$x^{-1} - y^{-1} = x^{-1}(y - x)y^{-1}$ 因此

如果$v(x - y) > v(y)$，§ 3, no. 1的命题 1意味着$v(x) = v(y)$，从$x = y + (x - y)$开始。此外，如果$v(x - y) > a + 2v(y)$，那么

设$x \in K^*$和$a = v(x)$；然后$x \notin V_a$表明$\mathscr{T}_v$是Hausdorff。对于所有$x_0 \in K$和$a \in G$，存在$\beta \in G$使得$x_0 V_\beta \subset V_\alpha$和$V_\beta x_0 \subset V$，（取$\beta \geqslant a - v(x_0)$就足够了）。另一方面，如果$a \geqslant 0$，则$V_\alpha V_\alpha \subset V_v$。满足*通用拓扑*、章III, § 6, no. 3的公理(AV_I)和(AV_{II})，$\mathscr{T}_v$与$K$上的环结构兼容。让$x_0 \in K^*$；如果$x \in K^*$满足$v(x - x_0) > \sup(\alpha + 2v(x_0), v(x_0))$，则$v(x^{-1} - x_0^{-1}) > a$ (引理 1)，这表明$x \mapsto x^{-1}$是连续的，因此$\mathscr{T}_v$与$K$上的域结构兼容。最后，单个条件$v(x - x_0) > v(x_0)$意味着$v(x) = v(x_0)$（$§ 3$，no. 1，命题1），因此如果$G$被赋予离散的拓扑，则映射$v : K^* \to G$是连续的。

令$\alpha \in G$和$V'_\alpha$为$x \in K$的集合，使得$v(x) \geq \alpha$。如果$\beta < a$，则$V_\beta \supset V'_\alpha \supset V_v$。如果$v$不是不恰当的，那么可以看出，$V'_\alpha$形式对于$\mathscr{T}_v$来说，邻域的基本系统为0。

$V_v$和$V'_\alpha$是开加法子群，因此在$K$中是封闭的，因此拓扑域$K$是*完全断开的*。由于$v$包含和$V_v$的环的每个非零理想，它在$K$中是“开和闭”。因此，$v$ 与剩余类域的商拓扑是*离散*。

设$A$为$u$的环。如果$v$是离散的，$§ 3$、no. 6的命题 8表明$\mathscr{T}_v$在$A$上诱导拓扑是$m(A)$-adic拓扑。一般来说情况并非如此（习题4）。

(i) $K$ 已完成； (ii) $v$ 是离散的； (iii) 剩余类域 $\kappa(A)$ 是有限的。

如果是这样，$A$ 是紧致的。

假设 $K$ 是局部紧致的。那么就完成了（*一般拓扑*、章111、$§ 3$、no. 3、推论1到命题4）；进一步存在0的紧邻域，其中包含邻域$V'_a$，其中$v$的$a$属于到值群；在其他字中，$K^*$中存在$a \neq 0$，使得$A . a$是紧的，因此$A = (A . a)a^{-1}$是紧的。由于$A$的每个理想$b \neq (0)$都是开放的，$A/b$是紧凑和离散的（*一般拓扑*，章III，$§ 2$，no. 5，命题14），因此是有限的，特别是$\kappa(A) = A/m$ 是有限的。此外，对于$m$中的$y \neq 0$，环$A/Ay$是有限的，只有有限的数理想$A$包含$Ay$和集合$P$ 元素形式 $v(x)$ 这样

是有限的；由于 $v(K^*)$ 是全序的，$P$ 至少有元素 $y$。然后对于所有$x \in A$，使得$v(x) > 0$、$v(x) > v(y) \geq y$或$v(x) \leq v(y)$，然后将$v(x) \geq y$乘以定义，使得$y$是$v(K^*)$的元素$> 0$中的最小者。 由于 $P$ 是有限的，因此存在最大的整数 $m \geq 0$，使得 $my \in P$、从而我的 \leq v(y) < (m+1)\gamma。我们推导出 0 \leq v(y) - my < y 并且通过 y 的定义这意味着 $v(y) = my$。因此$v(K^*) = \mathbf{Z}.\gamma$和估值$v$是离散的。

相反，假设条件 (i), (ii), (iii) 成立。我们可以将注意力限制在$v$被范化的​​情况；让 $u$ 成为 $v$ 的均匀化器。那么 $\kappa(A) = A/Au$ 因而 $A/Au$ 是有限的。由于 $x \mapsto xu^n$ 定义，通过将加法群 $A/Au$ 的商同构取到 $Au^n/Au^{n+1}$ 上，$A/Au^j$ 对于所有 $j \geq 0$ 都是有限的。由于 $A$ 在 $K$ 中闭合，因此它是完备的，因此与 $A/Au^j$ 的逆极限同构（一般拓扑、章 111、§ 7, no. 3、命题 2），因此是紧凑的。由于$A$在$K$中开路，因此可以看出$K$是局部紧的。

