Exercice 2, § 1

a) Dans l’anneau factoriel K[X, Y] des polynômes à deux indéterminées sur un corps K, donner un exemple de deux idéaux principaux $a, b$ tels que $a + b$ ne soit pas divisoriel.

b) Soit K l’extension quadratique du corps $\mathbf{Q}(X)$ des fonctions rationnelles en une indéterminée sur $\mathbf{Q}$, obtenue par adjonction à $\mathbf{Q}(X)$ d’une racine $y$ du polynôme $Y^2 - 2X \in \mathbf{Q}(X)[Y]$. Soit A le sous-anneau de K engendré par $Z, X$ et $y$; A est un anneau noethérien intégralement clos. Montrer que $p = AX + Ay$ est un idéal premier de hauteur 1, mais que $p^2$ n’est pas divisoriel (montrer que $X^{-1} p^2$ est un idéal premier contenant strictement $p$). En outre, on a $p.(A : p) \neq A$.

c) Soit A un anneau local noethérien intégralement clos, dont l’idéal maximal $m$ n’est pas de hauteur $\leqslant 1$; soit $p$ un idéal premier de hauteur 1 dans A; pour tout entier $i > 0$, soit $a_i = p + m^i$; montrer que $\operatorname{div}\left( \bigcap_i a_i \right)$ est distinct de $\sup_i (\operatorname{div}(a_i))$.