA \in \mathfrak{F}。 选择aa在AA中，那么如果xx和x′x'是AA中的任意两个点，我们有x′a−1∈Vx'a^{-1} \in V和ax−1∈Vax^{-1} \in V。另一方面，关系ay′y−1a−1∈Vay'y^{-1}a^{-1} \in V相当于

y′y−1∈a−1Va=W, y'y^{-1} \in a^{-1}Va = W,
由于WW是ee的邻域，所以有一个WdW_d小集合B∈GB \in \mathfrak{G}。因而，对于A×BA \times B中的所有(x,y)(x, y)和(x′,y′)(x', y')，我们有(x′y′)(xy)−1∈V3(x'y')(xy)^{-1} \in V^3，这完成了证明。

在阶中，x−1x^{-1}可以通过连续性扩展到G^d\hat{G}_d，在对称性*x→x−1x \to x^{-1}下，GdG_d上的柯西滤波器*像是GdG_d*上的柯西滤波器（章II, § 3, no. 6， 命题11)。拓扑群中存在例，其中条件不满足（cf.章X, § 3，习题16）；我们假设证明的剩余部分已经满足。

2) 在 G^d\hat{G}_d 上扩展函数* xyxy 和 x−1x^{-1} 定义群结构。因为如果我们将恒等式（章I, § 8, no. 1，命题2，推论1）中的扩张的原理应用于函数x(yz)x(yz)和(xy)z(xy)z，在G^d×G^d×G^d\hat{G}_d \times \hat{G}_d \times \hat{G}_d上定义并且在密集子空间上相等Gd×Gd×GdG_d \times G_d \times G_d，我们看到合成(x,y)→xy(x, y) \to xy的律在G^d\hat{G}_d上关联*。出于同样的原因，函数x,ex,xex, ex, xe在G^d\hat{G}_d上是相同的，函数e,xx−1,x−1xe, xx^{-1}, x^{-1}x在G^d\hat{G}_d上是相同的。

3) 拓扑群 G^d\hat{G}_d 已完成。令Ud\mathfrak{U}_d为其*右均匀度*，并令U\mathfrak{U}为通过*完备的*GG的右均匀度而获得的G^d\hat{G}_d上的均匀度。那么 U\mathfrak{U} 和 Ud\mathfrak{U}_d 诱导在 GG 上具有*相同的*均匀性，因此每个柯西滤波器基 B\mathfrak{B} 在 GG 相对于 Ud\mathfrak{U}_d 也是一个柯西滤波器基到 U\mathfrak{U}。现在B\mathfrak{B}收敛于G^d\hat{G}_d，因为U\mathfrak{U}是完全一致的；并且由于 U\mathfrak{U} 和 Ud\mathfrak{U}_d 诱导在 G^d\hat{G}_d 上具有相同的拓扑，因此 (章 II, , no. 4, 命题 9) Ud\mathfrak{U}_d 是完全一致的。该结论还表明 U\mathfrak{U} 和 Ud\mathfrak{U}_d 重合（章 II, § 3, no. 6，定理 2 的推论）

4) 唯一性. 这是从命题 5 of no. 3 得出的。

到和向上，我们证明了以下定理：

定理 1 0BK8

豪斯多夫拓扑群GG同构于完整群G^\hat{G}的稠密子群当且仅当像，在对称性x→x−1x \to x^{-1}下，关于柯西滤波器的正确均匀性GG 是关于这种均匀性的柯西滤波器。完整的群G^\hat{G}（称为GG的完成）是唯一的（最多同构）。

被以下引用 2

被以下引用 AC III § 2. 。过滤后的环和模的一般结果, 定理 2

命题 7 0BK9

令 GG 为 Hausdorff 拓扑群，其完成性为 G^\hat{G}。然后是GG形式中的G^\hat{G}、邻域、单位元素的闭包，以及G^\hat{G}中的邻域、单位元素的基本系统。

