习题 2, § 1

(a) 在域 $K$ 上的两个不定式中的阶乘多项式域 $K[X, Y]$ 中，给出两个主理想 $a, b$ 的例，使得 $a + b$ 不可除。

(b) 令 $K$ 为有理函数在$\mathbf{Q}$ 上的一个不定数中的域 $\mathbf{Q}(X)$ 的二次扩张，通过邻接多项式$Y^2 - 2X \in \mathbf{Q}(X)[Y]$ 的$\mathbf{Q}(X)$ 根 $y$ 获得。令$A$为由$Z, X$和$y$生成的$K$的子环； $A$是一个全闭的诺特域。证明 $p = AX + Ay$ 是高度为 1 的素理想，但 $p^2$ 不是除数（证明 $X^{-1}p^2$ 是严格的素理想包含 $p$）。而且$p . (A : p) \neq A$。

(c) 令$A$为全闭局部诺特局部整环，其最大理想$m$高度不为$\leq 1$；令 $p$ 为高度为 1 的 $A$ 的素理想；对于每个整数 $i > 0$ 让 $a_i = p + m^i$；表明 $\operatorname{div}(\bigcap_i a_i)$ 与 $\sup(\operatorname{div}(a_i))$ 不同。