习题 18, § 2

在 A-模 E 中，如果 $E/M$ 中的子模 $\neq 0$ 中的集合中存在至少元素，则子模 $M \neq E$ 称为庇护。

(a) 证明 E 的每个子模 $N \neq E$ 都是受庇护的子模的交（对于所有 $x \notin N$，考虑 E 包含 N 的子模集合中的极大元素，而不是包含 $x$）。

(b) 令$\mathscr{T}$为E上的豪斯多夫线性拓扑，并令$\mathscr{T}^*$为拓扑，邻域的基波系统为0，由E的子模生成的滤波器基，其在$\mathscr{T}$下开路并受庇护。证明$\mathscr{T}^*$是Hausdorff，并且在$\mathscr{T}$下闭集的每个子模也在$\mathscr{T}^*$下闭集（注在$\mathscr{T}$下闭集的每个子模是在子模下开集的交 $\mathscr{T}$）。推出，如果E对于$\mathscr{T}^*$是完备的，那么它对于$\mathscr{T}$也是完备的（一般拓扑、章III, § 3, no. 5、命题9）。

(c) 假设 $\mathscr{T}$ 是线性紧致的。然后证明$\mathscr{T}^*$是线性紧致的，是最粗的Hausdorff线性拓扑比$\mathscr{T}$粗；特别是 $\mathscr{T}^*$ 是最小线性拓扑 (习题 17)。 （令$\mathfrak{B}$为子模的过滤器基由……组成在$\mathscr{T}$下封闭，其交为0；表明，对于每个在$\mathscr{T}$下开放且受庇护的子模U，存在$M \in \mathfrak{B}$使得$M \subset U$、利用习题 16 (d))。

(d) 设 F 为 Hausdorff 线性拓扑 A-模且 $\mathscr{T}_1$ 为拓扑；证明，如果$u : E \to F$相对于拓扑$\mathscr{T}$和$\mathscr{T}_1$是连续的线性映射，$u$对于拓扑$\mathscr{T}^*$和$\mathscr{T}_1^*$也是连续的。