引用了 2 · 被以下引用 2

引用了 II § 3. 完成空间, III § 2. 子群、商群、同态、均质空间、乘积群

被以下引用 命题 5, AC VI § 5, 命题 3, IV § 1

由于G^\hat{G}是正则，G^\hat{G}包含中单位元素的每个邻域都是G^\hat{G}中ee的开邻域UU的闭包VV，并且VV也是UU在GG上的迹线的闭合。

令GG为群，这不一定是Hausdorff；设 N={e}‾N = \overline{\{e\}}，并设 G′=G/NG' = G/N 为与 GG (§ 2, no. 6) 伴随的 Hausdorff 群。如果G′G'有一个补全G^′\hat{G}'，这个补全称为GG的*豪斯多夫补全*，记为G^\hat{G}； G^d′\hat{G}'_d（分别G^s′\hat{G}'_s）是均匀空间GdG_d（分别GsG_s）的*豪斯多夫完成*（章II, § 3, no. 7）。

命题 8 0BKA

令GG为拓扑群，具有豪斯多夫完成G^′\hat{G}'。然后，GG的每个连续同态uu转化为完全Hausdorff群HH都可以唯一分解为u=v∘φu = v \circ \varphi，其中vv是G^′\hat{G}'的连续同态分解为HH并且φ\varphi 将GG 典范映射放入G^′\hat{G}'（将G′G' 典范嵌入合成放入G^′\hat{G}' 和GG 典范同态 ψ\psi 放入G/N=G′G/N = G').

引用了 1 · 被以下引用 2

引用了 命题 5

被以下引用 推论 2, 命题 6, III § 6

由于uu的核是闭集，包含ee，所以包含NN，因此uu可以写成u=w∘ψu = w \circ \psi，其中ww是同态的连续同态 G′G' 变为HH；现在应用命题 5 / no. 3 至 ww。

5. 可交换拓扑群的均匀性和完备性

我们已经说过，交换拓扑群 GG 上的左右一致重合；每当我们谈到GG的“均匀性”时，我们指的就是这种独特的均匀性。

定理 2 0BKB

令 GG 为交换拓扑群。那么函数x−1x^{-1}和xyxy分别在GG和G×GG \times G上均匀连续。此外，GG承认Hausdorff完成G^\hat{G}，并且G^\hat{G}是可交换的。

引用了 3 · 被以下引用 2

引用了 命题 2, 命题 3, 定理 1

被以下引用 III § 6. 拓扑群与运算符；拓扑环，划分环和域, 注, III § 6

x−1x^{-1} 的一致连续性源自 no. 1 的命题 2，xyxy 的一致连续性源自 no. 1 的命题 3，因为 (x,y)→xy(x, y) \to xy 是 G×GG \times G 到 GG 的连续同态。如果 GG 是 Hausdorff，则它满足条件 of 定理 1 of no. 4（每个 Hausdorff 群其左右均匀性为重合）；此外，函数xyxy和yxyx在G^×G^\hat{G} \times \hat{G}乘以扩张的原理等式上相等；因此，通过在一般情况下考虑与GG相关的Hausdorff群，定理的第二个部分。

特别是从定理可以得出，如果ff和gg是统一空间XX到可交换群GG的两个一致连续的映射，加法书写，则函数−f-f和f+gf + g 一致连续。

命题 9 0BKC

令GG为可交换的群，并令T1,T2\mathfrak{T}_1, \mathfrak{T}_2为与GG的群结构兼容的两个豪斯多夫拓扑。假设 T1\mathfrak{T}_1 比 T2\mathfrak{T}_2 更更细，并且T1\mathfrak{T}_1 存在oo 的邻域基本系统，对于 T2\mathfrak{T}_2 是封闭的。令G1,G2G_1, G_2分别为GG相对于拓扑T1,T2\mathfrak{T}_1, \mathfrak{T}_2的补全，令f:G1→G2f : G_1 \to G_2为GG的连续同态，其中扩展恒等映射（no. 3，命题5）。那么 ff 是单射的。

