(b) 令 a, b 在 I(A) 中。在阶那个div$a =$div$b$中，$A : a = A : b$是必要且充分的。

(c) 对于所有 $a \in I(A)$、$6 = A : (A : a)$。

断言 (a) 直接从等式 (1) 得出，因为如果 $b$ 是除数，则对于所有 $x \neq 0$，$b x^{-1}$ 也是除数。

为了显示 (b)，令 $P(a)$ 表示分数主理想包含 a 的集合； 关系 $Ax \in P(a)$ 相当于$x^{-1} a \subset A$，因此也相当于$x^{-1} \in A : a$。由于关系 div $a =$ div $b$乘以定义等价于$P(a) = P(b)$，因此也等价于$A : a = A : b$。

最后为$a(A : a) \subset A, a \subset A : (A : a)$。在这个公式中替换$a$通过$A : a$，可以看出$A : a \subset A : (A : (A : a))$；另一方面，关系$a \subset A : (A : a)$意味着

因此 $A : a = A : (A : (A : a))$ 并且从 (b) 可以得出 $\operatorname{div} a = \operatorname{div}(A : (A : a))$ 由于$A : (A : a)$能被(a)整除，当然也有$6 = A : (A : a)$，这就证明了(c)。

令 $(a_i)$ 为 $I(A)$ 的元素的非空族，其上界。说一个除数理想$b$限制了上面这个族，等于说它包含在所有$a_i$中，也就是说$b$包含在$\bigcap_i 6_i$中。因此 $\bigcap_i a_i \neq (0)$ 和 $\bigcap_i 6_i$ 是一个除理想，它显示 (i)。

现在让 $(6_i)$ 成为 $I(A)$ 的元素的非空族，其边界如下。说除数理想 $b$ 限制了下面这个族，意味着它包含所有$a_i$，也就是说（因为$b$是除数）它包含所有$a_i$，或者也$b \supset \sum_i a_i$。这就证明了(ii)。

最后，为了证明(iii)，由(i)和(ii)足以证明，如果$a, b$在$I(A)$中，则集合$\{a, b\}$在$I(A)$中上下界；现在它的边界是$a \cap b$（与$(0)$不同）。对于$a + b \in I(A)$，它的边界是$a + b$：如果$d$和$d'$是$A$的非零元素，使得$da \subset A$和$d'b \subset A$，则$dd'(a + b) \subset A$。

$A(x + y) \subset Ax + Ay$，因此$\operatorname{div}(x + y) \geq \operatorname{div}(Ax + Ay)$。

我们可以将注意力限制在$b = b'$的情况。则设$Ax$为分数主理想包含$a'b$；对于$b$、$Ax \supset a'y$的每个非零元素$y$，以及$Axy^{-1} \supset a'$、从而$Axy^{-1} \supset a$和$Ax \supset ay$。变化$y$，可以看出$Ax \supset ab$，从而$ab > a'b$。

从命题 3 可以得出$I(A)$ 定义上的乘法，通过经过得到合成在$D(A)$ 上的商律，显然是结合律和交换律。它是附加的，这样我们就可以写：

$I(A)$ 中的 $a, b$。显然，对于这个加法，$\text{div}(1)$ 是单位元素；这个元素用0表示。命题3进一步证明$D(A)$上的阶结构与这个加法*相容的*（*代数*，章VI, § 1, no. 1），更准确地说（no. 1、命题 2 (ii)）：

对于分数理想$a \neq 0$，在$D(A)$中，$\text{div } a \geq 0$是这样的，$a \subset A$是必要且充分的（在其他字中，$a$是$A$的*整的*理想）。

对于$K^*$中的两个元素$x, y$，关系$\text{div}(x) = \text{div}(y)$相当于$Ax = Ay$； $A$的主除子与序关系以及由$D(A)$上的主律诱导的幺半群集合是一个*有序的群*规范同构于由相反的序关系排序的分数主理想的乘法群包含（*代数*，章VI, § 1, no. 5）。 关系 $S$ 两个元素 $P, Q$ 与 $D(A)$ 之间：

“存在$x \in K^*$使得$P = Q + \text{div}(x)$”

因此是等价关系，因为关系$P = Q + \text{div}(x)$等价于$Q = P + \text{div}(x^{-1})$；如果$P$和$Q$模$S$全等，则它们被称为*等价于$A$的除子*。显然，关系$S$与幺半群$D(A)$的律兼容，因此后者定义，通过取商，在$D(A)/S$上得到幺半群结构；这个幺半群被称为 A* 的 *除子类幺半群。

如果$\operatorname{div} b = \operatorname{div} a + \operatorname{div}(x)$对于某些$x \in K^*$，则$\operatorname{div} b = \operatorname{div}(xa)$，并且由于$b$和$xa$是除数，$b = xa$，这证明了命题。

