Exercice 18, § 2

Dans un $A$-module $E$, on dit qu’un sous-module $M \neq E$ est abrité s’il existe un plus petit élément dans l’ensemble des sous-modules $\neq 0$ de $E/M$.

a) Montrer que tout sous-module $N \neq E$ de $E$ est intersection de sous-modules abrités (pour tout $x \notin N$, considérer un élément maximal dans l’ensemble des sous-modules de $E$ contenant $N$ et ne contenant pas $x$).

b) Soit $\mathscr{C}$ une topologie linéaire séparée sur $E$, et soit $\mathscr{C}^*$ la topologie linéaire ayant pour système fondamental de voisinages de $0$ la base de filtre engendrée par les sous-modules de $E$ ouverts pour $\mathscr{C}$, et abrités. Montrer que $\mathscr{C}^*$ est séparée et que tout sous-module fermé pour $\mathscr{C}$ est aussi fermé pour $\mathscr{C}^*$ (remarquer que tout sous-module fermé pour $\mathscr{C}$ est intersection de sous-modules ouverts pour $\mathscr{C}$). En déduire que si $E$ est complet pour $\mathscr{C}^*$, il est complet pour $\mathscr{C}$ (Top. gén., chap. III, 3e éd., § 3, no 5, prop. 9).

c) On suppose $\mathscr{C}$ linéairement compacte. Montrer alors que $\mathscr{C}^*$ est linéairement compacte et est la moins fine des topologies linéaires séparées moins fines que $\mathscr{C}$; en particulier $\mathscr{C}^*$ est une topologie linéaire minimale (exerc. 17). (Soit $\mathscr{B}$ une base de filtre formée de sous-modules fermés pour $\mathscr{C}$, ayant $0$ pour intersection ; montrer que pour tout sous-module $U$ ouvert pour $\mathscr{C}$ et abrité, il existe $M \in \mathscr{B}$ tel que $M \subset U$, en utilisant l’exerc. 16 d)).

d) Soit $F$ un $A$-module linéairement topologisé séparé, et soit $\mathscr{C}_1$ sa topologie ; montrer que si $u : E \to F$ est une application linéaire continue pour les topologies $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}_1$, $u$ est aussi continue pour les topologies $\mathscr{C}^*$ et $\mathscr{C}_1^*$.