这个映射是一个连续代数同构。只要证明它是双连续的就足够了。让$\alpha \in G$。我们需要证明$E$中存在0的邻域$V$，使得关系$ax_0 \in V$蕴含$v(a) > a$。设$a, \in K^*$使得$v(a_0) = a$。由于$E$是豪斯多夫，$E$中存在0的邻域$W$使得$a_0x_0 \notin W$。由于$v$并非不恰当，$E$中存在0的邻域$W'$和$G$中的元素$\beta$，因此关系$y \in W'$、$v(a) \geq \beta$意味着$ay \in W$。令 $a, \in K^*$ 等于 $v(a_1) = -\beta$。 关系 $ax_0 \in a_1^{-1}W'$和$v(a) \leq a$意味着$a_1ax_0 \in W$和$v(a_0a^{-1}a_1^{-1}) = \alpha + \beta - v(a) \geq \beta$，因此意味着$a_0x_0 = a_0a^{-1}a_1^{-1}(a_1ax_0) \in W$，这是荒谬的；在其他字中，关系$ax, \in a_1^{-1}W$意味着$v(a) > a$。

考虑命题 1和3，证明与拓扑向量空间、章I, § 2相同，推论2至定理1。

考虑到命题 3 及其推论，证明与拓扑向量空间、章 I, § 2、定理 2 相同。

$F$已完成。

(a) $K$（与$\mathscr{T}_v$）的补全环$\hat{K}$是拓扑域。

(b) 映射 $v : K^* \to G$ 可以唯一地扩展为连续的映射 $8 : \hat{K}^* \to G$。 映射 $0$（由$\hat{v}(0) = +\infty$扩展）是$\hat{K}$和$\hat{v}(\hat{K}^*) = v(K^*)$的估值。

(c) $\hat{K}$ 上的拓扑是由估价$0$ 定义的拓扑。

(d) 对于所有$a \in G$，令$V_\alpha, V'_\alpha$为由条件$v(x) > a, v(x) \geq a$定义的$K$中的子群。那么$\hat{K}$中$V_\alpha, V'_\alpha$的闭包$\overline{V}_\alpha, \overline{V}'_\alpha$分别由条件$\hat{v}(x) > a, \hat{v}(x) \geq a$定义。

(e) $0$的环是$v$的环$A$的完成$\hat{A}$； $0$的理想是$v$的理想$m$的完成$\hat{m}$。

(f) $\hat{A} = A + m$； $8$ 的剩余类域与 $v$ 的规范一致。

To prove (a) it suffices (General 拓扑, 章 III, § 6, no. 8, 命题 7) to show the following: let $\mathfrak{F}$ be a Cauchy filter (with respect to the additive uniform 结构) on $K^*$ for which $0$ is not a cluster 点；那么双射$x \mapsto x^{-1}$下$\mathfrak{F}$的像是柯西滤波器（相对于加性均匀结构）。因为由于$0$不是$\mathfrak{F}$的簇点，因此存在$M \in \mathfrak{F}$和$\beta \in G$，使得$\beta$是$v(M)$的上界。让$a \in G$。 If $M'$ is 元素 of $\mathfrak{F}$ contained in $M$ and such that $v(x - y) > \sup(\alpha + 2\beta, \beta)$ for $x \in M'$ and $y \in M'$, then $v(x^{-1} - y^{-1}) > a$ for $x \in M'$ and $y \in M'$ (no. 1, 引理1)。 从而（一）。

通过no. 1的命题 1，$v|K^*$是从$K^*$到$G$的连续同态，因此可以唯一地扩展到从$K^*$到$G$的连续同态$0$。 关系

在 $K^*$ 中成立，因此通过连续性也在 $\hat{K}^*$ 中成立。因此 0（扩展$\hat{v}(0) = +\infty$）是$\mathbf{K}$的估值，并且 (b) 得到证明。

我们现在展示(d)。设$a \in G$和$x \in \mathscr{S}, -\{0\}$。对于$V$中的$y$，足够接近$x$、$\hat{v}(x) = \hat{v}(y) = v(y)$，因此也接近$\hat{v}(x) > a$。相反，令 $x \in \hat{K}^*$ 使得 $\hat{v}(x) > a$；对于$K^*$中的$y$足够接近$x$、$v(y) = \hat{v}(y) = \hat{v}(x)$，因此$y \in V$、从而$x \in \mathscr{S}$。因此$\mathscr{S}$是$x \in \hat{K}$的集合，使得$\hat{v}(x) > a$。该论证与 $V'_a$ 类似。这就证明了(d)。

考虑一般拓扑的命题7、章III, § 3, no. 4，断言(c)是(d)的推论。 断言 (e) 是 (d) 的特例。最后让$x \in \hat{A}$；存在$y \in A$使得$\hat{v}(x - y) > 0$；然后$z = x - y \in \hat{m}$，因此$x = y + z \in A + \hat{m}$；因此$\hat{A} = A + \hat{m}$，显示(f)。