习题 5, § 1

设$\mathbf{A}$为整环，$K$其分数域和$\mathbf{A}$可逆元$K^*$由……组成$U$子群；考虑群 $K^*/U = G$ 按由经过导出的关系与 $K^*$ 中关系 $x^{-1}y \in \mathbf{A}$ 的商进行排序（代数，章 VI, § 1, no. 5）。

(a) 对于 $K$ 的分数理想 $a \neq 0$ 是可除的，$G$ 中$a - \{0\}$ 的像是$G$ 中的大集合是必要且充分的（代数，章 VI, § 1， 习题30);对于$K$的每个分数理想$a \neq 0$，$a - \{0\}$的像是$a - \{0\}$的最小主要集合包含像。如果$\mathbf{A}$是Krull域，则$G$是有序群同构于形式$\mathbf{Z}^{(1)}$的有序群的有向子群。

(b) 证明对于 $G$ 的同态 $w$ 到全序群 $\Gamma$ 使得组合映射 $K^* \to K^*/U \xrightarrow{w} \Gamma$ 的限制到 $A - \{0\}$ 是一个估值，有必要且充分$w$ 为递增同态。

(c) 令$H$为乘积的有向子群，对有序对$(s_1, s_2)$排序群$\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$由……组成，使得$s_1 + s_2 \equiv 0$（模2）。证明不存在整环$\mathbf{A}$使得$K^*/U$是与$H$同构的有序群（从(b)推断出这样的域必然是Krull域，但是no. 5的命题9对于这个环不成立） （cf.习题22））。