令 $a$ 为可逆分数理想 (章 II, § 5, no. 6)；那么 $a = A : (A : a)$ (loc.cit., 命题 10) 因此 $a$ 是 除数 (no. 1, 命题 1)。因此，可逆分数理想的群$J(A)$可与幺半群$D(A)$的子群和$D(A)/S$中$J(A)$的典范像以及*射影*的类的群识别$A$-*秩* 1 的模块（章 II, § 5, no. 7，推论 2 至命题 12 和 注 1）。

假设$D(A)$是群。让$x \in K$；假设$A[x]$包含在$K$的有限生成的子$A$模块中。然后我们看到(no. 1)$a = A[x]$是$I(A)$的元素。然后$xa \subset a$，因此$\operatorname{div}(x) + \operatorname{div} a \geq \operatorname{div} a$。由于$D(A)$是有序的群，我们将结论表示$\operatorname{div}(x) \geq 0$、从而$x \in A$。因此$A$是完全整体封闭的（章V, § 1，编号4，定义5）。

相反，假设$A$是完全积分闭的。令 $a$ 为除数理想。我们将证明$\operatorname{div} a + \operatorname{div}(A : a) = 0$，这将证明$D(A)$是群。作为 $a(A : a) \subset A$，足以 (no. 1) 验证每个分数主理想 $Ax^{-1}$ 其中包含 $a(A : a)$ 也包含 $A$。现在，对于$y \in K^*$，关系$Ay \supset a$意味着$y^{-1} \in A : a$，从而$y^{-1}a \subset a(A : a) \subset Ax^{-1}$，因此$xa \subset Ay$。由于 $a$ 是除数，因此我们对所有 $n \in \mathbf{N}$ 推出 $xa \subset a$、从而 $x^n a \subset a$。存在$K^*$的元素$x_0, x_1$使得$Ax_0 \subset a \subset Ax_1$；因此$x^n x_0 \in Ax_1$，从而$x^n \in Ax_1 x_0^{-1}$。由于$A$是全积分闭的，$x \in A$，即$Ax^{-1} \supset A$，完成证明。

注，如果$A$完全积分闭（甚至诺特），则$A$的除数理想不一定是可逆的，在其他字中，一般来说$J(A) \neq D(A)$（习题2和§ 3, no. 2， 命题 1)。

根据no. 1的公式(1)：

考虑到命题 2 以及分数理想 $y^{-1}a$ 是除数的事实。但由于 $D(A)$ 是有序的群 (代数, 章 VI, § 1, no. 8)：

令 $A$ 为克鲁尔域。它是完全整体封闭的（章VI, § 4, no. 5，推论命题9）。令$(v_i)_{i \in I}$为$A$满足（AK$_I$）、（AK$_{II}$）和（AK$_{III}$）的分数$K$的域的估值族。 $v_i$ 可以假设是标准化的 (章 VI, § 3, no. 6, 定义 3)。对于所有$a \in I(A)$，我们应该写：

那么$v_t(a) \in \mathbf{Z}$，对于，如果$a$是$a$的非零元素，关系$Ax \supset Aa$意味着$v_t(x) \leq v_t(a)$（通过（AK$_{III}$）），这表明$v_t(x)$（$a \subset Ax$）的族上面有界。我们建立以下属性：

(1) 令$a$为除数分数理想；在阶和 $y \in a$ 中，$v_t(y) \geq v_t(a)$ 对于所有 $t \in I$ 是必要且充分的。

由于$a$是除数，关系$y \in a$等价于关系““$a \subset Ax$意味着$y \in Ax$”。现在，通过（AK$_{II}$），关系$y \in Ax$等价于“$v_t(y) \geq v_t(x)$” $t \in I$”。从而 (1)。

(2) 设$a$和$b$为$A$的两个除数分数理想；在阶和 $a \subset b$ 中，$v_t(a) \geq v_t(b)$ 对于所有 $t \in I$ 是必要且充分的。

这紧随性质 (1) 而来。

(3) 如果$x \in K^*$，则$v_t(Ax) = v_t(x)$。

如果$Ay \supset Ax$，则$v_t(y) \leq v_t(x)$除以(AK$_{II}$)，并且在$y = x$处取$v_t(y)$的最小值。

(4) 对于所有 $a \in I(A)$、指标 $t \in I$，使得 $v_t(a) \neq 0$ 在数中是有限的。

$K^*$中存在$x, y$使得$Ax \subset a \subset Ay$。根据性质 (2) 和 (3)，对于所有 $t \in I$，$v_t(x) \geq v_t(a) \geq v_t(y)$。然后就可以申请（AK$_{III}$）。

因此，我们展示了以下引理：

既然如此，$\mathbf{Z}^{(I)}$的每个非空正集元素都有一个最小的元素（*代数*，章VI, § 1, no. 13，定理2）。因此$A$当然满足叙述的性质(b)。

相反，令$A$为叙述的整环满足性质(a)和(b)。由于 $A$ 是完全积分闭的，$D(A)$ 是有序的群 (no. 2, 定理 1)。这个群是一个格子（no. 1，命题2）。到叙述的条件 (b) 时，$D(A)$ 的正元素的每个非空族都具有最小元素。令$P(A)$为$D(A)$的极值元素的集合。那么 (代数, 章 VI, § 1, no. 13, 定理 2) $P(A)$ 是 $\mathbf{Z}$ 模 $D(A)$ 的基，$D(A)$ 的正元素是线性组合， 正整数元素的系数$P(A)$。

