如果$B$是环，使得$A \subset B \subset K$和$x \in K - B$，则$x \in K - A$，从而$x^{-1} \in m(A) \subset B$，这既证明$B$是$K$的估值环，又证明$m(B) \subset m(A)$；由于$m(B) = m(B) \cap A$是$A$的素理想，我们已经证明了（a）和（b）。此外，$A_{m(B)} \subset B$；相反，如果$x \in B - A$，则$x^{-1} \in A$和$x^{-1} \notin m(B)$，因此$x \in A_{m(B)}$；因此$A_{m(B)} = B$。最后令$\mathfrak{p}$为$A$的素理想；我们写$B = A_{\mathfrak{p}}$；然后$m(B) \cap A = \mathfrak{p}$。 （章II, § 2, no. 5，命题11）和$m(B) \subset A$由（b）；因此$m(B) = \mathfrak{p}$，它表明映射$\mathfrak{p} \mapsto A$，以及叙述的$B \mapsto m(B)$是逆双射。

$A$素理想的集合完全按包含排序（$\S$1，no. 2，定理1（e）），映射$\mathfrak{p} \mapsto A_{\mathfrak{p}}$反转包含关系。

如果$A \in \mathscr{A}$，则$h_B(A) \in \mathscr{A}'$：因为如果$x' = h_B(x)$（其中$x \in B$）是$\kappa(B) - h_B(A)$的元素，则$x \notin A$，因此$x^{-1} \in A$和$h_B(x)^{-1} \in h_B(A)$。另一方面，对于 $A \in \mathscr{A}$、$A \supset m(B)$ (命题 1 (b)) 以及映射，

$A \mapsto h_B(A)$ 是单射的。最后令$A' \in \mathscr{A}'$和$A = h_B(A') \subset B$；我们将展示$A \in \mathscr{A}$，这将完成证明；如果$x \in K - A$，则$x \notin B$或$x \in B$；如果$x \notin B$，则$x^{-1} \in m(B) \subset A$；如果$x \in B$，则$h_B(x) \in \kappa(B)$和$h_B(x) \notin A$，因此$h_B(x^{-1}) \in A$，我们再次结论$x^{-1} \in A$；因此$A \in \mathscr{A}$。

由于局部环 $A'$ 是局部环 $A$ 的商，因此它们的剩余类域是规范同构的，并且方程 $h_A(x) = h_{A'}(h_B(x))$ 对于 $x \in A$ 成立。另一方面，如果$x \in B - A$，则$h_B(x) \notin A'$和方程两边等于$\infty$；如果 $x \in K - B$ 也是如此。

(a) $G$的递增同态到有序群的核是$G$的孤立子群。

(b) 相反，令$H$是$G$的孤立子群和$G$的$g$典范同态在$G/H$上。那么$g(P)$是$G/H$上有序群结构的正元素的集合。此外，如果$G$是全序的，$G/H$也是全序的。

(a) 令$f$为递增同态，从$G$到有序的群；让 $H$ 表示核关闭。如果$0 \leq y \leq x$和$x \in H$，则$0 \leq f(y) \leq f(x) = 0$，从而$f(y) = 0$，即$y \in H$。因此$H$是孤立的。

(b) 令$H$为$G$和$g : G \to G/H$的孤立子群。让$P' = g(P)$。显然$P' + P' \subset P'$。还有

因为，*如果*$x$和$y$是$P$的元素，使得$g(x) = -g(y)$，则$x + y \in H$、从而、$x \in H$和$y \in H$，因为$H$是孤立的；因此$g(x) = g(y) = 0$。因此，$P'$是$G/H$上有序群结构的正元素的集合（*代数*，章VI, § 1, no. 3，命题3）。最后，如果 $G$ 是全序的，则 $P \cap (-P) = G$、从而 $P' \cup (-P') = G/H$ 以及因此 $G/H$ 是全序的（*loc.cit.*）。

给定 $H$，$v_B$ 定义为等价，因此 $B$ 是唯一确定的。另一方面，令$H$是$\Gamma_A$的孤立子群；将$\Gamma_A / H$视为全序群 (命题 3)，复合映射

是对 $K$ 的估值，其环包含 $A$。

no. 4中的命题5表明(a)蕴涵(b)，而no. 1中的命题1表明(b)蕴涵(c)。仍有待证明 (c) 蕴涵 (a)。假设 A 是不同于 K 的 K 的子环中最大。设 m 是 A 的最大理想，V 是 K 支配 A_m 的评估环（§ 1, no. 2，定理 2 的推论）；因为 m(V) ∩ A = m 且 m ≠ (0)（因为 A 不是域），V ≠ K，从而 V = A，这证明 A 不是 K 上 v 的估值的环。因此，v 的高度为 1 命题 1 (no. 1) 和 5 (no. 4)。

这实际上是从以下命题得出的：

设 x 为 G 的正元素，并令 H 为 y ∈ G 的集合，使得存在整数 n ≥ 0 满足 |y| ≤ nx。很容易验证 H, 是 G 的孤立子群，并且 G 包含于 x 包含于 H, 的每个孤立子群。因此，条件 (a) 等价于“H, = G for all x > 0”，即条件 (b)。

显然（c）意味着（b）。相反，假设条件 (b) 成立，并让 Q 表示 G 的元素 >0 的集合。首先假设 Q 具有至少元素 x；对于所有 y ∈ Q，令 n 为最小整数，使得 y ≤ nx；如果 y < nx，则 nx − y ≥ x，从而 y ≤ (n − 1)x，与 n 的选择相反；则 y = nx，这表明 G = \mathbf{Z}x 与 \mathbf{Z} ⊂ \mathbf{R} 同构的。现在假设 Q 至少有元素；我们应用到一般拓扑、章V, § 2的有序集合 P = Q ∪ (0) 命题 1 （这是可能的，因为条件 (b) 只是“阿基米德公理”）；可见 P 到 \mathbf{R}_+ 存在严格递增的映射 f 使得

对于 x Î P 且 y Î P；通过线性f可以将G的同构扩展到\mathbf{R}的子群，这证明了(b)蕴涵(c)。

假设 v 的高度为 1。令 x ∈ K 使得 x^n (n ≥ 0) 全部包含在 K 的有限生成的子 A 模块中。存在 d ∈ A − {0}，使得 dx^n ∈ A 对于所有 n ≥ 0。然后 v(d) + nv(x) ≥ 0，即对于所有 $n \geqslant 0$，n(−v(x)) ≤ v(d)， 从而$-v(x) \leqslant 0$（命题8（b））和$x \in A$。因此 A 是全闭的。

现在假设 v 的高度不是 1。则存在 $y \in m(A)$ 和 $t \in A$，使得 $nv(y) < v(t)$ 对于所有 $n \geqslant 0$ (命题 8 (b))。然后 $ty^{-n} \in A$ 对于所有 $n \geqslant 0$，但$y^{-1} \notin A$。因此 A 不是完全积分闭的。

完全积分闭域并不总是高度 1 (习题 6) 的估值环的交。