Bài tập 2, § 1

(a) Trong miền đa thức nhân tử $K[X, Y]$ trên một trường $K$ với hai bất định, hãy cho một ví dụ về hai iđêan chính $a, b$ sao cho $a + b$ không là iđêan chia được.

(b) Cho $K$ là mở rộng bậc hai của trường $\mathbf{Q}(X)$ các hàm hữu tỉ theo một bất định trên $\mathbf{Q}$, thu được bằng cách ghép vào $\mathbf{Q}(X)$ một nghiệm $y$ của đa thức $Y^2 - 2X \in \mathbf{Q}(X)[Y]$. Cho $A$ là vành con của $K$ sinh bởi $Z, X$ và $y$; $A$ là một miền nguyên đóng Noether. Chứng minh rằng $p = AX + Ay$ là một iđêan nguyên tố có chiều cao 1 nhưng $p^2$ không là iđêan chia được (chứng minh rằng $X^{-1}p^2$ là một iđêan nguyên tố chứa thực sự $p$). Hơn nữa $p . (A : p) \neq A$.

(c) Cho $A$ là một miền nguyên địa phương Noether đóng nguyên, có iđêan cực đại $m$ không có chiều cao $\leq 1$; cho $p$ là một iđêan nguyên tố của $A$ có chiều cao 1; với mọi số nguyên $i > 0$ đặt $a_i = p + m^i$; chứng minh rằng $\operatorname{div}(\bigcap_i a_i)$ khác $\sup(\operatorname{div}(a_i))$.