因此，对于$x \in K^*$，有理数整数$v_P(x)$（对于$P \in P(A)$）定义如下：

我们还写$v_P(0) = +\infty$。

从关系

和

对于$K^*$中的$x, y$和$x + y$，我们推断$v_P$是$K$的*离散估值*。在阶那个$x \in A$中，$\text{div}(x) \geq 0$是必要且充分的，即对于所有$P \in P(A)$来说$v_P(x) \geq 0$。因此 $v_P$ 满足条件 (AK$_1$) 和 (AK$_{11}$) 显然还有 (AK$_{III}$)。

积分闭域诺特域是完全积分闭域 (章 V, § 1, no. 4)。

存在非诺特克鲁尔域，对于例多项式环 $K[X_n]_{n \in \mathbf{N}}$ 超过域 $K$ 的无限个不定数 (cf. 习题 8)。

让$x \in K^*$。在阶 $x \in a$ 中，$Ax \subset a$ 是必要且充分的，因此 $\text{div}(x) \geq \text{div } a$ ，因此，根据 (4)，对于所有 $P \in P(A)$ ，$v_P(x) \geq n_P$ 是必要且充分的。

我们写$B = \bigcap_{t \in J} A_t$。然后是$S^{-1} \subset B$和$A \subset B$，然后是$S^{-1}A \subset B$。相反，设$x \in B$。让$J'$表示指标$t$的有限集合，使得$v_t(x) < 0$。如果$t \in J'$，则$x \notin A_t$，因此$t \notin J$，因此存在$s_t \in S$使得$v_t(s_t) > 0$。令$n(t)$为整数$> 0$，使得$v_t(s_t^{n(t)}x) \geq 0$；我们写$s = \prod_{t \in J'} s_t^{n(t)}$。然后 $v_t(sx) \geq 0$ 对于所有 $t \in I$，因此$sx \in A$ 和 $x \in S^{-1}A$。因此$B = S^{-1}A$。

让$S = A - p$。到命题 5 时，$v_P$ 是 $S$ 上的零，以及 $p$ 上的 $> 0$。因此$p$是$A$的交，也是$v_P$的理想，因此是素数。另一方面，对于每个极值除子 $Q \neq P$、$Q \not\subset P$，因此除数理想 $q$ 相应的到 $Q$ 不包含在 $p$ 中；因此$q \cap S \neq \varnothing$，因此，到命题 5，$v_Q$ 不再是$S$ 上的零。既然如此，则由命题 6 和章 II, § 3, no. 1、命题 3 得出推论。

令$P$为$A$和$p$相应的除理想的极值除子。根据推论1、命题 5、引理 1 和断言 (1)，在定理 2、no. 3 的证明中，存在$t \in I$，使得$v_t$ 的环 $A_t$ 包含环$A$，$v_P$。由于$v_t$和$v_P$的高度为1，因此它们是等价的（章VI, § 4, no. 5，命题6）。

由于 $a = \sum_{y \in a} Ax$, 命题 2 (b) (no. 1) 表明 $\operatorname{div}(a) = \inf_{x \in a} (\operatorname{div}(Ax))$, 从而我们的第一个断言。第二个紧随其后，因为$\operatorname{div} \tilde{a} = \operatorname{div} a$和$A_p$是离散估值$v_P$的环。

对于$n \in \mathbf{N}$，设$p^{(n)} = p^n A_p \cap A$；那么$p^{(n)}$是$x \in A$的集合，使得$v_p(x) \geq n$是$p$-初等理想。

(b) 令 $a$ 为除数理想积分，$n_1 P_1 + \ldots + n_r P_r$ 除子为 $a$（$P_i$ 为不同的极值除子），$p_i$ 为除数素理想相应的至 $P_i$。那么$a = \bigcap_{i=1}^r p_i^{(n_i)}$是$a$的唯一减少的初等分解并且$p_i$没有被浸入。

由推论1到命题6，关系$x \in p^n A_p = (pA_p)^n$等价于$v_p(x) \geq n$；另一方面，由于$A$是离散估值环，$(pA_p)^n$是$(pA_p)$-主要（章IV, § 2, no. 1，例4），因此$p^{(n)}$是$p$-主要（章） IV, § 2, no. 1、命题 3)；这显示了（a）。 命题 5 当然表明$a = \bigcap_{i=1}^r p_i^{(n_i)}$。由于$p_i \not\subset p_j$对于$i \neq j$来说，初等分解被减少：因为如果$p_i^{(n_i)} \supset \bigcap_{j \neq i} p_j^{(n_j)} \supset \prod_{j \neq i} p_j^{(n_j)}$，$p_{ji}$将是包含对于$j \neq i$的$p_j$之一（章II, § 1, no. 1， 命题1)。 唯一性源自章 IV, § 2, no. 3、命题 5。