引用了 2 · 被以下引用 5

引用了 命题 5, II § 3. 完成空间

被以下引用 习题 18, § 2, 习题 12, § 3, 注, 命题 6, 推论 1

假设GG是加法写的。令 U1\mathfrak{U}_1 为 GG 相应的 (no. 1) 到拓扑 T1\mathfrak{T}_1 的均匀性：足以证明，如果 F\mathfrak{F} 和 F′\mathfrak{F}' 是两个最小柯西滤波器 (章 II, § 3, no. 2)，则U1\mathfrak{U}_1，在G2G_2收敛到相同的点aa，然后F=F′\mathfrak{F} = \mathfrak{F}'（章II, § 3, no. 7）。为此，只要证明 F∩F′\mathfrak{F} \cap \mathfrak{F}' 是关于 U1\mathfrak{U}_1 的柯西滤波器即可。令VV为GG中oo相对于T1\mathfrak{T}_1的邻域，使得VV在T2\mathfrak{T}_2中闭合，并令WW为oo的对称邻域 GG相对于T1\mathfrak{T}_1，使得W+W⊂VW + W \subset V。到假设时，F\mathfrak{F}（或F′\mathfrak{F}'）中存在WdW_d小集合MM（或M′M'）；如果x∈Mx \in M和y∈My \in M我们有y−x∈Wy - x \in W，即y∈x+Wy \in x + W。如果W‾\overline{W}和V‾\overline{V}是G2G_2中WW和VV的闭包，那么y∈x+W‾y \in x + \overline{W}，因此，由于aa在MM的闭包中，因此a∈x+W‾a \in x + \overline{W}对于每个x∈Mx \in M。类似地，对于每个x′∈M′x' \in M'，a∈x′+W‾a \in x' + \overline{W}，因此x−x′∈W‾+W‾x - x' \in \overline{W} + \overline{W}；但由于(x,y)→x+y(x, y) \to x + y是G2×G2G_2 \times G_2到G2G_2的连续映射，所以我们有W‾+W‾⊂W‾+W‾⊂V‾\overline{W} + \overline{W} \subset \overline{W} + \overline{W} \subset \overline{V}。由此可见，如果x∈Mx \in M和x′∈M′x' \in M'，则x−x′∈V‾∩G=Vx - x' \in \overline{V} \cap G = V，因为VV在T2\mathfrak{T}_2中闭合；这样就完成了证明。

推论 1 0BKD

在命题 9的假设下，如果AA是GG的子集，对于U2U_2相应的到T2\mathfrak{T}_2的均匀性来说是完全的子空间，那么AA对于均匀性来说也是完全的子空间 U1U_1相应的至T1\mathfrak{T}_1。

引用了 1 · 被以下引用 1

引用了 命题 9

被以下引用 推论 2

如果A1A_1是G1G_1中AA的闭包，则f(A1)f(A_1)包含在G2G_2中AA的闭包中，假设等于AA。由于f(A)=Af(A) = A乘以定义和ff是单射的，所以我们有A1=AA_1 = A。

推论 2 0BKE

令GG为可交换的群，并令T1,T2\mathfrak{T}_1, \mathfrak{T}_2为与GG的群结构兼容的两个拓扑。假设 T1\mathfrak{T}_1 比 T2\mathfrak{T}_2 更细，并且存在 OO 的邻域的基本系统 B\mathfrak{B} 关于 T1\mathfrak{T}_1 的均匀性 U2U_2 相应的是完整的T2\mathfrak{T}_2。那么GG相对于均匀性U1U_1相应的到T1\mathfrak{T}_1来说是完整的。

引用了 2 · 被以下引用 1

引用了 命题 4, 推论 1

被以下引用 习题 3, § 5

B\mathfrak{B}的集合在拓扑T2\mathfrak{T}_2中闭合，因此完成推论1的均匀性U1U_1；因此，结果来自 no. 3 的命题 4。

习题

参见习题为 § 3。

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。