Bài tập 18, § 2

Trong một $A$-môđun $E$, một môđun con $M \neq E$ được gọi là được che chở nếu tồn tại một phần tử nhỏ nhất trong tập hợp các môđun con $\neq 0$ của $E/M$.

(a) Bây giờ chứng minh rằng mọi môđun con $N \neq E$ của $E$ là một giao của các môđun con được che chở (với mỗi $x \notin N$, xét một phần tử cực đại trong tập hợp các môđun con của $E$ chứa $N$ và không chứa $x$).

(b) Cho $\mathscr{C}$ là một tôpô tuyến tính tách được trên $E$, và cho $\mathscr{C}^*$ là tôpô tuyến tính có hệ cơ sở lọc các lân cận của $0$ là cơ sở lọc sinh bởi các môđun con của $E$ mở đối với $\mathscr{C}$, và được che chở. Bây giờ chứng minh rằng $\mathscr{C}^*$ là tách được và mọi môđun con đóng đối với $\mathscr{C}$ cũng đóng đối với $\mathscr{C}^*$ (nhận xét rằng mọi môđun con đóng đối với $\mathscr{C}$ là một giao của các môđun con mở đối với $\mathscr{C}$). Suy ra rằng nếu $E$ đầy đủ đối với $\mathscr{C}^*$, thì nó đầy đủ đối với $\mathscr{C}$ (Top. gén., Chap. III, 3rd ed., § 3, No. 5, Prop. 9).

(c) Giả sử rằng $\mathscr{C}$ là compact tuyến tính. Bây giờ chứng minh rằng $\mathscr{C}^*$ là compact tuyến tính và là tôpô mịn nhất trong các tôpô tuyến tính tách được kém mịn hơn $\mathscr{C}$; đặc biệt $\mathscr{C}^*$ là một tôpô tuyến tính cực tiểu (Bài tập 17). (Gọi $\mathscr{B}$ là một cơ sở lọc tạo bởi các môđun con đóng đối với $\mathscr{C}$, có giao bằng $0$; chứng minh rằng với mọi môđun con $U$ mở đối với $\mathscr{C}$ và được che chở, tồn tại $M \in \mathscr{B}$ sao cho $M \subset U$, sử dụng Bài tập 16 d)).

(d) Cho $F$ là một $A$-môđun được tôpô hóa tuyến tính tách được, và cho $\mathscr{C}_1$ là tôpô của nó; chứng minh rằng nếu $u : E \to F$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục đối với các tôpô $\mathscr{C}$ và $\mathscr{C}_1$, thì $u$ cũng liên tục đối với các tôpô $\mathscr{C}^*$ và $\mathscr{C}_1^*$.